余曉娟，謝承蓉

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基于換位思考的課堂教學設計——以三維直角坐標系下三重積分課堂教學為例

余曉娟，謝承蓉

(鄖陽師范高等?？茖W校數(shù)學與財經(jīng)系，湖北十堰 442000)

以三維直角坐標系下的三重積分課堂教學為例，基于換位思考通過典型例題剖析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律等步驟設計一堂課的教學設計，啟發(fā)引導學生掌握“投影法”和“截面法”的使用步驟和使用技巧，達到掌握知識的目的.

教學設計；三重積分；投影法；截面法

1 問題背景

在系統(tǒng)講完三維直角坐標系下三重積分的定義、性質及兩種計算方法(“先一后二”和“先二后一”)后，用一道習題檢測學生學習效果，題目為：求，其中是由曲面和平面=0和=1圍成[1]. 要求學生盡可能詳細地寫出解題過程，遇到困難可把原因標注出來. 結果顯示：筆者任教的鄖陽師范高等專科學校2013級數(shù)學教育專業(yè)某班共57名學生(含19名男生、38名女生)僅有16名學生(含2名男生、14名女生)完成了該題求解的第一個步驟，即把被積函數(shù)展開，拆成2項或3項. 這其中的6名學生(含1名男生、5名女生)計算出正確結果，超過2/3學生不知所云. 問題主要表現(xiàn)為：1)做題思路完全不清晰，未理解“先一后二”和“先二后一”兩種方法；2)方法未能完全掌握，如投影區(qū)域、曲頂曲底或截面區(qū)域不能正確表示；3)可以用這兩種方法正確表示，但未掌握三重積分計算；4)做題缺乏自信. 三重積分積分區(qū)域復雜、計算繁瑣，是重積分計算中的一大難點，學生剛學完新內容就做題遇到這些問題、正確率低是正常的，但需要引起重視，并對這些問題根源進行探析和改變教學方式.

2 解題過程反思

其次，積分區(qū)域是一個簡單圓柱體，無論是“先一后二”找曲頂曲底和投影區(qū)域還是“先二后一”找截面區(qū)域，看似比較簡單，但由于使用“先一后二”時的曲頂曲底和使用“先二后一”時的包圍立體的兩平面一樣，同時投影區(qū)域D和截面區(qū)域D的表達式也一樣，導致學生在使用這兩種方法時思路混亂從而造成累次積分計算順序混亂.

另外，相當一部分學生反映做題時缺乏自信，不確信自己的解題正確與否，憑感覺答題.

基于上述教學分析，筆者以三維直角坐標系下三重積分課堂教學為例，通過換位思考、典型例題剖析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律等，同時調動學生課堂參與積極性，達到熟練掌握知識的目的.

3 教學設計

3.1 換位思考，了解學生思維盲區(qū)

現(xiàn)代教學理念提倡基于學生視角進行教學設計[2]. 在這一理念下，教師需要與學生換位思考，把自己原有的認知結構替換成類似學生的認知結構，站在學生角度思考遇到問題會經(jīng)歷怎樣的經(jīng)驗碰撞、邏輯分析和推理論證等過程，對學生認知規(guī)律進行重新認識.

通過課后訪談和抽樣調查，筆者發(fā)現(xiàn)大部分學生糾結在不知道“先一后二”和“先二后一”具體是什么意思，只是機械地記住了公式. 這種被動機械地接受的學習方式導致學生在獨立解決具體問題時缺乏應有的分辨能力和自信，不知道該用哪種方法，更不可能知道每種方法具體適用于什么題型.

基于學生視角進行思考，筆者認為學生的說法不無道理，即“先一后二”和“先二后一”的表述確實比較抽象，且容易混淆，如果換成“投影法”和“截面法”[3]更加具體生動，也更容易理解. 鑒于此，筆者把計算公式改寫為：

顯然，經(jīng)過更換方法后，對公式的理解更加直觀. 學生自己總結這兩種方法的解題步驟，然后筆者對學生進行抽樣調查發(fā)現(xiàn)，其解題思路清晰，全班對公式理解效果比較好.

3.2 典型例題剖析，熟悉公式應用

此題為華東師大數(shù)學系主編的《數(shù)學分析》下冊第21章第5節(jié)例2的一個變式，但此時被積函數(shù)和積分區(qū)域已有變化，且建立在“投影法”和“截面法”下，勢必會給學生帶來新的變化. 故應站在學生角度，在學生普遍的思維框架下加以引導. 可按以下方式設計教學環(huán)節(jié)：

圖1 拋物面三維視圖

首先，不妨先畫出積分區(qū)域，然后觀察其特點，最后再確定方法. 如圖1所示，可從兩個途徑描述：

此時，部分學生思路開始清晰：用不同方式描述，就意味著用不同方法求解. 對于這部分學生老師應給予極大肯定，并鼓勵其寫出不同方法下累次積分的表達式. 正確表達式如下：

3.3 及時總結規(guī)律，深化理論認識

由上例可以看出，一些問題可以用兩種方法解決，但是不同的方法有沒有針對性呢？

一部分學生發(fā)現(xiàn)，此題使用截面法計算異常簡單，原因在于被積函數(shù)只與相關，而二重積分的變量又是,，故可提到積分符號外面，二重積分就變成了求截面區(qū)域的面積，而截面區(qū)域可看成以為半徑的圓，問題就迎刃而解.

