胡玉茹，劉亮，張?jiān)?/p>

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斜腹板箱形截面的扭轉(zhuǎn)幾何特性

胡玉茹，劉亮，張?jiān)?/p>

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州，730070)

根據(jù)薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)理論中的幾何特性計(jì)算過程，推導(dǎo)斜腹板雙室箱形截面的扭轉(zhuǎn)中心、主扇性坐標(biāo)及主扇性慣性矩的實(shí)用計(jì)算公式，數(shù)值算例驗(yàn)證所推導(dǎo)公式的正確性。以所推導(dǎo)的實(shí)用公式為基礎(chǔ)，結(jié)合數(shù)值算例，詳細(xì)分析斜腹板傾角、懸臂板寬度及梁高等參數(shù)變化對(duì)斜腹板雙室箱形截面的扭轉(zhuǎn)中心、主扇性坐標(biāo)及主扇性慣性矩的影響規(guī)律。研究結(jié)果表明：扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面的距離隨著斜腹板傾角的增大而增大，但該距離與梁高之比卻隨著梁高的增大而減??；隨著懸臂板寬度的增大，懸臂板自由端處的主扇性坐標(biāo)將顯著增大；隨著斜腹板傾角的增大，主扇性慣性矩具有先增大后減小的變化規(guī)律；當(dāng)懸臂板寬度較大時(shí)，主扇性慣性矩隨懸臂板寬度的增大而迅速增大，梁高較大時(shí)主扇性慣性矩的增大程度尤為顯著。

斜腹板箱形截面；幾何特性；扭轉(zhuǎn)中心；主扇性坐標(biāo)；主扇性慣性矩

箱形梁由于具有有利的受力性能而廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代橋梁工程中。斜腹板箱梁(梯形截面箱梁)不僅具有結(jié)構(gòu)輕巧、造型美觀等優(yōu)點(diǎn)，而且由于底板寬度較小，可以有效減小墩臺(tái)的橫橋向尺寸，尤其適用于高墩橋梁。隨著預(yù)應(yīng)力技術(shù)的進(jìn)步及材料強(qiáng)度的提高，薄壁輕型化是現(xiàn)代混凝土箱梁的一個(gè)主要發(fā)展趨勢(shì)。眾所周知，當(dāng)按薄壁箱梁理論分析箱梁的約束扭轉(zhuǎn)時(shí)，需要計(jì)算截面的扭轉(zhuǎn)中心、主扇性坐標(biāo)及主扇性慣性矩等幾何特性，然而，這些扭轉(zhuǎn)幾何特性的計(jì)算過程非常繁瑣。為此，有些學(xué)者推導(dǎo)了計(jì)算箱形截面扭轉(zhuǎn)幾何特性的實(shí)用公式，有些學(xué)者則借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。陳淮等[1?2]借助薄壁梁彎曲理論中的彎曲中心概念，采用先計(jì)算彎曲剪力流的分布，然后通過建立等效力矩方程的途徑，推導(dǎo)了計(jì)算箱梁截面扭轉(zhuǎn)中心位置的公式。朱文正等[3]按照薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)理論中的一般方法，推導(dǎo)了單室梯形截面的扭轉(zhuǎn)中心計(jì)算公式，但公式形式復(fù)雜，不便應(yīng)用。周建春等[4]根據(jù)任意薄壁截面上翹曲變形的分布應(yīng)使整個(gè)截面的剪切應(yīng)變能為最小的思路，提出了一種計(jì)算任意薄壁截面主扇性坐標(biāo)的比擬有限元數(shù)值方法；周凌遠(yuǎn)等[5]按照類似的思路，從更一般的情況出發(fā)，采用數(shù)值積分的方法求解相關(guān)幾何特性。徐秀麗等[6]利用空間有限元軟件的分析功能計(jì)算薄壁箱梁截面的抗扭參數(shù)。趙勇 等[7?9]還給出了分段計(jì)算薄壁箱形截面幾何特性的積分表達(dá)式。Waldron[10]編制了一個(gè)可計(jì)算任意非對(duì)稱薄壁截面扭轉(zhuǎn)幾何特性的計(jì)算機(jī)程序。Kristek[11]雖然給出了一個(gè)計(jì)算斜腹板單室箱形截面扭轉(zhuǎn)中心的公式，但形式復(fù)雜。李琳等[12]推導(dǎo)了箱形截面的扭轉(zhuǎn)中心及主扇性坐標(biāo)計(jì)算公式，但僅適用于直腹板箱梁。綜上所述，盡管在薄壁箱梁截面幾何特性計(jì)算方面已有不少文獻(xiàn)，但相關(guān)文獻(xiàn)中給出的計(jì)算扭轉(zhuǎn)中心位置等幾何特性的公式主要是針對(duì)直腹板箱梁建立的。雖然個(gè)別文獻(xiàn)中也給出了適用于斜腹板單室箱形截面的相關(guān)公式，但由于形式過于復(fù)雜，不便實(shí)際應(yīng)用。此外，已有文獻(xiàn)中幾乎沒有涉及箱梁截面參數(shù)變化對(duì)幾何特性影響的分析。本文作者針對(duì)斜腹板雙室箱形截面，選取頂板與中腹板交點(diǎn)作為輔助極點(diǎn)，導(dǎo)出了計(jì)算扭轉(zhuǎn)中心、主扇性坐標(biāo)及主扇性慣性矩的簡便公式，結(jié)合數(shù)值算例，具體分析斜腹板傾角、懸臂板寬度及梁高等參數(shù)變化對(duì)扭轉(zhuǎn)中心位置、主扇性坐標(biāo)及主扇性慣性矩的影響規(guī)律。

