馮煜，陳小安，譚惠文，卓婭

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風場作用下的定日鏡輕量化設計

馮煜，陳小安，譚惠文，卓婭

(重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044)

針對傳統(tǒng)優(yōu)化方法在定日鏡輕量化設計中表現(xiàn)出的靈敏度依賴性和計算低效性等缺陷，提出將響應面模型與序列二次規(guī)劃算法相結(jié)合的方法。該方法在保證定日鏡強度、剛度和動態(tài)性能等要求的基礎上，對風場作用下產(chǎn)生非線性響應的定日鏡結(jié)構進行輕量化設計。通過數(shù)值風洞試驗和Davenport譜得到作用在定日鏡上的靜態(tài)風荷載和脈動風頻率，利用拉丁超立方試驗設計得到的空間樣本點進行數(shù)值仿真，建立各響應值關于15個設計變量的二階響應面模型，并采用序列二次規(guī)劃算法進行定日鏡輕量化設計。研究結(jié)果表明：在保證定日鏡滿足許用撓度、應力和一階固有頻率的前提下，定日鏡總質(zhì)量減少了198 kg，減重率達12.31%，輕量化效果顯著。同時該方法快速、高效、可靠，具有較強的工程實用性。

風場；定日鏡；輕量化；響應面法；序列二次規(guī)劃

定日鏡是塔式太陽能熱發(fā)電系統(tǒng)中的重要聚光設備，其不僅數(shù)量眾多、占地面積巨大，而且是塔式太陽能熱發(fā)電站的主要投資部分，其造價約占發(fā)電系統(tǒng)總造價的一半以上。在美國的Solar One中，定日鏡投資占總投資的52%，在Solar Two中其建造費用也占電站總造價的50%以上[1]。因此，開展定日鏡輕量化設計研究，對于降低定日鏡建造成本、減小塔式太陽能電站投資和推動太陽能熱發(fā)電技術商業(yè)化具有重要意義。針對定日鏡輕量化技術難題，國內(nèi)外學者已進行了大量研究。宮博等[2?3]采用靈敏度和均勻設計方法對定日鏡結(jié)構進行優(yōu)化設計。Pfahl等[4?6]對風荷載作用下定日鏡的雷諾數(shù)進行了研究，并設計了一種通過減小鏡面風荷載而實現(xiàn)減輕質(zhì)量和降低成本的輕型定日鏡。Blackmon[7]按不同的成本類別計算了定日鏡每單位面積的最小化成本。但是，風場作用下的定日鏡撓曲變形屬于大位移、大變形的非線性過程，采用傳統(tǒng)的基于靈敏度方法的輕量化設計面臨著諸多困難：由于定日鏡結(jié)構的復雜性，難以建立精確的物理模型，其目標函數(shù)和約束函數(shù)都難以顯式化，同時目標函數(shù)和約束函數(shù)的導數(shù)大多數(shù)不連續(xù)；基于有限元法的結(jié)構優(yōu)化無法快速準確獲取各個參數(shù)的靈敏度信息，需不斷進行結(jié)構的局部試探性對比分析計算，造成計算資源浪費，并且難以找到全局最優(yōu)解等[8]。近年來，基于數(shù)理統(tǒng)計和試驗設計的響應面優(yōu)化設計方法已成為國內(nèi)外學者研究的前沿和熱點，文獻[9?12]討論了利用響應面法在汽車和機床等方面進行優(yōu)化設計的問題。因此，本文作者通過數(shù)值風洞試驗和Davenport譜進行定日鏡風荷載模擬計算，并在拉丁超立方試驗設計的基礎上，利用響應面模型和序列二次規(guī)劃算法對風場作用下產(chǎn)生非線性響應的定日鏡結(jié)構開展輕量化設計研究。

1 風荷載特性分析

大量實測記錄表明，順風向風荷載時程曲線可看作由2部分組成：一種是周期在10 min以上的長周期平均風，另一種是周期只有幾秒到幾十秒的短周期脈動風。通常平均風的作用周期遠大于定日鏡的自振周期，因而其作用性質(zhì)屬于靜力荷載，平均風是定日鏡外荷載的主要形式。脈動風是由于風的不規(guī)則運動而引起的，可以視為一個具有零均值的各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)高斯隨機過程，其作用周期與定日鏡的自振周期較為接近，因而其作用性質(zhì)屬于隨機動力荷載，脈動風是引起定日鏡風振的主要因素。

1.1 平均風

大氣邊界層內(nèi)的平均風速隨著高度的增加而增大，且在不同的地面粗糙度條件下具有不同的變化規(guī)律。通常采用Davenport指數(shù)律來描述平均風速沿高度的變化規(guī)律，即

