李群宏韋麗梅 盧裕木

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南寧 530004）

一類不連續(xù)映射的分岔分析*

李群宏?韋麗梅 盧裕木

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南寧 530004）

研究一類一維分段不連續(xù)映射的邊界碰撞分岔問題，推導(dǎo)了周期n解的邊界碰撞分岔曲線及fold分岔?xiàng)l件，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了這些條件的正確性.研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在周期增加序列和周期疊加序列.最后，對(duì)分段不連續(xù)映射進(jìn)行三參數(shù)分岔研究，揭示了系統(tǒng)各參數(shù)對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為的綜合影響.

分段映射，邊界碰撞分岔，周期疊加，周期增加

引言

一些工程和物理科學(xué)的問題在數(shù)學(xué)上可由非光滑系統(tǒng)表出，如碰摩轉(zhuǎn)子［1］、干摩擦振子［2］、心臟模型的一種交替現(xiàn)象等經(jīng)常表示為分段映射模型.在非光滑系統(tǒng)的分析中，邊界碰撞分岔研究對(duì)于描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有重要作用.許多學(xué)者對(duì)不同非光滑系統(tǒng)的邊界碰撞分岔做了大量工作. Nusse等［3］研究了二維分段映射的邊界碰撞分岔現(xiàn)象.此外，Nusse等［4］指出了一維分段映射在發(fā)生邊界碰撞分岔后將出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為混沌、多帶混沌以及周期增加分岔現(xiàn)象.Feigin等［5］對(duì)n維映射中的邊界碰撞分岔的分類做了開創(chuàng)性的研究. Di Bernardo等［6］將該系列成果在現(xiàn)代分岔理論框架下對(duì)分段映射的邊界碰撞分岔進(jìn)行分類.Chin等［7-8］分析了二維分段映射在發(fā)生擦邊碰撞后系統(tǒng)將出現(xiàn)周期增加和周期共存現(xiàn)象.

根據(jù)系統(tǒng)在邊界性質(zhì)的不同，可將系統(tǒng)分為分段光滑連續(xù)系統(tǒng)和分段光滑不連續(xù)系統(tǒng).雖然兩者都能產(chǎn)生邊界碰撞分岔，但所得分岔性質(zhì)有明顯差異.對(duì)一維分段光滑連續(xù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)［9-13］研究表明系統(tǒng)在發(fā)生邊界碰撞分岔后均產(chǎn)生成對(duì)的環(huán)（鞍結(jié)點(diǎn)型和鞍點(diǎn)-鞍點(diǎn)型），也可發(fā)生環(huán)的同宿分岔.對(duì)一維分段光滑不連續(xù)系統(tǒng)，文獻(xiàn)［14-15］研究結(jié)果表明系統(tǒng)在發(fā)生邊界碰撞分岔后不僅能產(chǎn)生單一的環(huán)，還伴隨周期增加、周期疊加、混沌等動(dòng)力學(xué)行為.以上考慮的分段映射具有如下特性：分界面一側(cè)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，另一側(cè)函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，且其中一側(cè)函數(shù)具有不動(dòng)點(diǎn).最近，文獻(xiàn)［16-17］討論了一維分段光滑不連續(xù)系統(tǒng)中兩側(cè)函數(shù)都為單調(diào)增函數(shù)的情況.

在文獻(xiàn)［15］中，考慮了如下分段映射：

該模型可以用來解釋一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，如技術(shù)交易與基本交易間的金融關(guān)系，“牛熊市動(dòng)力學(xué)”，金融危機(jī)等.再比如，在股市交易市場(chǎng)中，價(jià)格的調(diào)整過程可以用簡單的線性函數(shù)表示，而莊家的調(diào)節(jié)模式則用雙曲線函數(shù)表示.對(duì)上述系統(tǒng)，文獻(xiàn)［15］只討論了參數(shù)范圍為a＞1，a＜c，1＜c＜b的情形，研究結(jié)果表明：以上系統(tǒng)存在周期增加1的序列RLk和周期增加2的序列LRk，并伴隨出現(xiàn)周期窗口與混沌相交替的現(xiàn)象.本文研究系統(tǒng)（1）在f（x）=ax+b且a＞1，0＜c＜1，0＜b＜1時(shí)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的變化.通過理論分析與數(shù)值分析，不僅得到系統(tǒng)存在周期增加序列和周期疊加序列的結(jié)果，而且對(duì)三參數(shù)分岔的研究展現(xiàn)了系統(tǒng)全部參數(shù)對(duì)其動(dòng)力學(xué)行為的綜合影響.因此，本文是對(duì)文獻(xiàn)［15］的進(jìn)一步補(bǔ)充和完善.

