黃仁東，張海彬，楊志輝，周揚，張攀

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基于多準(zhǔn)則的組合預(yù)測模型權(quán)重研究及其應(yīng)用

黃仁東1，張海彬1，楊志輝2，周揚1，張攀1

(1. 中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院，湖南長沙，410083；2. 中南大學(xué)冶金與環(huán)境學(xué)院，湖南長沙，410083)

針對傳統(tǒng)組合預(yù)測模型大多是通過建立單一準(zhǔn)則方程進(jìn)行優(yōu)化，而沒有更好地考慮各單一模型之間互支持信息帶來的不確定性問題，建立基于多準(zhǔn)則的組合預(yù)測模型權(quán)重確定算法。首先，通過建立區(qū)間數(shù)模型構(gòu)建樣本區(qū)間距離并進(jìn)行相關(guān)折算歸一化生成樣本的基本概率分布BPA(basic probability assignment)，作為單一預(yù)測模型的初級權(quán)重；然后，通過對D-S證據(jù)理論進(jìn)行改進(jìn)，建立證據(jù)可信度、證據(jù)精度和證據(jù)自沖突系數(shù)3個準(zhǔn)則分別用于評價單一模型自身精度及其之間互相支持信息，通過對3個準(zhǔn)則排序得到綜合排序值作為單一模型初級權(quán)重的權(quán)重調(diào)整系數(shù)；最后，綜合多時刻數(shù)據(jù)歸一化后確定單一模型的最終權(quán)重用于組合預(yù)測。研究結(jié)果表明：經(jīng)過權(quán)重調(diào)整后的組合預(yù)測精度得到顯著提高，且經(jīng)過調(diào)整系數(shù)調(diào)整后的不變權(quán)組合預(yù)測模型最優(yōu)。

組合預(yù)測；證據(jù)理論；權(quán)重調(diào)整系數(shù)；可信度；證據(jù)精度；自沖突系數(shù)

預(yù)測是隨著社會發(fā)展而產(chǎn)生的，隨著人們對生產(chǎn)和生活要求的提高，傳統(tǒng)的單一預(yù)測模型自身存在的局限性顯得愈明顯。任何事物通常都是與周圍多種事物相互影響、相互制約的，而傳統(tǒng)的單一預(yù)測模型通常是在一定的假設(shè)條件下進(jìn)行，這也就使得單一模型不能全面反映事物的信息。信息的缺失造成預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)誤差，而這些誤差常常會給問題決策帶來嚴(yán)重的影響。為了解決單一模型誤差大的問題，Bates等[1]提出將多種單一模型結(jié)合起來的組合預(yù)測模型。組合預(yù)測方法是通過建立多種不同的單一預(yù)測模型，然后通過對各單一模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行一定加權(quán)組合得到最終預(yù)測結(jié)果。組合預(yù)測模型的研究重點在于單一模型權(quán)重的確定，目前大多是通過建立一定的目標(biāo)準(zhǔn)則而對組合模型進(jìn)行優(yōu)化確定權(quán)重。不同的準(zhǔn)則可以得到不同的權(quán)重分配結(jié)果。然而，不同的準(zhǔn)則都存在相應(yīng)的缺陷，如預(yù)測誤差平方和準(zhǔn)則作為判定模型預(yù)測精度的重要指標(biāo)常常會因異常數(shù)據(jù)造成較大的偏差。針對不確定性誤差問題，出現(xiàn)了多種理論如證據(jù)理論、灰色理論、模糊理論、粗糙集理論等[2]。其中，證據(jù)理論由于滿足比概率論更弱的先驗概率要求，在模式識別、決策分析以及趨勢分析等多源信息融合領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。而傳統(tǒng)的證據(jù)理論在確定組合預(yù)測權(quán)重時通常是通過目標(biāo)準(zhǔn)則計算權(quán)重，然后，將權(quán)重迭代融合得到最終權(quán)重[3]。這種單一的迭代融合在一定程度上有效，然而，由于其很少考慮模型權(quán)重之間互相影響的因素，在面對有沖突的證據(jù)體時效果不是很好。為了解決這些問題，本文作者采用證據(jù)理論建立基于多準(zhǔn)則排序證據(jù)組合預(yù)測模型權(quán)重確定算法，通過對證據(jù)體建立多準(zhǔn)則評價，綜合考慮多種數(shù)據(jù)源自身信息以及相互之間的互支持信息，確定模型的調(diào)整系數(shù)，對模型初級權(quán)重進(jìn)行調(diào)整，利用多時刻數(shù)據(jù)確定模型的最終權(quán)重，最后根據(jù)確定的權(quán)重與單一模型預(yù)測值確定最終組合預(yù)測值。該算法不僅可以用于權(quán)重的確定，而且可以作為挑選單一模型的依據(jù)。