1 扭轉(zhuǎn)幾何特性計(jì)算公式

圖1所示為具有豎向?qū)ΨQ軸的斜腹板雙室箱形截面簡圖，直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于形心處，軸和軸為形心主軸。由于軸為截面對(duì)稱軸，故扭轉(zhuǎn)中心必位于該軸上。圖1中用表示扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面的距離，3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別用1，2和3表示，它們分別位于左側(cè)懸臂板端部、斜腹板與頂板及底板交點(diǎn)處。各板件寬度及厚度等變量參見圖1。為了確定扭轉(zhuǎn)中心(x,y)的位置及以為極點(diǎn)的主扇性坐標(biāo)ω，可任選一點(diǎn)(x,y)作為輔助極點(diǎn)，并求出以為極點(diǎn)的輔助扇性坐標(biāo)ω，則主扇性坐標(biāo)ω可按下式計(jì)算[13]：

(2)

(4)

式中：為箱形截面的面積；I和I分別為箱形截面對(duì)軸和軸的慣性矩。

圖1 斜腹板雙室箱形截面簡圖

對(duì)于圖1所示具有豎向?qū)ΨQ軸的斜腹板雙室箱形截面，若將輔助極點(diǎn)選在中腹板與頂板的交點(diǎn)處，且周線坐標(biāo)(以逆時(shí)針方向?yàn)檎?的起始點(diǎn)也選在該點(diǎn)處，則計(jì)算量會(huì)大大減小，從而很容易繪出相應(yīng)的輔助扇性坐標(biāo)ω圖如圖2所示，它關(guān)于軸呈反對(duì)稱分布，在中腹板上為零。

圖2 輔助扇性坐標(biāo)圖

3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)處的輔助扇性坐標(biāo)分別為：

(6)

式中：

(8)

(9)

將所得ω圖與圖(為節(jié)省篇幅，圖未繪出)進(jìn)行圖乘，即可由式(2)導(dǎo)出斜腹板箱形截面扭轉(zhuǎn)中心至中腹板與頂板的交點(diǎn)(輔助極點(diǎn))之間的豎向距離(亦即a)的公式，經(jīng)化簡整理后可表達(dá)為

(10)

式中：

(11)

根據(jù)圖2所示輔助扇性坐標(biāo)ω圖的反對(duì)稱性質(zhì)，顯然，式(3)和式(4)中的積分均為零，亦即a和均為零，從而，由式(1)即可很方便地得到主扇性坐標(biāo)。主扇性坐標(biāo)圖在中腹板處也為零，且關(guān)于軸呈反對(duì)稱分布。3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)處的主扇性坐標(biāo)計(jì)算公式分別為：

