劉麗靜

摘 要：近年來，分數(shù)階微積分在建立物理模型和工程計算中得到廣泛應用，由于大多數(shù)分數(shù)階微分方程式不存在解析解的，對于分數(shù)階微分方程的求解數(shù)值解就顯得尤為重要。本文在Caputo分數(shù)階微分定義下，利用切比雪夫多項式給出了求解一類分數(shù)階微分方程的矩陣算子，將求解分數(shù)階微分方程初值問題化為代數(shù)方程求解，并將新矩陣算子應用在線性分數(shù)階微分方程中，數(shù)值算例說明了本矩陣算子的有效性和可行性。

關鍵詞：分數(shù)階微分方程；矩陣算子；切比雪夫多項式；Caputo導數(shù)

1 引言

分數(shù)階微積分與整數(shù)階微積分有著同樣悠久的歷史，它的建立至今已有300多年的歷史。近幾年，許多研究者發(fā)現(xiàn)：非整數(shù)階的微積分也可以在眾多現(xiàn)實領域中得以應用，而且它們比整數(shù)階微積分能更精確地體現(xiàn)物體的性質，例如：沾滯系統(tǒng)、介質極化、電極-電解液極化、管道邊界層效應、有色噪聲和電磁波等，從而使得分數(shù)階微分方程擁有了實際的應用背景，并且人們也發(fā)現(xiàn)在分析各類物質材料的記憶遺傳性、經濟學中，分數(shù)階微分都成為一種有效的工具，發(fā)揮了無法比擬的作用，從而分數(shù)階算子理論和應用研究在國際上才得到迅速發(fā)展[1]，因此，開展分數(shù)階微分方程數(shù)值方法的研究具有重要的理論意義和實用價值。

2 預備知識

2.1 Caputo的分數(shù)導數(shù)的定義

2.2微分方程的切比雪夫矩陣算子

2.2.1 整數(shù)階微分方程的切比雪夫矩陣算子

該方法得到的解與精確解相同，說明此法可應用于求解線性微分方程。

4 結論

由于分數(shù)階微分方程對所描述問題具有的記憶性，使得對分數(shù)階微分方程研究成為研究的熱點問題。本文正是在這種背景之下，給出了一種普遍適用的切比雪夫分數(shù)階微分的矩陣算子，數(shù)值算例表明了該矩陣算子對求解線性分數(shù)階微分方程是可行且有效的。另外值得一提的是本文提出的矩陣算子有利于計算機實現(xiàn)，為編寫工程計算軟件提供了理論支持。

參考文獻

[1] 譚粞智， 林曉然， 周尚波. 幾種分數(shù)階微分數(shù)值解法的比較研究[J]. 計算機仿真，2011， 28（5）.

[2] 劉建軍. 求解分數(shù)階微分方程問題的幾類數(shù)值方法[D]. 湖南：湘潭大學， 2007.

[3] 劉建. 分數(shù)階微分方程的基本理論及應用[D]. 上海： 東華大學， 2010.

[4] 馬曉丹. 分數(shù)階微分方程的數(shù)值解[D]. 上海：中國石油大學， 2008.