1　系統(tǒng)模型

考慮如下映射：

由于分段映射（2）兩邊都是單調(diào)增函數(shù)，為了后面討論的需要，要求映射（2）滿足以下條件：

由（3）、（4）解得a＞1，0＜c＜1，0＜b＜1.映射（2）的圖像如圖1所示.

圖1　當(dāng)a=5，b=0.2，c=0.7時(shí)分段映射T（x）的圖像Fig.1 Schematic diagram of the piecewise map T（x）with a=5，b=0.2，c=0.7

分段映射（2）的不變吸引區(qū)間為

本文將在此不變吸引區(qū)間上研究映射（2）的動(dòng)力學(xué)行為.

2　以b為分岔參數(shù)的邊界碰撞分岔

以b為分岔參數(shù)，系統(tǒng)（2）的全局分岔圖如圖2所示.由圖2可知，映射（2）存在周期增加序列和周期疊加序列.以下將通過理論分析證實(shí)數(shù)值結(jié)果的準(zhǔn)確性.

圖2　a=5，c=0.7，x0=1.5（a）映射T（x）關(guān)于b的分岔序列，（b）局部放大圖Fig.2 a=5，c=0.7，x0=1.5（a）Bifurcation sequence of map T（x）with parameter b，（b）Partially enlarged diagram of Fig.2（a）

2.1LRk序列下的邊界碰撞分岔

對(duì)于分段映射，邊界碰撞分岔會(huì)導(dǎo)致任意周期的環(huán)的出現(xiàn)或消失，而環(huán)的邊界碰撞分岔?xiàng)l件則通過周期點(diǎn)碰撞不連續(xù)邊界得到.以周期3環(huán)的邊界碰撞分岔為例，如圖3所示，只要x0∈［g（1），1］，則周期3環(huán)存在，其周期點(diǎn)分別為x0＜1，x1＞x2＞1.當(dāng)周期點(diǎn)碰撞不連續(xù)邊界后，周期3環(huán)發(fā)生邊界碰撞分岔，其分岔?xiàng)l件為x0=1（如圖3（a））和x2= 1（如圖3（b）），x2=1也等價(jià)于x0=g（1）.

圖3　周期3環(huán)的邊界碰撞分岔Fig.3 Border-collision bifurcation of a period-3 cycle

由以上分析可知：導(dǎo)致環(huán)出現(xiàn)或消失的兩個(gè)邊界碰撞分岔?xiàng)l件對(duì)應(yīng)于吸引區(qū)間I=［c，a+b］的邊界，即x0=1對(duì)應(yīng)x1=f（x0）=a+b，x2=1對(duì)應(yīng)x0=g（1）=c.

下面考慮周期k+1環(huán)，定義為｛x0＜1，x1＞x2＞…＞xk＞1｝的邊界碰撞分岔，即系統(tǒng)在邊界的左邊迭代1次，用符號(hào)L表示，在邊界的右邊迭代k次，用符號(hào)R表示，則周期k+1解的形式為LRk，而邊界碰撞分岔?xiàng)l件由復(fù)合映射的不動(dòng)點(diǎn)x0來決定，其迭代表達(dá)式如下：

通過迭代表達(dá)式，可知x0表示如下（其中d=1-b）：

下面先考慮環(huán)LRk的存在條件，其次研究環(huán)LRk的邊界碰撞分岔曲線.環(huán)的存在性通過x0∈［g（1），1］得出，即：

圖4　c=0.7平面（a，b）上的LRk周期區(qū)域Fig.4 Periodic regions of LRkin the plane（a，b）for c=0.7

最后討論環(huán)的穩(wěn)定性，其穩(wěn)定性條件如下：

由于x1＞x2＞…＞xk＞1，故λ（LRk）＜ack（1-b）k＜1，則穩(wěn)定性條件為：

2.2RLk序列下的邊界碰撞分岔

本小節(jié)考慮周期k+1環(huán)，定義為｛x0＞1，x1＜x2＜…＜xk＜1｝，即系統(tǒng)在邊界的左邊迭代k次，用符號(hào)L表示，在邊界的右邊迭代1次，用符號(hào)R表示，則周期k+1環(huán)的表達(dá)式為RLk.而邊界碰撞分岔?xiàng)l件由復(fù)合映射的不動(dòng)點(diǎn)x0來決定，x0的表達(dá)式如下：

令A(yù)=f2-3eg，B=fg-9eh，C=g2-3fh，Δ=B2-4AC.根據(jù)一元三次方程的求根公式［19］，（15）的根可以分為以下4種情況.