(13)

(14)

通過對(duì)主扇性坐標(biāo)圖自乘，即可求得主扇性慣性矩I，經(jīng)化簡整理后可表達(dá)為

(15)

2 數(shù)值算例驗(yàn)證

文獻(xiàn)[14]中給出了一個(gè)斜腹板單箱雙室箱形截面算例，截面尺寸如圖3所示，=660 mm，=240 mm，=420 mm，=120 mm，各板件厚度均為20 mm。按文獻(xiàn)[13]中的計(jì)算方法，經(jīng)繁瑣的運(yùn)算過程求得該截面的扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面的距離為67.02 mm，而按式(10)可直接求得該截面的扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面的距離為=67.03 mm?？梢姡瑑烧邘缀跬耆嗤?，但應(yīng)用式(10)卻大大簡化了計(jì)算過程。按式(12)~(14)求得該截面3個(gè)控制點(diǎn)處的主扇性坐標(biāo)分別為：

1=4 795.6 mm2，2=?3 248.2 mm2，3=3 543.9 mm2。

單位：mm

該斜腹板箱形截面的主扇性坐標(biāo)圖如圖4所示。

單位：mm2

按式(15)求得該斜腹板箱形截面的主扇性慣性矩為I=1.016×1011mm6。

按本文推導(dǎo)的公式對(duì)文獻(xiàn)[3]給出的斜腹板單箱單室箱形截面進(jìn)行計(jì)算，該單室截面尺寸為：== 3 000 mm，=2 000 mm，=4 573 mm，t=16 mm，t= 12 mm，t=10 mm。按式(10)求得該截面的扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面的距離為=2 172.5 mm，與文獻(xiàn)[3]給出的結(jié)果一致。按本文推導(dǎo)的主扇性坐標(biāo)計(jì)算公式求得各控制點(diǎn)處的主扇性坐標(biāo)分別為：2=1.051 8×106mm2，3=?1.297 0×106mm2。按式(15)求得該截面的主扇性慣性矩為I=7.490×1016mm6。

再對(duì)文獻(xiàn)[12]中給出的單箱雙室直腹板箱形截面進(jìn)行計(jì)算，截面尺寸為=400 mm，==268 mm，=80 mm，t=12 mm，其余板件厚度均為10 mm。按本文推導(dǎo)的公式求得扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面距離為=43.86 mm，3個(gè)控制點(diǎn)處的主扇性坐標(biāo)分別為：1=187.1 mm2，2=?2 707.5 mm2，3=3 741.5 mm2，與文獻(xiàn)[12]中的結(jié)果相同。按式(15)求得該截面的主扇性慣性矩為I=2.924×1010mm6，也與文獻(xiàn)[15]中給出的結(jié)果 相同。

3 參數(shù)影響分析

為了考察斜腹板雙室箱形截面的腹板傾斜程度對(duì)扭轉(zhuǎn)中心位置的影響，以圖3所示的箱形截面為基礎(chǔ)，在維持上翼緣板全寬及底板全寬不變，且梁高及各板件厚度均不變的條件下，只改變箱室頂寬使邊腹板傾斜角變化(的定義參見圖1)，當(dāng)從240 mm逐漸增大至526 mm時(shí)，相應(yīng)腹板傾斜角從0°增大至50°(實(shí)際箱梁斜腹板傾斜角度一般小于45°)，作出相應(yīng)扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面距離的變化曲線如圖5所示。由圖5可以看出：在常用的斜腹板傾斜角度范圍內(nèi)，扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面的距離隨著腹板傾斜角的增大基本呈線性增大關(guān)系，亦即，隨著腹板傾斜角的增大，扭轉(zhuǎn)中心位置基本呈現(xiàn)出線性下移的趨勢(shì)。