1 組合預(yù)測模型原理

本文組合預(yù)測模型原理見圖1。預(yù)測模型可以分為4部分，預(yù)測基本流程如下。

第1步，單一預(yù)測模型的選擇。確定模型類型及其參數(shù)。

第2步，單一預(yù)測模型初級權(quán)重的生成。利用單一預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果與相應(yīng)時刻訓(xùn)練樣本真值區(qū)間之間的距離作為度量單一預(yù)測模型預(yù)測精度的參數(shù)，通過相似性轉(zhuǎn)換歸一化后作為下一步證據(jù)理論要用的基本概率分配BPA，其中BPA矩陣中對于B區(qū)間的mass函數(shù)值作為單一模型的初級權(quán)重。

第3步，計算權(quán)重調(diào)整系數(shù)。利用證據(jù)可信度、信任精度和證據(jù)自沖突系數(shù)3個準(zhǔn)則綜合評判證據(jù)體的優(yōu)劣，對各準(zhǔn)則進(jìn)行排序融合得到證據(jù)體的綜合排序值作為單一模型的權(quán)重調(diào)整系數(shù)，以減小證據(jù)沖突造成的直覺悖論。

第4步，最終的組合預(yù)測。利用第3步中改進(jìn)的證據(jù)理論方法求得的調(diào)整系數(shù)對第2步BPA矩陣中的單一模型初級權(quán)重進(jìn)行調(diào)整，確定最終單一模型權(quán)重，并進(jìn)行預(yù)測。

圖1 基于多準(zhǔn)則排序證據(jù)組合預(yù)測模型流程圖

2 理論基礎(chǔ)

2.1 組合預(yù)測模型

組合預(yù)測模型[4]是通過將多個單一預(yù)測模型的預(yù)測值進(jìn)行適當(dāng)加權(quán)平均得到最終組合預(yù)測結(jié)果。

假設(shè)種單一預(yù)測模型個時刻的預(yù)測矩陣為

組合預(yù)測模型的重點在于計算各個單一模型分配的權(quán)重，目前主要有2種方法：第1種是通過擬合實際值分配權(quán)重使得加權(quán)后預(yù)測值與實際值擬合殘差最小，此法只針對所建的目標(biāo)準(zhǔn)則進(jìn)行評價，不夠全面；另一種是通過對各個單一模型評價綜合信息得到權(quán)重。本文基于第2種方法通過不同指標(biāo)對單一模型進(jìn)行評價，再分析相互之間影響，以綜合確定最終單一模型權(quán)重。

2.2 證據(jù)理論

D?S理論[5]用一個具有互斥和可窮舉元素的集合作為它的識別框架(也稱為論域)，通常用表示，記為：。在識別框架上的BPA是1個的函數(shù)，稱為mass函數(shù)，并且滿足且。對于，上的個mass函數(shù)1,2, …,m的Dempster合成規(guī)則為

