孫俊嶺，孫壘

（河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南焦作454003）

關(guān)于反射等價關(guān)系的變換半群的注記

孫俊嶺，孫壘

（河南理工大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南焦作454003）

設(shè)TX是非空集合X上全變換半群，E是X上非平凡的等價關(guān)系，則T?（X）是TX的子半群.在賦予半群T?（X）自然偏序關(guān)系的條件下，本文刻畫了它的相容元.

變換半群；自然偏序關(guān)系；相容元

1　引言

文獻［1］在任意半群S上定義了如下偏序關(guān)系≤.

定理1.1設(shè)≤是半群S上偏序關(guān)系，a，b∈S，則下面命題等價.

（i）a≤b；

（ii）a=wb=bz，az=a，=其中w，z∈S1；

（iii）a=xb=by，xa=ay=a，其中x，y∈S1.

這種偏序關(guān)系，稱為自然偏序關(guān)系.對于變換半群自然偏序關(guān)系的研究，參見文獻［2-5］.設(shè)TX是非空集合X（|X|≥3）上全變換半群，E是X上等價關(guān)系.文獻［6］最早引入了TX的反射等價關(guān)系的子半群

刻畫了它的格林等價關(guān)系L，R，H，D，J和正則元.文獻［7］賦予變換半群T?（X）自然偏序關(guān)系≤，即f，g∈T?（X），

其中，h，k∈T?（X），刻畫了它的特征，得到了如下結(jié)論.

定理1.2［7］設(shè)f，g∈T?（X），則f≤g當(dāng)且僅當(dāng)下面條件同時成立.

（1）π（g）加細π（f）且|Z（g）|≤|Z（f）|；

（2）若（f（x），f（y））∈E（其中x，y∈X），則（g（x），g（y））∈E；

（3）若g（x）∈f（X）（其中x∈X），則f（x）=g（x）；

（4）對于任意A∈?（E），有f（A）?g（A）.

設(shè)f，g，h∈T?（X）.若對于任意f＜g（f≤g），有hf＜hg（hf≤hg），則h稱為嚴(yán)格左相容的（左相容的）.對偶的，若對于任意f＜g（f≤g），有fh＜gh（fh≤gh），則h稱為嚴(yán)格右相容的（右相容的）.

定理1.3［7］設(shè)h∈T?（X），則下面命題成立.

（1）h是嚴(yán)格左相容當(dāng)且僅當(dāng)h是集合X上單射，且對于任意A∈?（E），有h（A）?B∈?（E）.

（2）h是嚴(yán)格右相容當(dāng)且僅當(dāng)h是集合X上滿射.

本文在賦予半群T?（X）自然偏序關(guān)系的條件下，刻畫它的左相容元和右相容元，給出充要條件.下面介紹本文中的概念和符號.π（f）表示由f∈TX確定的X的分類，即

令X為集合，E為X上等價關(guān)系.用?（E）表示由E確定的X的相應(yīng)分類.設(shè)A，B是集合X的兩個子集族，若對于任意A∈A，存在B∈B，使A?B，則稱子集族A加細子集族B.記

且

h|A表示映射h在集合A上的限制.本文中等價關(guān)系E是非平凡的，即

2　主要結(jié)論

定理2.1設(shè)h∈T?（X），則h是左相容元當(dāng)且僅當(dāng)對于任意E-類A，h|A是單射且h（A）?B∈?（E），或者h|A是常值映射.

證明（1）必要性.設(shè)h是左相容元.現(xiàn)在用反證法證明對于任意E-類A，h|A是單射或者h|A是常值映射.若不然，則存在E-類A?，滿足h|A?既不是單射又不是常值映射.設(shè)h（a）=h（b）≠h（c），其中a，b，c∈A?.如下定義映射f：X→X顯然f∈T?（X）且f≤idX，其中idX是集合X上恒等映射.于是hf≤hidX=h.由定理1.2條件（1）知π（h）加細π（hf）.但是，一方面h（a）=h（b）；另一方面，hf（a）=h（c），hf（b）=h（b）.由h（c）≠h（b）知hf（a）≠hf（b）.這與π（h）加細π（hf）矛盾.因此對于任意E-類A，h|A是單射或者h|A是常值映射.下面證明對于任意A∈?（E），若h|A是單射，則h（A）?B∈?（E）.不失一般性，設(shè)其中A?，B1，B2∈?（E）.記A?1=｛x∈A?：h（x）∈B1｝且A?2=｛x∈A?：h（x）∈B2｝，則A?=A?1∪A?2且A?1∩A?2=?.取定x′∈A?1.如下定義映射k：X→X

顯然k∈T?（X）且k≤idX.于是hk≤hidX=h.現(xiàn)取定y′∈A?2，則一方面有（hk（x′），hk（y′））∈E，另一方面有h（x′）∈B1，h（y′）∈B2.這表明（hk（x′），hk（y′））∈E不蘊含（h（x′），h（y′））∈E.這與定理1.2條件（2）矛盾.從而，若h|A是單射，則對于任意A∈?（E），有h（A）?B.故必要性成立.

