商 博

（河南省水利勘測(cè)有限公司，河南 鄭州 450003）

·礦業(yè)與水利工程·

后方交會(huì)技術(shù)在實(shí)際工作中的應(yīng)用

商 博

（河南省水利勘測(cè)有限公司，河南 鄭州 450003）

本文分析了采用正弦定理解算三角形時(shí)出現(xiàn)無(wú)解和兩解的情況，并從現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況得出結(jié)論，凡是現(xiàn)場(chǎng)構(gòu)成三角形的情況，采用正弦定理解算，除非測(cè)量數(shù)據(jù)有誤，都會(huì)有解，不會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情況。對(duì)邊角后方交會(huì)出現(xiàn)無(wú)解和多解的情況進(jìn)行了分析，提出了解決問(wèn)題的辦法。

邊角后方交會(huì)；坐標(biāo)改正；正弦定律（Sine law）；半角公式；布設(shè)控制點(diǎn)

1　后方交會(huì)的方法和技術(shù)流程

后方交會(huì)按測(cè)量方法劃分可分為測(cè)角后方交會(huì)、測(cè)邊后方交會(huì)和邊角后方交會(huì)。按多余條件數(shù)劃分，可分為沒(méi)有多余條件的后方交會(huì)、有一個(gè)多余條件的后方交會(huì)和有兩個(gè)多余條件的后方交會(huì)。

1.1測(cè)角后方交會(huì)

測(cè)角后方交會(huì)是傳統(tǒng)的后方交會(huì)。即在未知點(diǎn)上擺站，分別觀(guān)測(cè)三個(gè)以上已知點(diǎn)的方向角值，即可求出未知點(diǎn)p的平面坐標(biāo)。如果多觀(guān)測(cè)一個(gè)方向，則可計(jì)算出另一套p點(diǎn)坐標(biāo)，通常情況下，觀(guān)測(cè)4個(gè)方向。

1.2測(cè)邊后方交會(huì)

測(cè)邊后方交會(huì)實(shí)際就是測(cè)邊三角形，因目前多有全站儀測(cè)量，實(shí)際中單純測(cè)邊三角形較少，邊角后方交會(huì)較多。測(cè)邊后方交會(huì)至少需要觀(guān)測(cè)兩個(gè)已知點(diǎn)的距離。

1.3邊角后方交會(huì)

邊角后方交會(huì)實(shí)際中應(yīng)用較多，至少需要兩個(gè)已知點(diǎn)，觀(guān)測(cè)一邊一角就可以計(jì)算出p點(diǎn)的坐標(biāo)。但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)解。觀(guān)測(cè)三個(gè)以上已知點(diǎn)的邊角后方交會(huì)，精度可以明顯提高，但計(jì)算較為復(fù)雜。目前多數(shù)是觀(guān)測(cè)兩個(gè)已知點(diǎn)，再觀(guān)測(cè)一個(gè)已知點(diǎn)作為方向檢查。

2　三角學(xué)中關(guān)于已知兩邊和其中一邊對(duì)角的三角形解的結(jié)論

在三角學(xué)中，還特別注明：采用正弦定理解三角形時(shí)，要先進(jìn)行解的討論。在兩個(gè)已知點(diǎn)，觀(guān)測(cè)一邊、一角時(shí)，恰好必須采用正弦定理。有許多測(cè)量人員對(duì)于上述結(jié)論感到為難，在全站儀自帶程序中，就不利用此方法。

有些施工單位為了簡(jiǎn)單、方便，編程時(shí)就采用了a＞b時(shí)只有一解的情況，在圖3-1中，必須使AP＜AB。

圖1　三角形解的結(jié)論

3　采用正弦定理解三角形出現(xiàn)無(wú)解的問(wèn)題

3.1正弦定理解算三角形出現(xiàn)無(wú)解的三種情形

表1　兩邊和其中一邊對(duì)角的三角形解的結(jié)論

由于三角學(xué)中有用正弦定理解算三角形會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的結(jié)論，使得采用邊角后方交會(huì)的測(cè)量人員產(chǎn)生很大的顧忌，什么情況下會(huì)出現(xiàn)無(wú)解？以下來(lái)討論正弦定理解算三角形出現(xiàn)無(wú)解的三種情形：

