張雋，付麗，2，曹重光

（1.黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江哈爾濱150080；2.綏化學(xué)院信息工程學(xué)院，黑龍江綏化152061）

保體上上三角冪等矩陣的誘導(dǎo)映射

張雋1，付麗1，2，曹重光1

（1.黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江哈爾濱150080；2.綏化學(xué)院信息工程學(xué)院，黑龍江綏化152061）

假設(shè)Tm（D）是體D上所有上三角m×m矩陣的集合.首先分別給出誘導(dǎo)映射和保冪等性的定義.然后為了刻畫Tm（D）的保冪等的誘導(dǎo)映射，提出類序列的概念，同時(shí)描述類序列的性質(zhì).最后，使用矩陣技術(shù)和初等方法，借助于分類討論得到了Tm（D）的保冪等的誘導(dǎo)映射的一般形式并且給出了某些例子，用以解釋某些結(jié)果之間的關(guān)系.

體；上三角矩陣；保冪等；誘導(dǎo)映射

1　引言

刻畫矩陣集合保持某些性質(zhì)的映射通常被稱為矩陣保持問題研究.近年來，這方面的工作更感興趣于映射沒有線性和加法假定的情形［1-5］.本文研究的誘導(dǎo)映射，其實(shí)也是這類問題的一種.文獻(xiàn)［6-7］是誘導(dǎo)映射導(dǎo)出問題的兩個(gè)典型結(jié)果.

設(shè)D是一個(gè)體，Mm（D）及Tm（D）分別記D上所有m階矩陣及所有m階上三角陣的集合.設(shè)g是Mm（D）（Tm（D））到自身的映射，gij是D上的函數(shù)，其中i，j∈｛1，2，···，m｝.定義

則稱g是由｛gij｝誘導(dǎo)的映射.簡(jiǎn)稱Mm（D）（Tm（D））的誘導(dǎo)映射.

在本文中用K記Tm（D）中所有冪等陣（B2=B）的集合，令g是Tm（D）到自身的誘導(dǎo)映射，如果B∈K意味著g（B）∈K則稱g保冪等.本文目的是刻畫Tm（D）的保冪等的誘導(dǎo)映射.

用D?記D中所有非0元的集合，Eij表示（i，j）位置是1，其余位置是零的矩陣.記［1，m］=｛1，2，···，m｝.

由于K中矩陣對(duì)角元必為1和0，又由于條件f（0）=0的需要，為敘述簡(jiǎn)潔方便，用Tm（D）僅表示對(duì)角元為1，0的上三角矩陣全體構(gòu)成的集合.

現(xiàn)對(duì)Tm（D）誘導(dǎo)映射的定義中所涉及的m-1個(gè)函數(shù)，即g12，g23，···，gm-1m，定義如下的類集合：

誘導(dǎo)映射g的類序列，即函數(shù)g12，g23，···，gm，m-1所屬的類集合從左到右依次寫成的一個(gè)序列.例如ξγηξηη為m=7時(shí)g的類序列，即有

如果在g（0）=0的情況下，g是Tm（D）的保冪等的誘導(dǎo)映射，有如下的重要結(jié)果.

命題1.1設(shè)D為一個(gè)體，m為整數(shù)且m≥3，g（0）=0，其中g(shù)是Tm（F）的保冪等的映射，那么在g的類序列中不會(huì)出現(xiàn)相鄰兩類為ηγ，γη和ηη這三種情況.

下面將說明Tm（D）的每個(gè)保冪等的誘導(dǎo)映射g的類序列都對(duì)應(yīng)著Tm（D）中矩陣的唯一分塊寫法.例如m=6時(shí)保冪等的g的類序列為ξηξγγ，則它對(duì)應(yīng)著

的分塊寫法，其中B1，B2和B3的階數(shù)分別是1階、2階和3階.又如m=9時(shí)保冪等的g的類序列若為γγγξηξξη，則它對(duì)應(yīng)著

的分塊寫法，其中C1，C2，C3和C4的階數(shù)分別為4階，2階，1階和2階.