（2）充分性.設(shè)h滿足假設(shè)條件即對于任意E-類A，h|A是單射且h（A）?B∈?（E），或者h|A是常值映射.對于任意f，g∈T?（X）且f≤g，下面分別驗證hf，hg滿足定理1.2條件（1）-條件（4）.

（1）令hg（x）=hg（y），其中x，y∈X.由h∈T?（X）知，（g（x），g（y））∈E，即

若g（x）=g（y），則由f≤g和定理1.2條件（1）知，f（x）=f（y）.于是hf（x）=hf（y）.若g（x）≠g（y），此時h|A是常值映射.記f（x）=g（x′），其中x′∈X.由定理1.2（3）知f（x′）=g（x′）=f（x）.于是（f（x），f（x′））∈E.由定理1.2條件（2）知（g（x），g（x′））∈E.根據(jù)g（x）∈A，有g(shù)（x′）∈A，即f（x）∈A.同理f（y）∈A.于是hf（x）=hf（y）.這表明π（hg）加細π（hf）.由|Z（g）|≤|Z（f）|知因此進而|Z（hg）|≤|Z（hf）|.這表明hf，hg滿足定理1.2條件（1）.

（2）令（hf（x），hf（y））∈E，其中x，y∈X，則（f（x），f（y））∈E.由f≤g知（g（x），g（y））∈E.注意到h在每個E-類上不管是單射還是常值映射，都將每個E-類映入一個E-類中.于是（hg（x），hg（y））∈E.這表明hf，hg滿足定理1.2條件（2）.

（3）設(shè)hg（x）∈hf（X），即hg（x）=hf（x′），其中x′∈X.若g（x）=f（x′），則由定理1.2條件（3）知f（x）=g（x）.因此hf（x）=hg（x）.若g（x）≠f（x′），此時h在g（x），f（x′）所在的E-類上是常值映射.由定理1.2（4）知存在y∈X，使f（x）=g（y）.根據(jù)定理1.2條件（3），有f（y）=g（y），即f（x）=g（y）=f（y）.進而（f（x），f（y））∈E.由定理1.2條件（2）知（g（x），g（y））∈E，即（g（x），f（x））∈E.因此hf（x）=hg（x）.這表明hf，hg滿足定理1.2條件（3）.

（4）顯然hf，hg滿足定理1.2條件（4）.因此hf≤hg.故h是左相容元.

定理2.2設(shè)h∈T?（X），則h是右相容元當(dāng)且僅當(dāng)h是滿射.

證明參照文獻［7］的定理3.3的證明.

［1］Mitsch H.A natural partial order for semigroups［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，1986，97（3）：384-388.

［2］Kowol G，Mitsch H.Naturally ordered transformation semigroups［J］.Monatshefte Fur Mathematik，1986，102（2）：115-138.

［3］Marques-Smith M Paula O，Sullivan R P.Partial orders on transformation semigroups［J］.Monatshefte Fur Mathematik，2003，140（2）：103-118.

［4］Sullivan R P.Partial orders on linear transformation semigroups［J］.Proceedings of the Royal Society Edinburgh Section A-Mathematics，2005，135（2）：413-437.

［5］Sun L，Deng W N，Pei H S.Naturally ordered transformation semigroups preserving an equivalence and a cross-section［J］.Algebra Colloquium，2011，18（3）：523-532.

［6］Deng L Z，Zeng J W，You T J.Green′s relations and regularity for semigroups of transformations that preserve reverse direction equivalence［J］.Semigroup Forum，2011，83（3）：489-498.

［7］Sun L，Xin X J.The natural partial order on the semigroup of all transformations of a set that reflect on equivalence relation［J］.Bullet of the Australian Mathematical Society，2013，88（3）：359-368.

A note on naturally ordered semigroups of transformations of a set that reflect an equivalence relation

Sun Junling，Sun Lei

（School of Mathematics and Information Science，Henan Polytechnic University，Jiaozuo454003，China）

Let TXbe the full transformation semigroup on a nonempty set X and E be a nontrivial equivalence relation on X，then T?（X）is a subsemigroup of TX.In this paper，we describe all the left and right compatible elements in the transformation semigroup T?（X）endowed with the natural partial order.

transformation semigroup，natural partial order，compatible element

O152.7

A

1008-5513（2015）05-0464-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.004

2015-04-12.

國家自然科學(xué)基金（U1404101）；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點項目基礎(chǔ)研究計劃（14A110003）.

孫俊嶺（1979-），碩士，講師，研究方向：代數(shù)學(xué).

2010 MSC:20M20