其中：為歸一化常數(shù)，其作用是為了避免在合成時將非零概率賦給空集[6]。

證據(jù)理論的關(guān)鍵在于基本概率分配的準(zhǔn)確性和證據(jù)合成規(guī)則的合理性2個方面，本文基于這2點分別采用區(qū)間數(shù)基本概率指派生成方法提高BPA的準(zhǔn)確性，減小傳統(tǒng)專家法帶來的高沖突問題；同時，利用多指標(biāo)排序融合方法改進(jìn)Dempster組合規(guī)則，以減小證據(jù)組合規(guī)則自身存在的問題。

3 新型組合預(yù)測模型的建立

3.1 單一模型的選擇

從組合預(yù)測模型的組成可以看出組合模型包括2個方面：一個是單一預(yù)測模型，另一個是相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)。這2個元素的選擇都與最終預(yù)測結(jié)果直接相關(guān)，好的單一模型和合適的權(quán)重分配非常重要。

單一模型的選擇主要是從模型精度、模型的相關(guān)度以及模型的數(shù)量3方面綜合考慮。好的模型精度對于結(jié)果的預(yù)測至關(guān)重要，較小的模型之間預(yù)測誤差相關(guān)性可以減少組合誤差，同時模型的數(shù)量過多造成計算量大，而預(yù)測結(jié)果精度隨模型數(shù)量的增多可能提高并不大，數(shù)量少可能造成預(yù)測效果不好。

基于以上考慮，結(jié)合軟件EViews[7]和Matlab[8]進(jìn)行優(yōu)化，本文選擇ARMA(2,2)，Holt-Winter-No seasonal(=1，=0)指數(shù)平滑法和G(1,1)模型作為單一預(yù)測模型。ARMA模型對于模型線性部分有很好的分析效果，指數(shù)平滑法主要分析模型的非線性部分產(chǎn)生的影響，灰色模型則是針對整個模型進(jìn)行整體分析。

3.2 單一模型初級權(quán)重的確定

3.2.1 樣本數(shù)據(jù)的三區(qū)間劃分

為了分析單一預(yù)測模型與真值樣本的相似性，需確定單一模型的預(yù)測值與真值的偏差。本文將真值樣本按照

進(jìn)行分解，這樣將每一時刻的真值樣本分解成1個以真值為中心點向兩邊擴散的3個區(qū)間識別框架，通過計算單一模型預(yù)測值落在每個區(qū)間的平均距離用于度量單一預(yù)測模型的精度，并經(jīng)過折算生成證據(jù)理論的BPA。根據(jù)模型權(quán)重與基本概率分配的相似性，以最接近樣本真值的B區(qū)間的mass函數(shù)值(B)作為單一模型的初級權(quán)重，通過多種準(zhǔn)則對，和3個區(qū)間相互之間的關(guān)系進(jìn)行綜合評價，求單一模型的權(quán)重調(diào)整系數(shù)，以×調(diào)整模型初級權(quán)重，歸一化后作為單一模型最終權(quán)重。

3.2.2 區(qū)間數(shù)基本概率指派生成

應(yīng)用證據(jù)理論的第1步就是確定證據(jù)的基本概率分配，這也是證據(jù)理論中最重要的一步。據(jù)基本概率分配的準(zhǔn)確度直接確定下一步證據(jù)合成結(jié)果。目前確定基本概率分配的方法一般分為兩大類：第1類主要是根據(jù)專家經(jīng)驗主觀確定基本概率分配；第2類主要是根據(jù)已知條件自動生成基本概率分配。為了減小專家因個人經(jīng)驗問題帶來的沖突，本文采用智能化區(qū)間數(shù)模型生成基本概率分配BPA。區(qū)間數(shù)只要求給定上、下限2個數(shù)據(jù), 建模簡單易行，除了可以減少專家打分法帶來的高沖突問題外，還可以很好地描述信息缺乏不確定度高的應(yīng)用場合[9]。

應(yīng)用區(qū)間數(shù)模型建立單一模型初步權(quán)重的步驟如下。

第1步：建立區(qū)間數(shù)模型。按照式(3)將真值樣本進(jìn)行區(qū)間分割，每一時刻的數(shù)據(jù)分為3個區(qū)間，作為測度單一模型準(zhǔn)確度的度量區(qū)間。

