劉榮玄，鄔四英，張 萍

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關(guān)于三參數(shù)Pareto分布的參數(shù)估計問題

*劉榮玄1，鄔四英1，張 萍2

（1.井岡山大學數(shù)理學院，江西，吉安 343009 ；2.井岡山大學繼續(xù)教育學院，江西，吉安 343000）

在逐步增加首失效截尾樣本下，研究三參數(shù)Pareto分布族形狀參數(shù)的一致最小方差無偏估計（UMVUE）, 在對稱平方損失函數(shù)下，討論其Bayes估計和參數(shù)型經(jīng)驗Bayes（PEB）估計；按照均方誤差（MSE）準則，比較UMVUE與PEB估計的小樣本性質(zhì)；根據(jù)形狀參數(shù)的風險，導出其Bayes估計與PEB估計的大樣本性質(zhì)，并獲得它們的收斂速度。

首失效截尾樣本；三參數(shù)Pareto分布；UMVUE與PEB估計；樣本性質(zhì)

自1897年意大利經(jīng)濟學家VilfredoPareto (1848-1923)提出Pareto分布后[1]，經(jīng)過一個多世紀的發(fā)展，Pareto分布得到了推廣，由二參數(shù)Pareto分布推廣到三參數(shù)Pareto分布和廣義Pareto分布，并廣泛地應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，解決實際問題。Pareto分布參數(shù)估計問題的研究也取得了諸多成果。文獻[2]在平方損失函數(shù)下研究了二參數(shù)Pareto 分布形狀參數(shù)的漸進最優(yōu)與可容許的經(jīng)驗 Bayes 估計及其性質(zhì)；文獻[3]在平方損失函數(shù)和LINEX損失函數(shù)下研究了二參數(shù)Pareto 分布形狀參數(shù)和可靠性指標的 Bayes 估計；文獻[4]在與信息論中的熵函數(shù)有關(guān)的q-對稱熵損失函數(shù)下研究了 Pareto 分布形狀參數(shù)的最小風險同變估計、Bayes估計以及可容許與不可容許估計，并給出了形狀參數(shù)的一個最小最大估計；文獻[5]將兩參數(shù)的情形推廣到三參數(shù)，并研究了尺度參數(shù)和形狀參數(shù)估計的漸近性質(zhì)，指出多數(shù)的形狀參數(shù)具有接近于最小的偏差和均方誤差的特點。本文基于逐步增加首失效截尾樣本研究三參數(shù)Pareto 分布參數(shù)估計問題。

在可靠性壽命試驗中，截尾試驗是一類應(yīng)用非常廣泛的試驗，隨著科學技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)品壽命不斷提高，實驗成本越來越大，實驗時間也越來越長，針對實際問題，研究者對傳統(tǒng)的定數(shù)截尾和定時截尾壽命實驗進行了改進，提出了逐步增加截尾實驗，文獻[6-7]討論了正態(tài)樣本下逐步增加截尾數(shù)據(jù)下參數(shù)的似然估計和區(qū)間估計； Balakrishnan和Aggarwala[8]對壽命試驗和逐步截尾壽命試驗進行了統(tǒng)計分析。然而對于高壽命產(chǎn)品，逐步增加截尾試驗仍然比較費時，成本偏高。2009年Wu和Kus[9]提出了逐步增加首失效截尾壽命試驗，這種試驗既可以了解產(chǎn)品的失效機理，又能了解產(chǎn)品的退化情況，還可以節(jié)約時間和成本。目前利用這種試驗獲取樣本，研究分布函數(shù)參數(shù)估計的文獻并不多見。文獻[10]基于逐步增加首失效截尾樣本，在對稱和非對稱損失函數(shù)下研究了Burr分布可靠性指標的Bayes估計。本文采用該種試驗獲取樣本，在對稱平方損失函數(shù)下，研究三參數(shù)Pareto分布參數(shù)的UMVUE、PEB估計和區(qū)間估計，以及估計的小樣本性質(zhì)、大樣本性質(zhì)和區(qū)間估計的精度。

