閆媛，任苗苗

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127）

關(guān)于一元逆半群簇的一個(gè)問(wèn)題

閆媛，任苗苗

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127）

逆半群是一種非常重要的半群，為半群代數(shù)理論的發(fā)展提供了十分重要的思想和方法.主要研究了一元逆半群簇的基底個(gè)數(shù).利用等式邏輯證明了一元逆半群簇可由三個(gè)等式?jīng)Q定.

一元逆半群；簇；基底

1　引言及預(yù)備知識(shí)

設(shè)（S，·）是半群且a∈S，若存在b∈S使得a=aba且b=bab，則稱b為a的逆元.若S的每個(gè)元素都存在唯一的逆元，則稱S是逆半群.逆半群是半群代數(shù)理論研究中成果最豐富的一個(gè)分支，它的結(jié)構(gòu)理論是許多其它類型半群研究的基礎(chǔ).在文獻(xiàn)［1］中就深入研究了逆半群的性質(zhì)以及結(jié)構(gòu)理論.

設(shè)（S，·）是逆半群，對(duì)于所有的a∈S，用a′表示a的逆元，若把“′”看成S上的一元運(yùn)算，則稱（S，·，′）為由（S，·）誘導(dǎo)的一元逆半群.

引理1.1［2］設(shè)S=（S，·，′），其中“·”和“′”分別為S上的二元運(yùn)算和一元運(yùn)算，考慮以下恒等式：

（S1）（xy）z≈x（yz）；

（S2）xx′x≈x；

（S3）x′xx′≈x′；

（S4）（x′x）（yy′）≈（yy′）（x′x），

則S為一元逆半群當(dāng)且僅當(dāng)S滿足恒等式（S1）-（S4）.

引理1.2［2］若S為一元逆半群，則S滿足以下恒等式：

（S5）x′≈x；

（S6）（xy）′≈y′x′.

設(shè)K為F型非空代數(shù)類，若K對(duì)于子代數(shù)，同態(tài)像和直積封閉，則稱K為簇.

引理1.3［3］若K為F型非空代數(shù)類，則K為等式類當(dāng)且僅當(dāng)K為簇.

因此可將一元逆半群簇記作［（S1），（S2），（S3），（S4）］并且稱（S1），（S2），（S3），（S4）為這個(gè)簇的基底.簇在代數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中扮演著非常重要的角色，而簇的基底又決定著一個(gè)簇的構(gòu)成，因此研究簇的基底個(gè)數(shù)是有意義的.許多學(xué)者對(duì)各種不同類型簇的基底個(gè)數(shù)進(jìn)行了深入的研究，文獻(xiàn)［4］深入研究了一元逆半群簇的基底個(gè)數(shù)，利用Prover9和Mace4軟件證明了一元逆半群簇的基底為三個(gè)等式的情形.文獻(xiàn)［5-6］則分別研究了布爾代數(shù)簇的基底可由三個(gè)等式和兩個(gè)等式?jīng)Q定的情形.本文主要用等式邏輯證明了一元逆半群簇可由三個(gè)等式?jīng)Q定，從而回答了文獻(xiàn)［2］中提出的第五個(gè)問(wèn)題.

對(duì)于文中未提及的符號(hào)，來(lái)源于文獻(xiàn)［7］.

2　主要結(jié)果及其證明

定理2.1設(shè)S=（S，·，′），其中“·”和“′”分別為S上的二元運(yùn)算和一元運(yùn)算.則S為一元逆半群當(dāng)且僅當(dāng)S滿足以下恒等式：

（S7）（xy′）z≈x（z′y）′；

（S8）（xx′）′x≈x；

（S9）（x′x）（yy′）≈（yy′）（x′x）′.

推論2.1［（S1），（S2），（S3），（S4）］=［（S7），（S8），（S9）］.

［1］Petrich M.Inverse Semigroups［M］.New York：Wiley，1984.

［2］Araújo J，McCune W.Computer solutions of problems in inverse semigroups［J］.Communications in Algebra，2010，38：1104-1121.

［3］Burris S，Sankappanavar H P.A Course in Universal Algebra［M］.New York：Springer Verlag，1981.

［4］Araújo J，Kinyon M.An elegant 3-basis for inverse semigroup［J］.Semigroup Forum，2011，82：319-323.

［5］McCune W.Solution of the Robbins problem［J］.J.Automat.Reason，1997，19（3）：263-276.

［6］McCune W，Veroff R.Short single axioms for Boolean algebra［J］.J.Automat.Reason，2002，29（1）：1-16.

［7］Howie J M.Fundamentals of Semigroup Theory［M］.Oxford：Oxford Science Publications，1995.

A problem on the variety of unary inverse semigroups

Yan Yuan，Ren Miaomiao
（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

The inverse semigroups are very important semigroups and provide crucial ideas and methods for the development of algebraic theories of semigroups.In this paper we mainly study the numbers of bases of the variety of unary inverse semigroups.By using the equational logic we prove that the variety of unary inverse semigroups can be determined by three identities.

unary inverse semigroup，variety，bases

O152.7

A

1008-5513（2015）05-0498-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.009

2015-04-30.

陜西省自然科學(xué)基金（2015JQ1210）.

閆媛（1990-），碩士生，研究方向：代數(shù)學(xué).

2010 MSC:20M17