第2步：計算單一模型預(yù)測值與區(qū)間數(shù)模型之間的距離。根據(jù)文獻(xiàn)[10]可利用

第3步：計算單一模型預(yù)測值與區(qū)間數(shù)模型之間的相似性。根據(jù)文獻(xiàn)[11]定義區(qū)間數(shù)相似度為

利用式(6)將得到的距離矩陣轉(zhuǎn)化為相似度矩陣。

第4步：歸一化處理得到基本概率分配BPA矩陣。對第3步中得到的相似度矩陣按照式(7)進(jìn)行歸一化處理，得到相應(yīng)的BPA矩陣。

其中：=，，。

根據(jù)BPA與權(quán)重的相似性，本文將得到的BPA矩陣作為單一模型時刻點的初級權(quán)重，用于后續(xù)融合，確定最終權(quán)重。

3.3 權(quán)重調(diào)整系數(shù)的確定

證據(jù)理論在信息融合領(lǐng)域中具有重要地位，而傳統(tǒng)的Dempster組合規(guī)則在遇到?jīng)_突證據(jù)時常常出現(xiàn)一些違背直覺的悖論，如沖突悖論[12]、信任偏移悖論、證據(jù)吸收悖論和焦元基模糊悖論等。對于這些沖突問題，主要有2種改進(jìn)思路：一種是對證據(jù)組合規(guī)則進(jìn)行改進(jìn)，F(xiàn)lorea等提出了一種魯棒的證據(jù)組合規(guī)則，將交運算和并運算結(jié)合起來[13]；另一種是對證據(jù)體進(jìn)行改進(jìn)，通常先對證據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，再進(jìn)行證據(jù)組合，代表性的研究成果有Murphy等的研究[13?14]。

單純的改進(jìn)證據(jù)組合規(guī)則或者改進(jìn)證據(jù)體都存在一定缺陷，單一的準(zhǔn)則往往只能反映證據(jù)體的不同側(cè)面，不能全面反映證據(jù)體的優(yōu)劣。為了有效地解決證據(jù)沖突問題，本文綜合采用證據(jù)可信度、證據(jù)精度[14]和證據(jù)自沖突系數(shù)[15]這3種指標(biāo)對不同證據(jù)進(jìn)行測度，并排序融合作為權(quán)重調(diào)整系數(shù)[13]。

衡量證據(jù)之間沖突主要是通過證據(jù)距離來衡量，目前主要的證據(jù)距離公式有歐氏距離、馬氏距離和余弦距離。這些距離沒有考慮基本概率分配函數(shù)包含的信息量即“勢”對信息提取的影響[16]，本文采用Jousselme等[17]提出的可以解決上述問題的證據(jù)距離算法，通過將證據(jù)體視作向量來表示證據(jù)體之間的距離：

利用式(8)的證據(jù)距離定義證據(jù)體被支持程度為

經(jīng)綜合考慮，認(rèn)為證據(jù)的受支持程度越高，可信度越大。定義證據(jù)體的證據(jù)可信度為

證據(jù)可信度描述了證據(jù)體之間相互支持的程度。為了描述證據(jù)自身的不確定性，定義證據(jù)精度為

Dempster合成規(guī)則中為歸一化常數(shù)，而將1?視作證據(jù)沖突項，與式(7)的Jousselme距離一樣描述證據(jù)沖突，但是并不能全面描述。本文采用文獻(xiàn)[14]中的證據(jù)自沖突系數(shù)表征證據(jù)體的自沖突程度。

其中：m為單點焦元函數(shù)，且；系數(shù)2的作用是為了使自沖突系數(shù)的取值范圍為[0，1]。

本文綜合采用式(11)，(12)和(13)的證據(jù)可信度、證據(jù)精度和證據(jù)自沖突系數(shù)來綜合評價證據(jù)體，參考文獻(xiàn)[15]并按照式(14)進(jìn)行排序。