設(shè)三參數(shù)Pareto分布的密度函數(shù)為

證明根據(jù)指數(shù)經(jīng)典變換

可得

其中

從而

又因為

根據(jù)伽瑪分布的有限可加性知

1 參數(shù)估計

1.1 參數(shù)的UMVUE

相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為

于是可得參數(shù)的極大似然估計為

證明

1.2 參數(shù)的Bayes估計

即

假設(shè)損失函數(shù)為

其Bayes風險為

由引理2和(6)式可知

將(10)、(11)、(12)、(13)五式全部代入Bayes風險中，有

如果超參數(shù)存在未知情況，我們可用歷史樣本，采用點估計法對參數(shù)進行估計，進而得到參數(shù)的PEB估計。

1.3 參數(shù)的PEB估計

由（10）式知

其數(shù)學期望為

其Bayes風險為

將 (11)~(13)、(20)~(22)六式全部代入（19），于是可得

2 估計的小樣本性質(zhì)

證明由引理3得

將(11)~ (13)三式全部代入(24)式，可得

又由（23）式可得

于是有

3 估計的大樣本性質(zhì)

證明由（14）、（23）式可知

[1] Arnold B C. Pareto distribution[M]. Fairland，Maryland：John Wiley & Sons, Inc.,1985.

[2] 謝天華,葉鷹. Pareto分布參數(shù)的漸進最優(yōu)與可容許的經(jīng)驗Bayes估計[J]. 應(yīng)用數(shù)學,2006,19(增):237-240．

[3] 侯華蕾,師義民,李豪亮. 雙邊定數(shù)截尾下Pareto分布的可靠性[J]. 數(shù)理統(tǒng)計與管理,2009,28(5):826-830．

[4] 宋立新,王明秋,王曉光. q-對稱熵損失函數(shù)下Pareto分布參數(shù)估計[J]. 大連理工大學學報,2011,51(4):616-620.

[5] 王芳,門慧. 三參數(shù)廣義帕累托分布的似然矩估計[J].數(shù)學年刊,2013,34A(3):299-312.

[6] Balakrishnan N,Mi J.Existence and uniqueness of the MLEs for normal distribution based on general progressively type-II censored samples[J].Statistics & probability Letters, 2003,64(4):407-414.

[7] Balakrishnan N,Kannan N ,Lin C T,et al. Point & interval estimation for Gaussian distribution,based on progressively type-II censored samples[J].IEEE Transactions on Reliability, 2003,52(1):90-95.

[8] Balakrishnan N, Aggarwala R. Progressive Censoring:

Theory,Methods,and Applications [M].Boston: Springer Science & Business Media, 2000.

[9] Wu S J,Kus C. On estimation bsaed on progressive first-failure-censored sampling[J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2009 ,53:3659-3670.

[10] 王亮,師義民.兩參數(shù)Pareto分布逐步首失效樣本的Bayes估計[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2012,32(11): 498-2503.

[11] 劉榮玄,朱先陽.三參數(shù)Burr分布族參數(shù)的經(jīng)驗Bayes估計的優(yōu)良性[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學，2013,33(8):913-921.

ESTIMATION OF THREE-PARAMETER PARETO DISTRIBUTION UNDER PROGRESSIVELY FIRST-FAILURE-CENSORED DATA

*LIU Rong-xuan1, WU Si-ying1, ZHANG Ping2

(1.School of Maths and Physics, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China；2. School of Continuing Education, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343000, China)

We derive the uniformly minimumvariance unbiasedestimation (UMVUE) of shape parameter of the three-parameter Pareto distribution family based on progressive first-failure-censoring samples.Furthermore, the Bayesian estimation and the parameter-type empiricalBayes (PEB) estimation have been obtained under the symmetric loss function. The small sample properties of UMVUE and the PEB estimation are compared under the mean- square error (MSE) criterion. The large sample properties of the Bayesian estimation and the PEB estimation of the parameters are proved according to the risk of the shape parameter and the convergence rateis obtained. The interval estimations of the parameters in classical statistics and Bayesian statistics are discussed respectively under the same or similar credible level. At last, the precision of the Bayesian interval estimation is better than in classical statistics is illustrated by some numerical simulation results.

first-failure-censoring samples; three-parameter Pareto distribution; UMVUE and PEB estimation; sample properties

1674-8085(2015)04-0007-06

O212.8

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2015.04.002

2015-03-29；修改日期：2015-04-25

江西省教育科學規(guī)劃項目(12YB049).

*劉榮玄(1959-)，男，江西遂川人，副教授，主要從事概率統(tǒng)計及貝葉斯統(tǒng)計的教學與研究(E-mail:lrx8231901@163.com);

鄔四英(1970-)，女，江西吉安人，統(tǒng)計師，主要從事統(tǒng)計工作(E-mail:lrx3536454@163.com);

張 萍(1960-)，女，山東濟南人，館員，主要從事檔案工作(E-mail:lis8881716@aliyun.com).