陳立，何姝琦，董亞瑩

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127）

Benny-Luke方程和Phi-4方程的精確行波解

陳立，何姝琦，董亞瑩

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127）

運(yùn)用了tanh-coth展開(kāi)法，得到了Benny-Luke方程和Phi-4方程的一些新的精確行波解.同時(shí)該方法也可用于其他的非線性演化方程.

tanh-coth展開(kāi)法；Benny-Luke方程；Phi-4方程；精確行波解

1　引言

非線性演化方程被廣泛運(yùn)用于現(xiàn)代科學(xué)中，非線性現(xiàn)象出現(xiàn)在科學(xué)和工程的許多分支中，例如等離子物理、流體力學(xué)、氣體動(dòng)力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、生態(tài)、固體物理等給人留下深刻印象的研究領(lǐng)域.非線性演化方程經(jīng)常用來(lái)描述孤立波運(yùn)動(dòng)，尋求非線性演化方程的精確很重要，因此精確行波解的探索變成非線性物理現(xiàn)象研究的一項(xiàng)重要任務(wù).值得注意的是，觀察到不存在獨(dú)特的方法來(lái)解決所有非線性演化方程.由于這個(gè)原因，許多方法已被建立，例如Jacobi橢圓函數(shù)法［1］、齊次平衡法、MSE方法（Modified Simple Equation Method）［2］、展開(kāi)法［3［5］、變分法、反散射方法、廣田的雙線性方法、tanh-coth展開(kāi)法［69］、不變集方法［10］、不變子空間方法［11］、李群方法等.隨著各種求解方法的出現(xiàn)，不但過(guò)去難于求解的方程得到解決，而且新的、具有重要物理意義的解不斷被發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，呈現(xiàn)出一個(gè)層出不窮的勢(shì)頭.

Malfliet首先介紹tanh展開(kāi)法用于求解非線性偏微分方程，后來(lái)此方法被廣泛運(yùn)于求解非線性偏微分方程.Wazwaz將tanh展開(kāi)法延拓為tanh-coth展開(kāi)法.本文運(yùn)用了tanh-coth展開(kāi)法尋求Benny-Luke方程

和Phi-4方程的精確行波解.本文安排如下：第2部分，介紹tanh-coth展開(kāi)法；第3部分，將此方法應(yīng)用于Benny-Luke方程，并得到該方程的一些新的精確行波解；第4部分，將此方法應(yīng)用于Phi-4方程，并得到該方程的一些新的精確行波解；第5部分，將Benny-Luke方程和Phi-4方程的精確行波解做了物理解釋和圖像解釋.最后，得知該方法在求解非線性演化方程的精確行波解時(shí)非常直觀有效.

2　tanh-coth展開(kāi)法

3　求解Benny-Luke方程

Benny-Luke方程是一個(gè)近似水波方程，適合在表面張力存在下描述雙向水波傳播，在物理等方面具有廣泛的應(yīng)用.在這一部分，將運(yùn)用tanh-coth展開(kāi)法來(lái)研究Benny-Luke方程

4　求解Phi-4方程

近幾十年來(lái)，Phi-4方程在核物理和粒子物理占有很重要的地位.在這一部分，將運(yùn)用tanh-coth展開(kāi)法來(lái)研究Phi-4方程

5　物理解釋和圖像解釋

在這一部分，將給出Benny-Luke方程和Phi-4方程的精確行波解的物理解釋和圖像解釋.

本文第三部分運(yùn)用tanh-coth展開(kāi)法得到Benny-Luke方程的精確行波解u1，u2，u3.當(dāng)取a0=1，α=1，β=1，（-10≤x≤10），（0≤t≤10）時(shí)，u1的圖像如圖1所示，圖像1表示Benney-Luke方程的扭結(jié)型行波解，u2的圖像如圖2所示，圖像2表示Benney-Luke方程的奇異扭結(jié)型行波解，u3的圖像與u2的圖像類似.

本文第四部分運(yùn)用tanh-coth展開(kāi)法得到Phi-4方程的精確行波解u1，u2，u3，u4，u5，u6，u7，u8.當(dāng)取λ=-1.2，m=139，c=2，（-10≤x≤10），（0≤t≤10）時(shí)，u1的圖像如圖3所示，圖像3表示Phi-4方程的多重周期解，u3的圖像如圖4所示，圖像4表示Phi-4方程的奇異扭結(jié)型行波解，u2的圖像與u1的圖像類似，u4，u5，u6，u7，u8的圖像與u3的圖像類似.

圖1　Benny-Luke方程的解u1

圖2　Benny-Luke方程的解u2

圖3　Phi-4方程的解u1

圖4　Phi-4方程的解u3

6　總結(jié)

本文運(yùn)用tanh-coth展開(kāi)法求解出Benny-Luke方程和Phi-4方程的一些新的行波解，從而豐富了方程的結(jié)果，有助于對(duì)方程所描述的物理現(xiàn)象進(jìn)一步了解和研究.同時(shí)，這種方法也能夠求解其他的非線性演化方程，也可以將雙曲函數(shù)換成三角函數(shù)，同樣能夠得到一些方程的行波解.

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New travelling wave solutions to the Benny-Luke equation and the Phi-4 equations

Chen Li，He Shuqi，Dong Yaying

（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

In this work，many new travelling wave solutions are established for the Benny-Luke equation and the Phi-4 equations.The tanh-coth method is used to generate these new solutions.The approach is also applicable to a large variety of nonlinear evolution equations.

the tanh-coth method，the Benny-Luke equation，the Phi-4 equations，travelling wave solutions

O175.29

A

1008-5513（2015）06-0604-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.008

2015-06-16.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11371293）.

陳立（1989-），碩士生，研究方向：偏微分方程.

2010 MSC：35C07