將所得的排序序列按照加權(quán)求和作為證據(jù)時刻點綜合排序值，以此綜合排序值作為模型的權(quán)重調(diào)整 系數(shù)：

利用式(7)計算的區(qū)間基本概率分布與式(15)計算的證據(jù)權(quán)重調(diào)整系數(shù)按照下式歸一化計算求得不同單一模型的最終權(quán)重：

3.4 最終融合預(yù)測

將按照式(16)求得的不同單一模型最終權(quán)重代入式(1)進(jìn)行組合預(yù)測并分析。

4 實例分析

選用2011?06—2013?01的金屬鑭月平均價格作樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)模型選擇原則，結(jié)合EViews和Matlab軟件進(jìn)行優(yōu)選，最終選擇ARMA(2,2)，Holt-Winter-No seasonal(=1,=0)指數(shù)平滑法和G(1,1)模型作為單一預(yù)測模型。

式(3)將真值樣本時刻點數(shù)據(jù)分解為以3個區(qū)間數(shù)為元素的識別框架，所以，式(8)中的為×矩陣，經(jīng)計算可得對稱矩陣為

為評價預(yù)測模型的效果，分別選擇平均絕對百分比誤差(MAPE)、均方根誤差(RMSE)和均方百分比誤差(MSPE)這3個指對模型進(jìn)行評價。單一預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果見表1。

表1 金屬鑭價格預(yù)測及分析結(jié)果

從表1可以看出：G(1,1)模型預(yù)測效果最優(yōu)，ARMA(2,2)效果相對最差，而Holt-Winter-No seasonal (=1,=0)指數(shù)平滑法預(yù)測效果中等。

針對樣本數(shù)據(jù)，本文研究調(diào)整系數(shù)、區(qū)間劃分以及權(quán)重是否變化對組合預(yù)測結(jié)果的影響。

當(dāng)沒有調(diào)整系數(shù)時，直接以(B)作為單一預(yù)測模型最終權(quán)重，結(jié)果指標(biāo)見表2。從表2可以看出：可變權(quán)模型預(yù)測效果要優(yōu)于不變權(quán)模型的可變權(quán)模型預(yù)測效果。

表2 無調(diào)整系數(shù)組合預(yù)測結(jié)果

為了分析式(15)調(diào)整系數(shù)的合理性，根據(jù)證據(jù)體證據(jù)信任度和證據(jù)精度與融合結(jié)果正相關(guān)，而證據(jù)自沖突系數(shù)與融合結(jié)果反相關(guān)，另外定義第2種調(diào)整系數(shù)為

區(qū)間的劃分也會對最終結(jié)果產(chǎn)生影響，不同的區(qū)間會產(chǎn)生不同的(B)，本文分2種情況探討等區(qū)間劃分和不等區(qū)間劃分。

對不同區(qū)間劃分和調(diào)整系數(shù)組合方式進(jìn)行組合預(yù)測，不變權(quán)組合預(yù)測模型權(quán)重見表3，預(yù)測結(jié)果評價指標(biāo)見表4~5。

表3 不變權(quán)組合模型權(quán)重

表4 區(qū)間劃分(a)組合預(yù)測分析結(jié)果

表5 區(qū)間劃分(b)組合預(yù)測分析結(jié)果

從表4~5可以看出：可變權(quán)組合模型的預(yù)測結(jié)果要優(yōu)于不變權(quán)組合模型預(yù)測結(jié)果。分別對比表4和表5發(fā)現(xiàn)：采用可變權(quán)組合模型時，調(diào)整系數(shù)比調(diào)整系數(shù)有更好的效果；當(dāng)采用不變權(quán)組合模型時，利用調(diào)整系數(shù)比調(diào)整系數(shù)有更好的效果。不等區(qū)間劃分的比等區(qū)間劃分效果較好。這是因為中間不等區(qū)間劃分時，區(qū)間的劃分更集中于樣本真值，具有更好的單一模型初級權(quán)重(B)。