圖5 扭轉(zhuǎn)中心位置隨腹板傾斜角變化曲線

為了考察斜腹板雙室箱形截面的懸臂板寬度變化對(duì)不同梁高時(shí)扭轉(zhuǎn)中心位置及主扇性坐標(biāo)的影響，以圖3所示的箱形截面為基礎(chǔ)，分別取梁高為120 mm和180 mm，在維持箱室寬度和及各板件厚度均不變的條件下，令懸臂板寬度從0 mm以21 mm為步長增大至210 mm，亦即懸臂板寬度與單室頂寬(210 mm)之比從0開始以0.1為步長增大至1.0，繪出扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面距離與梁高之比隨懸臂板寬度與單室頂寬之比的變化曲線如圖6所示。

h/mm: 1—120; 2—180

從圖6可以看出：當(dāng)懸臂板寬度與單室頂寬之比(可稱為懸臂板相對(duì)寬度)很小時(shí)(約小于0.1時(shí))，扭轉(zhuǎn)中心至頂板的相對(duì)距離(亦即與梁高之比)隨著懸臂板相對(duì)寬度的增大而增大，但當(dāng)懸臂板相對(duì)寬度超過0.1后，扭轉(zhuǎn)中心至頂板的相對(duì)距離隨著懸臂板相對(duì)寬度的增大反而減小。圖6還顯示，梁高=120 mm時(shí)扭轉(zhuǎn)中心至頂板的相對(duì)距離要比=180 mm時(shí)大。

圖7所示為梁高為120 mm和180 mm時(shí)3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)處主扇性坐標(biāo)隨懸臂板寬度與單室頂寬之比的變化曲線。

h/mm: (a) 120; (b) 180

從圖7可以看出：懸臂板端部即關(guān)鍵點(diǎn)1處的主扇性坐標(biāo)隨懸臂板相對(duì)寬度的增大而單調(diào)增大，而且伴隨有正負(fù)號(hào)的改變(由負(fù)變正)；關(guān)鍵點(diǎn)2和3處的主扇性坐標(biāo)均隨懸臂板相對(duì)寬度的增大而呈現(xiàn)出先增大后減小的變化規(guī)律。從圖7還可以看出：若將對(duì)應(yīng)于關(guān)鍵點(diǎn)1和3處主扇性坐標(biāo)相等時(shí)(即圖中1和3曲線的交點(diǎn)處)的懸臂板寬度與單室頂寬之比視為一個(gè)特征寬度比，顯然，隨著梁高的增大，該特征寬度比有明顯減小的趨勢(shì)。

最后考察腹板傾斜角及懸臂板寬度變化對(duì)主扇性慣性矩的影響。以圖3所示的箱形截面為基礎(chǔ)，在維持其他尺寸不變的條件下，只改變箱室頂寬使腹板傾斜角變化，作出相應(yīng)主扇性慣性矩變化曲線如圖8所示；分別取梁高為120 mm和180 mm，在維持箱室寬度和及各板件厚度不變的條件下，只改變懸臂板寬度，作出相應(yīng)主扇性慣性矩隨懸臂板寬度與單室頂寬之比的變化曲線如圖9所示。

圖8 主扇性慣性矩隨腹板傾斜角變化曲線

h/mm: 1—120; 2—180

從圖8可以看出：隨著腹板傾斜角的增大，主扇性慣性矩呈現(xiàn)出先增大后減小的變化規(guī)律，當(dāng)腹板傾斜角約為13?時(shí)，主扇性慣性矩達(dá)到最大值。從圖9可以看出：主扇性慣性矩隨著懸臂板相對(duì)寬度的增大而單調(diào)增大；當(dāng)懸臂板相對(duì)寬度較小時(shí)，主扇性慣性矩的增大程度較小，但當(dāng)懸臂板相對(duì)寬度超過0.5后，主扇性慣性矩將隨懸臂板相對(duì)寬度的增大而迅速增大，而且，梁高較大時(shí)主扇性慣性矩的增大程度尤為顯著。

薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律完全取決于主扇性坐標(biāo)的分布，主扇性慣性矩則直接影響翹曲正應(yīng)力。因此，上述關(guān)于主扇性坐標(biāo)及主扇性慣性矩的變化規(guī)律對(duì)于把握約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力在橫截面上的變化規(guī)律具有重要意義。