一般地，滿足g（0）=0的保冪等的導(dǎo)出映射g的類序列中ξ的個(gè)數(shù)若為s-1，則D的相應(yīng)對(duì)角分塊個(gè)數(shù)為s，即

若類序列中第j個(gè)ξ與第j+1個(gè)ξ中間有非ξ類k個(gè)，則Dj+1是k+1階的；若第1個(gè)ξ前面有k個(gè)非ξ類，則D1是k+1階的；若第s-1個(gè)ξ后面有k個(gè)非ξ類，則Ds是k+1階的，其中k≥0為整數(shù).若g的類序列中無ξ，則D就是自己一塊.

2　主要結(jié)果

定理2.1g為Tm（D）的誘導(dǎo)映射，g（0）=0，m≥3是一個(gè)整數(shù)，則g保冪等當(dāng)且僅當(dāng)

這里

是g的類序列對(duì)應(yīng)的B的唯一分塊寫法，其中B1，B2，···Bs的階數(shù)分別是p1，p2，···，ps且m=p1+p2+···+ps，g1，···，gs分別為Tp1（D），···，Tps（D）保冪等的導(dǎo)出映射.

定理2.2D是一個(gè)體，g1為Tq（D）的誘導(dǎo)映射，g1（0）=0，又設(shè)ε=±1

注記2.1如上定理2.1及定理2.2完整地刻畫了m≥3時(shí)，Tm（D）的滿足條件g（0）=0的保冪等的誘導(dǎo)映射.如果q≥4時(shí)，g1的形式（定理2.3中）稱之為標(biāo)準(zhǔn)形式.容易驗(yàn)證當(dāng)q=1，2，3時(shí)標(biāo)準(zhǔn)形式仍然滿足定理2.3中的相應(yīng)的充要條件，但反之未必.可以對(duì)q=3的情形舉一個(gè)例子.令D是實(shí)數(shù)域，g11=g22=g33是恒等映射且

此時(shí)易驗(yàn)證g1滿足定理2.3中q=3時(shí)的各項(xiàng)條件，但是g1并不是標(biāo)準(zhǔn)的，因?yàn)間1若是標(biāo)準(zhǔn)的，則應(yīng)滿足g12（2）=2g12（1），這與g12的定義相矛盾.

注記2.2如果去掉g（0）=0的條件，情況會(huì)相當(dāng)復(fù)雜.

例如：令g（B）=C，?B∈Tm（D），其中C∈K是任意固定的，則上述g是保冪等的誘導(dǎo)映射.

3　結(jié)語

誘導(dǎo)保持映射的研究結(jié)果尚不多，且多為在長(zhǎng)方陣和方陣集合上研究.本文是對(duì)體上上三角矩陣誘導(dǎo)保持映射研究的一個(gè)有益的嘗試，所用方法及所得結(jié)果具有一定的創(chuàng)新性，對(duì)后續(xù)研究有一個(gè)借鑒意義，其中提出類集合的概念對(duì)理論展開起了重要作用.

在本文結(jié)果中可以看到低維空間往往映射形式不具有標(biāo)準(zhǔn)性，于是舉例說明其形式比標(biāo)準(zhǔn)形式更廣泛就顯得十分重要了（見注記2.1中例）.另外需指明的，條件f（0）=0對(duì)本文至關(guān)重要，如果去掉這一條件，實(shí)際上是一個(gè)開問題（見注記2.2）.

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Induced maps preserving upper triangular idempotent matrices over skew fields

Zhang Jun1，F(xiàn)u Li1，2，Cao Chongguang1

（1.School of Mathematical Science，Heilongjiang University，Harbin150080，China；2.School of Information Engineering，Suihua University，Suihua152061，China）

Suppose that Tm（D）is set of all m×m upper triangular matrices over skew field D.First，the paper gives the definition of induced map and preserving idempotence，respectively.And then，in order to characterize induced map preserving idempotence on Tm（D），the paper raises the concept of class-sequence and describes the properties of it.In the end，the paper uses matrix techniques and elementary methods and by classified discussion we get the general forms of induced maps preserving idempotence on Tm（D）and give some examples to illustrate relations between some results.

skew field，upper triangular matrix，preserving idempotence，induced map

O178

A

1008-5513（2015）06-0628-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.011

2015-05-27.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11371109）.

張雋（1991-），碩士生，研究方向：矩陣代數(shù).

2010 MSC：15A04