當(dāng)∠A≥90o時(shí)，若a=b，無(wú)解。這種情況是：當(dāng)∠A≥90o時(shí)，因三角形內(nèi)角和等于180o，∠A為該三角形中的最大角，在三角形中，有一個(gè)公理：大邊對(duì)大角或大角對(duì)大邊。那么大角∠A所對(duì)的邊a必大于其他邊，出現(xiàn)a=b的現(xiàn)象是不可能的。因此出現(xiàn)了這種情況，違反了大角對(duì)大邊的公理，此時(shí)三角形無(wú)解。

當(dāng)A≥90o時(shí)，若a＜b，無(wú)解。同理，當(dāng)A≥90o時(shí)，若a＜b時(shí)，三角形不可能有解。當(dāng)A＜90o時(shí)，若a＜b.Sin A時(shí)，無(wú)解。此種情況的結(jié)果如圖2。

圖2　三角形解的結(jié)論

若a＜b.Sin A，按照正弦定理.Sin B=b.Sin A/a按照本式求出的SinB大于1，這是違背常理的，因此，此時(shí)三角形無(wú)解。綜上所述，所謂用正弦定理結(jié)算三角形無(wú)解的情況是：所給的條件不能組成三角形，因此解算三角形無(wú)解。

3.2現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量時(shí)會(huì)不會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情況

在現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量時(shí)，現(xiàn)場(chǎng)已知點(diǎn)與交會(huì)點(diǎn)構(gòu)成的三角形是客觀(guān)存在的三角形，不會(huì)存在構(gòu)不成三角形的情況。如果構(gòu)不成三角形，測(cè)量人員根本不會(huì)去測(cè)。因此，凡是現(xiàn)場(chǎng)構(gòu)成三角形的情況，采用正弦定理解算，除非測(cè)量數(shù)據(jù)有誤，都會(huì)有解，不會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情況［1］。

3.3采用正弦定理出現(xiàn)兩解情況的討論

3.3.1出現(xiàn)兩解的情況是經(jīng)常發(fā)生的，原因如下：采用正弦定理的基本公式為：

圖3　采用正弦定理出現(xiàn)兩解情況的討論

因此，利用正弦定理求出的B角就可能為銳角或鈍角，即：B角有可能是銳角B或鈍角（180o-B），目前溪洛渡水電站各施工單位所編程序中求出的都是銳角，程序在應(yīng)用時(shí)要求的條件是：觀(guān)測(cè)邊小于兩個(gè)已知點(diǎn)之間的長(zhǎng)度。這限制了邊角后方交會(huì)應(yīng)用。

3.3.2實(shí)際中產(chǎn)生兩解的圖形

圖4　采用正弦定理出現(xiàn)兩解情況的討論

圖4中，△ABP為實(shí)地的三角形，P點(diǎn)為后方交會(huì)點(diǎn)，∠ABP為鈍角（大于90o），采用公式

計(jì)算出的∠B小于90o，按照此計(jì)算角計(jì)算出的坐標(biāo)為圖中的P′坐標(biāo)，而非P點(diǎn)坐標(biāo)。產(chǎn)生這樣后果的原因從圖中可以看出，過(guò)A、B、P作一輔助園，從A點(diǎn)量出AP，以A為圓心，以AP長(zhǎng)為半徑，劃弧與園ABP相交于另一點(diǎn)P′，那么△ABP′完全符合觀(guān)測(cè)條件：

因此，在有兩個(gè)已知點(diǎn)，觀(guān)測(cè)一邊一角的情況下，會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)解。

3.4實(shí)踐中怎樣解決兩解的問(wèn)題

邊角后方交會(huì)中，如采用正弦定理解算三角形，就會(huì)有兩個(gè)解。實(shí)際中只有一個(gè)解是符合現(xiàn)場(chǎng)地形的，那么怎么選擇其中的一個(gè)呢？