值得指出的是，盡管圖7和圖9表明，當(dāng)懸臂板寬度顯著增大時(shí)，在懸臂板端部(即關(guān)鍵點(diǎn)1處)的主扇性坐標(biāo)及截面主扇性慣性矩都會(huì)顯著增大，但這是在薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)理論中的“剛周邊假設(shè)”成立的前提下得到的結(jié)果。對(duì)于懸臂板寬度相對(duì)于箱室寬度很大的箱形截面梁，例如“展翅梁”，長懸臂板在主梁約束扭轉(zhuǎn)中參與主梁共同工作的程度尚需進(jìn)一步研究。

4 結(jié)論

1) 扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面的距離隨著腹板傾斜角的增大基本呈線性增大關(guān)系，該距離與梁高之比隨著梁高的增大而減小。

2) 存在一個(gè)臨界懸臂板相對(duì)寬度。當(dāng)懸臂板相對(duì)寬度小于該臨界相對(duì)寬度時(shí)，隨著懸臂板相對(duì)寬度的增大，扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面距離與梁高之比也隨之增大；當(dāng)懸臂板相對(duì)寬度大于該臨界相對(duì)寬度時(shí)，扭轉(zhuǎn)中心至頂板中面距離與梁高之比則隨著懸臂板相對(duì)寬度的增大反而減小。

3) 隨著懸臂板寬度的增大，懸臂板自由端處的主扇性坐標(biāo)將顯著增大，且一般會(huì)改變符號(hào)(由負(fù)變正)，而斜腹板與頂、底板交點(diǎn)處的主扇性坐標(biāo)則有先增大后減小的變化規(guī)律；當(dāng)懸臂板寬度與單室頂寬之比等于某一特征寬度比時(shí)，懸臂板自由端處的主扇性坐標(biāo)恰好等于斜腹板與底板交點(diǎn)處的主扇性坐標(biāo)，該特征寬度比隨著梁高的增大而減小。

4) 主扇性慣性矩隨著懸臂板相對(duì)寬度的增大而增大；當(dāng)懸臂板相對(duì)寬度較大時(shí)，主扇性慣性矩隨懸臂板相對(duì)寬度的增大而迅速增大，梁高較大時(shí)主扇性慣性矩的增大程度尤為顯著；主扇性慣性矩隨著腹板傾斜角的增大而呈現(xiàn)出先增大后減小的變化規(guī)律。

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Torsional geometrical properties of box section with inclined webs

HU Yuru, LIU Liang, ZHANG Yuanhai

(School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

According to the calculation procedure for the geometrical properties in the restrained torsion theory of thin-walled box girders, the practical formulas for the twist centre, principal sector coordinate and principal sector moment of inertia of a double-cell box section with inclined webs were derived. Numerical examples validated the correctness of the formulas. Based on the practical formulas derived, the influences of the variations of the web-inclined angle, cantilever plate width and beam depth on the twist centre, principal sector coordinate and principal sector moment of inertia of the double-cell box section with inclined webs were numerically analyzed in detail. The results show that the distance from the twist centre to the middle surface of the top plate increases with the increase of the web-inclined angle; however, the ratio of the distance to the beam depth decreases with the increase of the beam depth. The principal sector coordinate at the tip end of the cantilever plate increases significantly with the increase of the cantilever plate width. The principal sector moment of inertia increases firstly and then decreases with the increase of the web-inclined angle. The principal sector moment of inertia increases rapidly with the increase of the cantilever plate width when the plate width is relatively large; moreover, the increase degree is especially significant for relative large beam depth.

box section with inclined webs; geometrical properties; twist centre; principal sector coordinate; principal sector moment of inertia

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.07.024

U448.213

A

1672?7207(2015)07?2558?06

2014?07?08；

2014?10?28

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51268029, 51468032, 51068018) (Projects(51268029, 51468032, 51068018) supported by the National Natural Science Foundation of China)

張?jiān)?，博士，教授，博士生?dǎo)師，從事薄壁箱梁理論研究；E-mail: zyh17012@163.com

(編輯 楊幼平)