（ⅰ）當(dāng)A=B=0時(shí)，

（ⅳ）當(dāng)Δ=B2-4AC＜0時(shí)，

最后通過特征值確定環(huán)RLk的穩(wěn)定性，結(jié)論如下：

環(huán)RLk發(fā)生fold分岔的條件如下：

解得相應(yīng)的x0為：

聯(lián)立（25）（26），解得環(huán)RLk發(fā)生fold分岔時(shí)對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍：

圖5　c=0.7平面（a，b）上的RLk周期區(qū)域Fig.5 Periodicregions of RLkin the plane（a，b）for c=0.7

3　以c為分岔參數(shù)的邊界碰撞分岔

本節(jié)討論以c為分岔參數(shù)時(shí)，映射（2）的動(dòng)力學(xué)行為.全局分岔圖如圖6所示，通過數(shù)值仿真觀察到系統(tǒng)（2）存在周期增加序列，周期疊加序列，與以b為分岔參數(shù)的數(shù)值結(jié)果相同（如圖2所示）.

圖6　a=1.1，b=0.2，x0=1.5映射T（x）關(guān)于c的分岔序列Fig.6 Bifurcation sequence of map T（x）with parameter b for a=1.1，b=0.2，x0=1.5

下面研究以c為分岔參數(shù)時(shí)，環(huán)RLk的邊界碰撞曲線，邊界超平面ξenv及大碰撞分岔（即無數(shù)條分岔曲線的交點(diǎn)）.環(huán)LRk的討論方法與RLk的討論方法一樣，故只討論環(huán)RLk的邊界碰撞分岔.

邊界超平面ξenv由條件g（f（1））=f（g（1））得到：

即在點(diǎn)BI（a）即發(fā)生大碰撞分岔.

圖7　a=1.1平面（b，c）上的RLk周期區(qū)域Fig.7 Periodicregions of RLkin the plane（b，c）for a=1.1

4　三參數(shù)的分岔分析

本節(jié)將通過數(shù)值仿真，研究映射（2）的環(huán)的周期區(qū)域隨3個(gè)參數(shù)改變的情況.

圖8　平面（a，b）上環(huán)存在的周期區(qū)域隨參數(shù)c改變的情況（（a）c=0.1，（b）c=0.2 or 0.3，（c）c=0.4，（d）c=0.5，（e）c=0.6，（f）c=0.7～0.9）Fig.8 The change of periodic regions with the variation of parameter c in the plane（a，b）（（a）c=0.1，（b）c=0.2 or 0.3，（c）c=0.4，（d）c=0.5，（e）c=0.6，（f）c=0.7～0.9）

圖8（a）說明c=0.1時(shí)，系統(tǒng)（2）在b∈（0，0. 6）不存在任何的周期區(qū)域；圖8（b）說明c=0.2或0.3時(shí)，系統(tǒng)（2）在b∈（0，0.6）存在周期2環(huán)的區(qū)域PLR；圖8（c）說明c=0.4時(shí)，系統(tǒng)（2）在b∈（0，0.6）存在周期2環(huán)的區(qū)域PLR，周期3環(huán)的區(qū)域PLR2；圖8（d）說明c=0.5時(shí)，系統(tǒng)（2）在b∈（0，0.6）存在周期2環(huán)的區(qū)域PLR，周期3環(huán)的區(qū)域PLR2，周期4環(huán)的區(qū)域PLR3；圖8（e）說明c=0.6時(shí)，系統(tǒng)（2）在b∈（0，0.6）存在周期2環(huán)的區(qū)域PLR，周期3環(huán)的區(qū)域PLR2，周期4環(huán)的區(qū)域PLR3，周期5環(huán)的區(qū)域PLR4；圖8（f）說明c=0.7～0.9時(shí)，系統(tǒng)（2）在b∈（0，0.6）存在周期2環(huán)的區(qū)域PLR，周期3環(huán)的區(qū)域PLR2，周期4環(huán)的區(qū)域PLR3，周期5環(huán)的區(qū)域PLR4，周期6環(huán)的區(qū)域PLR5，周期7環(huán)的區(qū)域PLR6.圖8（a）～（f）說明了，環(huán)的周期隨著參數(shù)c的增加而增加.

圖9　平面（b，c）上環(huán)存在的周期區(qū)域隨參數(shù)a改變的情況（（a）a=1.1～1.6，（b）a=1.7or＞1.7）Fig.9 The change of periodic regions with the variation of parametera in the plane（a，b）（（a）a=1.1～1.6，（b）a=1.7or＞1.7）