目前常用的方法是在選擇P點(diǎn)位置時(shí)，保證觀(guān)測(cè)邊小于兩個(gè)已知點(diǎn)之間的長(zhǎng)度。即如圖中所示的現(xiàn)場(chǎng)選點(diǎn)時(shí)，保證在此情況下，∠B必為銳角。

道理是這樣的，如果PA＜AB，則根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角的公理，則∠P必大于∠A，如果∠B大于90o，則∠P更大于90o，一個(gè)△內(nèi)不可能出現(xiàn)兩個(gè)鈍角，因此∠B必為銳角。現(xiàn)場(chǎng)判斷，如∠P為鈍角，則∠B必為銳角。多測(cè)一條邊，利用三邊解三角形，求出的角度是唯一的，不會(huì)出現(xiàn)兩解的情況。

4　工程實(shí)例和試驗(yàn)分析

4.1在已知點(diǎn)和后視點(diǎn)不通視時(shí)的測(cè)量中的應(yīng)用

在工程測(cè)量中，我們經(jīng)常遇到已知點(diǎn)和后視點(diǎn)中間有障礙物遮擋，互不通視的情況。南水北調(diào)中線(xiàn)定線(xiàn)測(cè)量中就經(jīng)常遇到這樣的情形，現(xiàn)場(chǎng)沒(méi)有其他的控制點(diǎn)，到別處引點(diǎn)需要幾公里甚至十幾公里，造成了很多麻煩。這時(shí)我就采用了在兩點(diǎn)之間選擇一個(gè)新的點(diǎn)，新點(diǎn)與原來(lái)的兩個(gè)點(diǎn)通視。用邊角后方交會(huì)的方法在現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算出新點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)新點(diǎn)的坐標(biāo)和反算出的新點(diǎn)到原有點(diǎn)的方位角，即可進(jìn)行導(dǎo)線(xiàn)、放樣等測(cè)量，發(fā)揮了很好的作用。

4.2在一般地形測(cè)量的圖根控制中的應(yīng)用

地形測(cè)量的圖根控制點(diǎn)一般要求精度不高，在控制點(diǎn)相對(duì)較少且施測(cè)區(qū)域距離控制點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，可以采用兩點(diǎn)邊角后方交會(huì)來(lái)完成圖根控制點(diǎn)的布設(shè)，可同時(shí)觀(guān)測(cè)到多個(gè)控制點(diǎn)時(shí)，可采用多點(diǎn)后方交會(huì)布設(shè)圖根控制點(diǎn)，測(cè)圖效率大大提高。

4.3在豎井測(cè)量中的應(yīng)用

在井下導(dǎo)線(xiàn)測(cè)量中，由于井下狹窄黑暗，導(dǎo)線(xiàn)測(cè)量十分困難，加之設(shè)備車(chē)輛運(yùn)輸?shù)戎T多干擾因素，或使導(dǎo)線(xiàn)點(diǎn)無(wú)法安置儀器，或者點(diǎn)與點(diǎn)間因障礙物存在而不通視等原因使作業(yè)時(shí)無(wú)法按常規(guī)方法及時(shí)導(dǎo)線(xiàn)測(cè)量，采用交會(huì)傳遞方法測(cè)量方法介紹如下：

在兩個(gè)已知點(diǎn)附近安置儀器，直接整平安置儀器，觀(guān)測(cè)有關(guān)角度及邊長(zhǎng)。如圖5所示，

圖5　井下導(dǎo)線(xiàn)測(cè)量

A、B為已知導(dǎo)線(xiàn)點(diǎn)，按正常的導(dǎo)線(xiàn)測(cè)量，儀器安置在B點(diǎn)觀(guān)測(cè)一個(gè)水平角和一條邊，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)。但因B點(diǎn)無(wú)法架設(shè)儀器，此時(shí)在B點(diǎn)附近任意點(diǎn)安置儀器整平后進(jìn)行觀(guān)測(cè)a、b、β及S，或觀(guān)測(cè)a、β、a、S，即可求解D點(diǎn)坐標(biāo)。