雖然可變權(quán)組合模型的預(yù)測效果要優(yōu)于不變權(quán)模型的預(yù)測效果，但在實際使用過程中，由于可變權(quán)重是隨時間變化的，對于后期的預(yù)測還需要提前預(yù)測權(quán)重，這就增加了模型的不確定性，所以，在實際中采用不變權(quán)組合模型更加實用。對比表2~5中不變權(quán)可以發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過調(diào)整系數(shù)處理后的預(yù)測結(jié)果要明顯優(yōu)于調(diào)整系數(shù)和無調(diào)整系數(shù)處理過的結(jié)果，這也證明了本文權(quán)重調(diào)整方法的優(yōu)越性。

綜上所述可知：選用不變權(quán)、以為單一模型權(quán)重調(diào)整系數(shù)且識別框架中間區(qū)間越趨近于真值樣本的模型，最后的組合預(yù)測結(jié)果效果更實用、更精確。

5 結(jié)論

1) 本文通過優(yōu)選利用ARMA(2,2)，Holt-Winter- No seasonal(=1，=0)指數(shù)平滑法和G(1,1)模型對金屬鑭月平均價格進(jìn)行訓(xùn)練預(yù)測，然后通過區(qū)間數(shù)模型處理預(yù)測數(shù)據(jù)生成證據(jù)理論所需的BPA，以基于樣本時刻點數(shù)據(jù)的BPA值作為單一模型的初級權(quán)重，再利用證據(jù)可信度、證據(jù)精度和證據(jù)自沖突系數(shù)這3個準(zhǔn)則分析BPA矩陣各證據(jù)體之間的互支持信息對單一模型進(jìn)行綜合評價，對最終的指標(biāo)排序值進(jìn)行處理生成單一模型的權(quán)重調(diào)整系數(shù)，最終經(jīng)過歸一化處理得出各組合預(yù)測模型最終權(quán)重，并進(jìn)行預(yù)測。

2) 通過考慮單一模型之間的互支持信息對模型初級權(quán)重進(jìn)行調(diào)整，并且選擇合適的調(diào)整系數(shù)，區(qū)間劃分方式都將對組合預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生明顯影響。本文提出的基于多準(zhǔn)則排序證據(jù)組合預(yù)測模型權(quán)重確定算法可以顯著提高組合預(yù)測模型預(yù)測精度。

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Research and application of multi-criteria combination forecast model

HUANG Rendong1, ZHANG Haibin1, YANG Zhihui2, ZHOU Yang1, ZHANG Pan1

(1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;2. School of Metallurgy and Environment, Central South University, Changsha 410083, China)

Considering that most of traditional combination forecast models are established by criterion of single equation regardless of information between individual model which implicits lots of uncertainty, a weight determination algorithm of combination forecast model was presented based on multi-criteria information. Firstly, interval numbers model was built to getthe sample BPA matrix as the primary weight of the single models by a series of distance calculations between the true data and the predictive value. Then, three criteria, i.e. evidence credibility, evidence precision and evidence contradiction, were set up to evaluate the precision of individual model and information between them. By sequencing the above three criteria, a composite sort value called weight adjustment coefficient was generated to adjust the primary weight of the single models. Finally, the final weight was determined by normalizing the multi-time weight data used for combination forecast. The results show that the precision of the method is high, one fixed weight combination forecast model adjusted by weight adjustment coefficientis the best.

combination forecast; evidence theory; weight adjustment coefficient; credibility; evidence precision; evidence contradiction

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.05.028

TD983

A

1672?7207(2015)05?1778?08

2014?06?12；

2014?08?22

國土資源部公益性行業(yè)科研專項課題(201211067-3) (Project(201211067-3) supported by Public Service Industry Special Scientific Research of Ministry of Land and Resources)

黃仁東，教授，從事礦產(chǎn)安全開采理論與技術(shù)研究；E-mail: hldlb@163.com

(編輯 陳燦華)