圖9（a）（b）說明了系統(tǒng)（2）存在周期2環(huán)的區(qū)域PRL，周期3環(huán)的區(qū)域PRL2，周期4環(huán)的區(qū)域PRL3，周期5環(huán)的區(qū)域PRL4，周期6環(huán)的區(qū)域PRL5，周期7環(huán)的區(qū)域PRL6，環(huán)RL與環(huán)RL2共存的區(qū)域PRL∩PRL2，環(huán)RL2與環(huán)RL3共存的區(qū)域PRL2∩PRL3，環(huán)RL3與環(huán)RL4共存的區(qū)域PRL3∩PRL4，環(huán)RL4與環(huán)RL5共存的區(qū)域PRL4∩PRL5，環(huán)RL5與環(huán)RL6共存的區(qū)域PRL5∩PRL6，環(huán)RL與環(huán)RL2疊加的區(qū)域PRLRL2，環(huán)RL2與環(huán)RL3疊加的區(qū)域PRL2RL3，環(huán)RL3與環(huán)RL4疊加的區(qū)域PRL3RL4，環(huán)RL4與環(huán)RL5疊加的區(qū)域PRL4RL5，環(huán)RL5與環(huán)RL6疊加的區(qū)域PRL5RL6.不同之處在于圖9（a）在a=1.1～1.6時(shí)，系統(tǒng)（2）存在曲線ξenv，而當(dāng)a=1.7（或＞1.7）時(shí)，圖9（b）不存在曲線ξenv.

5　小結(jié)

對(duì)一類分段映射（2），在新的參數(shù)范圍內(nèi)，討論了導(dǎo)致環(huán)RLk與環(huán)LRk出現(xiàn)或消失的邊界碰撞分岔曲線及fold分岔?xiàng)l件，并且本文還綜合考慮了各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，更加全面地揭示了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.通過數(shù)值仿真，發(fā)現(xiàn)在新的參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)不產(chǎn)生混沌，但是出現(xiàn)了周期環(huán)的周期增加、周期疊加現(xiàn)象.以上分析對(duì)全面了解分段映射（2）的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)具有指導(dǎo)意義.

1 梁?；?，鄭偉峰.碰摩轉(zhuǎn)子映射系統(tǒng)的非線性反饋混沌控制.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2007，5（1）：30～33（Liang H H，Zheng W F.Nonlinear feedback control of chaos in rub-impact rotor mapping systems.Journal of Dynamics and Control，2007，5（1）：30～33（in Chinese））

2 李志從，王琪.受兩個(gè)頻率激勵(lì)和皮帶驅(qū)動(dòng)的具有干摩擦的振子的動(dòng)力學(xué)分析.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2008，6（1）：45～49（Li Z C，Wang Q.Dynamical analysis of a dry friction oscillator with two-frequency excitation and belt driving.Journal of Dynamics and Control，2008，6（1）：45～49（in Chinese））

3 Nusse H E，Ott E，Yorke J A.Border-collision bifurcations：an explanation for observed bifurcations phenomena. Physical Review E，1994，49（2）：1073～1076

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13 Gardini L，Sushko I，Naimzada A K.Growing through chaotic intervals.Journal of Economic Theory，2008，143（1）：541～557

14 Gardini L，Tramontana F.Border-collision bifurcation curves and their classification in a family of 1D discontinuous maps.Chaos，Solitons&Fractals，2011，44（4-5）：248～259

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17 Bischi G I，Gardini L，Tramontana F.Bifurcation curves in discontinuous maps.Discrete and Continuous Dynamical Systems，Series B，2010，13（2）：249～267

18 Avrutin V，Schanz M，Banerjee S.Multi-parametric bifurcations in a piecewise linear discontinuous map.Nonlinearity，2006，19：1875～1906

19 范盛金.一元三次方程的新求根公式與新判別法.海南師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1989，2（2）：91～98（Fan S J.A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.Natural Science Journal of Hainan Teachers College，1989，2（2）：91～98（in Chinese））

BIFURCATION ANALYSIS IN A CLASS OF DISCONTINUOUS MAPS*

Li Qunhong?Wei Limei Lu Yumu
（College of Mathematics and Information Science，Guangxi University，Nanning 530004，China）

Border-collision bifurcations of a class of one-dimensional piecewise discontinuous maps were investigated.The border-collision bifurcation curves and fold bifurcation conditions for period-n solutions were derived. The correctness of the deduced results was confirmed through the numerical simulations.It is found that there are period adding sequences and period overlapping sequences in the system.Finally，the three-parameter bifurcations of the piecewise discontinuous map were considered，which demonstrates the combined influence of all the parameters in the map.

piecewise map，border-collision bifurcation，period overlapping，period adding

26 January 2014，revised 3 April 2014.

E-mail：liqh@gxu.edu.cn

10.6052/1672-6553-2014-021

2014-01-26收到第1稿，2014-04-03收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10972059和11372077）和廣西自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2010GXNSFA013110和2013GXNSFAA019017）

E-mail：liqh@gxu.edu.cn

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（10972059 and 11372077）and the Guangxi Natural Science Foundation（2010GXNSFA013110 and 2013GXNSFAA019017）