圖6　井下導(dǎo)線(xiàn)測(cè)量

上圖視井下施工測(cè)量經(jīng)常遇到的實(shí)際問(wèn)題。水平巷道布設(shè)導(dǎo)線(xiàn)點(diǎn)A、B，在天井施工中必須建立一控制點(diǎn)D，按常規(guī)的方法，需施測(cè)兩站導(dǎo)線(xiàn)才能求得D點(diǎn)坐標(biāo)。為了減少測(cè)站數(shù)，加快施工導(dǎo)線(xiàn)的前進(jìn)速度，可采用邊角交會(huì)的方法。其計(jì)算待求點(diǎn)D的方法如下：首先根據(jù)各觀(guān)測(cè)元素按交會(huì)的方法推算C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)線(xiàn)的方法計(jì)算D點(diǎn)坐標(biāo)，推算公式略。

為了確定最佳圖形，在選點(diǎn)時(shí)應(yīng)使β、a均在90°附近，且b邊的邊長(zhǎng)越長(zhǎng)越有利。

4.4在大壩混凝土澆筑時(shí)的控制與放樣測(cè)量中的應(yīng)用

三峽二期工程泄洪壩段共分22個(gè)壩段，高程從20米到185米，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，各種埋件精度要求高，由于采用了塔帶機(jī)等新型澆筑設(shè)備，施工強(qiáng)度大，施工進(jìn)度快，傳統(tǒng)的放樣方法已經(jīng)不能滿(mǎn)足施工要求。經(jīng)過(guò)探索，葛洲壩測(cè)繪總隊(duì)?wèi)?yīng)用和推廣了邊角后方交會(huì)技術(shù)。具體方法如下：

首先在大壩上下游圍堰上加密一定數(shù)量的施工控制點(diǎn)，保證在大壩上每個(gè)部位都有足夠的控制點(diǎn)可以觀(guān)測(cè)，其次在作業(yè)時(shí)，派一名作業(yè)人員在控制點(diǎn)上設(shè)置基座棱鏡，大壩上各個(gè)倉(cāng)位的測(cè)量員直接測(cè)定邊長(zhǎng)和高差，并且以該點(diǎn)為起始方向，測(cè)定到另外兩個(gè)較遠(yuǎn)控制點(diǎn)的水平角。然后根據(jù)觀(guān)測(cè)值計(jì)出兩組坐標(biāo)，比較差值后取平均值作為測(cè)站點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)站時(shí)用第四方向作為后視，檢查鏡站坐標(biāo)無(wú)誤后開(kāi)始倉(cāng)內(nèi)測(cè)量放樣。

5　結(jié)語(yǔ)

邊角后方交會(huì)的出現(xiàn)首先是生產(chǎn)的需要，后方交會(huì)在現(xiàn)實(shí)的工作中被廣泛的應(yīng)用，靈活的運(yùn)用可以大大的提高工作效率，收到更好的經(jīng)濟(jì)效益。

［1］賀國(guó)宏.橋隧控制測(cè)量［M］.北京：人民交通出版社，1998.

Application of Resection Techniquein Practical Work

Shang Bo
（Henan Provincial Water Conservancy Survey Co.Ltd.，Zhengzhou Henan 450003）

This paper analyzes the situation of no solution and two solutions appeared when using sine theorem for the calculation of triangles，and draws conclusions from the actual situation at the scene，the scene usually constitute a triangle，the sine theorem of the solution，that unless there is an error in the measured data，there will be a solution when calculated by sine theorem.The situations of side angle resection without solutions and multiple solutions are analyzed，and a solution to the problem is put forward.

side angle resection；coordinate correction；sine law；half angle formula；layout control point

P231.5

A

1003-5168（2015）12-0057-3

2015-12-5

商博（1980.9-），男，研究方向：GPS衛(wèi)星定位技術(shù)在實(shí)際工作中的應(yīng)用及工作中注意的問(wèn)題。