教師應鼓勵學生分組討論總結規(guī)律：若被積函數(shù)只和相關，可用平面=去截積分區(qū)域，使用截面法可簡化運算. 并引導學生，繼續(xù)思考若被積函數(shù)只和或相關的情況，并出示以下練習：

注：此練習的目的一為鞏固上述結論，二為復習積分的線性性質，為下面的講解做好鋪墊.

3.4 循序漸進，強調公式應用細節(jié)

有了上述鋪墊，面對此問題，學生可以自然會想到利用三重積分的線性性質將被積函數(shù)拆成兩部分和，并分別使用“投影法”和“截面法”來完成. 同時有些學生在解題過程中會發(fā)現(xiàn)，對于1來說，這兩種方法的難易度和計算復雜度區(qū)別不大，這是因為此題中的積分區(qū)域是柱體，即投影區(qū)域和截面區(qū)域是相同的.

對于這一發(fā)現(xiàn)，教師可在肯定其善于思考的同時也應進一步強調，雖然這兩種方法只是積分順序不一樣，但其蘊涵了兩種不同的解題思想，在具體解題過程中不能混為一談.

3.5 橫向拓展，激發(fā)學生發(fā)散思維

和例3相比，例4的被積函數(shù)多了2一項，也即只需求出就知道此題答案. 根據(jù)全樣本調查發(fā)現(xiàn)，有4/5的學生得到正確答案為0，使用這兩種方法的比例接近1:1. 教師可根據(jù)此特殊結果，引導學生思考積分與被積函數(shù)以及積分區(qū)域形式的關系.

從而引導學生得出結論：1)如果積分區(qū)域在O面不易投影或不便運算，可將其投影到O或O面上進行運算，計算公式也將相應變化. 2)如果被積函數(shù)關于(或)是奇函數(shù)，積分區(qū)域關于投影平面對稱，則積分為零.

3.6 增強自信，綜合應用知識解決復雜問題

通過上述課堂設計教學和引導，然后對文章開頭的例題重新對學生解題進行調查. 經(jīng)現(xiàn)場調查發(fā)現(xiàn)：全班57名學生，除2名學生基礎太差外，其他55名學生均能準確寫出第一步，其中40名學生得到了正確的結果，正確率較之前提高了60%. 關于非認知因素方面，經(jīng)課后訪談調查，之前表現(xiàn)出不自信、缺乏成就感、對題目抱有畏難甚至恐懼情緒的學生也大大減少.

4 結語

本課堂設計建立在從教師與學生換位思考的角度對學生課后習題表現(xiàn)進行分析的基礎上，效果比較好，學生比較容易掌握新知識. 因此，課堂教學設計應該注重以下幾點：一是遵循學生的認知規(guī)律，由易到難、由簡到繁、由特殊到一般循序漸進. 二是換位思考，站在學生的立場看待問題，了解其需要和難點. 三是反思貫穿教學過程每個環(huán)節(jié). 邊教學邊思考，促使了教學預設目標和生成目標的共同達成. 四是，盡可能調動學生的積極性，及時鼓勵和贊揚學生也是至關重要的. 最后就是充分信任學生，相信他們可以自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并在老師的啟發(fā)引導下可以獨立解決問題.

[1] 錢吉林. 數(shù)學分析解題精粹[M]. 武漢: 崇文書局, 2003: 523-545.

[2] 周永凱, 王文博, 田紅艷. 現(xiàn)代大學教學設計與案例[M]. 北京: 中國輕工業(yè)出版社, 2010.

[3] 李 昆, 趙 剛. 三重積分中兩種計算方法的比較[J]. 孝感學院學報, 2010(6): 23-25.

[4] 華中師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析(下冊)[M]. 4版. 北京: 高等教育出版社, 2010: 255-259.

[5] 王策三. 教學論稿[M]. 2版. 北京: 人民教育出版社, 2005.

[6] 周 浚. 三重積分求解方法的深入研究[J]. 荊楚理工學院學報, 2010(7): 38-41.

[7] 林 謙. 直角坐標系下三重積分計算法的探討[J]. 云南師范大學學報: 自然科學版, 1999(5): 67-72.

(責任編輯：饒 超)

A Teaching Design Based on Transpositional Consideration: Taking Triple Integral in Right Angle Coordinate System as an Example

YU Xiaojuan, XIE Chengrong

(Mathematics and Financial Department, Yunyang Teachers’ College, Shiyan 442000, China)

Taking classroom teaching for triple integral in right angle coordinate system as an example, based on transpositional consideration, it focuses on analyzing typical examples and looking for rules to make the students master projection method and section method.

Teaching design; Triple integral; Projection method; Section method

G642.421

A

2095-4476(2015)05-0081-04

2015-03-12;

2015-04-08

鄖陽師專校級科研項目(2013C07)

余曉娟(1981— ), 女, 湖北鄖縣人, 鄖陽師范高等?？茖W校數(shù)學與財經(jīng)系講師.