式中：z和v分別為標準參考高度和標準參考高度處的平均風速，取z=10 m；和v分別為任一高度和任一高度處的平均風速；為地面粗糙度指數(shù)。

1.2 脈動風

脈動風具有隨機性，風速隨時間和空間隨機變化，在統(tǒng)計學上通常將其視為一個具有零均值的各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)高斯隨機過程。GB 50009—2001“建筑結(jié)構荷載規(guī)范”[13]采用Davenport脈動風速譜來描述脈動風中各頻率成分對應的能量分布規(guī)律：

同時，根據(jù)脈動風壓功率譜定義和維納?辛欽定理，可得脈動風壓功率譜：

2 響應面方法

響應面法(RSM)是利用統(tǒng)計學綜合試驗技術解決復雜系統(tǒng)激勵與響應關系的方法，其實質(zhì)是對試驗數(shù)據(jù)進行擬合，從而得到系統(tǒng)函數(shù)顯式的近似表達式，來預測非試驗點的響應值[15]。由于響應面法構造的近似函數(shù)無需解決求解偏導數(shù)難的問題，并且其近似函數(shù)的構造不涉及剛度矩陣和結(jié)構的具體分析過程，因此采用響應面法進行定日鏡輕量化設計具有較強的通用性和獨立性。圖1所示為利用響應面方法進行定日鏡輕量化設計的流程框圖。

圖1 基于響應面法的定日鏡優(yōu)化流程圖

2.1 響應面模型

由于二階多項式響應面模型能夠靈活擬合系統(tǒng)的非線性，對真實響應的近似準確性較高，因此工程上常采用二階多項式響應面模型。對個設計變量不含交叉項的二階多項式響應面模型為

2.2 拉丁超立方試驗設計

在響應面模型的構造過程中，試驗設計點的選取對結(jié)果的有效性和精度影響很大，甚至直接決定整個定日鏡輕量化過程的成敗。拉丁超立方試驗設計是一種約束隨機生成均勻樣本點的多維分層抽樣技術，其估值穩(wěn)定，且具有樣本記憶功能，能避免重復抽取已出現(xiàn)過的樣本，抽樣效率高，均衡性能好，常用來安排多因素試驗設計。拉丁超立方試驗設計根據(jù)等概率隨機正交分布原則，通過極少的試驗點即可得到充滿整個設計空間的高精度響應面近似模型，是用于大型設計空間中最有效的試驗設計方法之一[17?18]。

2.3 響應面模型的精度檢驗

為了檢驗所得響應面模型的擬合精度和評估響應面模型的預測能力，根據(jù)統(tǒng)計學假設檢驗方法，采用擬合優(yōu)度指標來評價響應面模型對試驗數(shù)據(jù)的擬合精度。統(tǒng)計學中常采用決定系數(shù)2、調(diào)整決定系數(shù)、均方根誤差(RMS)和值評估響應面模型的擬合、預測能力[19]。

式中：y為真實響應值；為真實響應值的均值。

2和的取值范圍均為[0,1]，2越接近1說明響應面模型的擬合逼近越精確，但是當響應面模型的項數(shù)增多時，響應面的剩余自由度減少，計算誤差將被納入到響應面模型中，2也接近于1。為避免錯誤判斷，反映每項對模型精度的貢獻，越大說明響應面精度越高。均方根誤差反映了隨機誤差引起的輸出量不均勻程度，其值越小越好。值表示響應面模型系數(shù)的顯著性檢驗水平。

3 序列二次規(guī)劃

序列二次規(guī)劃(SQP)是處理中、小規(guī)模非線性優(yōu)化問題的最優(yōu)秀算法之一，它能在保持整體收斂性的同時保持局部超一次收斂。該算法的基本思想是基于拉格朗日函數(shù)二次近似的二次規(guī)劃子問題，即在某個近似解處，將原非線性優(yōu)化問題簡化為求取一個二次規(guī)劃問題的最優(yōu)解，若有解則認為是原非線性優(yōu)化問題的最優(yōu)解，否則用近似解代替構成一個新的二次規(guī)劃問題繼續(xù)迭代。

對于一般的具有不等式約束的非線性優(yōu)化問題，其二次規(guī)劃子問題為

式中：為全變量搜索方向；c為拉格朗日函數(shù)的Hessian矩陣的正定擬牛頓近似矩陣。

在每一次主要迭代過程中，都要用BFGS法計算c。式(9)可以通過任意一種二次規(guī)劃算法進行求解。

4 定日鏡輕量化設計

定日鏡輕量化設計是一個典型的有約束非線性最優(yōu)化問題。風場作用下的定日鏡需要在滿足強度、剛度和固有頻率等安全技術要求的前提下，設計出質(zhì)量最輕且具有良好動靜態(tài)特性的定日鏡結(jié)構。根據(jù)我國對定日鏡抗風設計的安全風速要求，即在6級風(風速為10.8~13.8 m/s，風壓為73~120 Pa)作用下能正常工作而不影響聚光效率，在8級風(風速為17.2~20.7 m/s，風壓為185~268 Pa)作用下不會發(fā)生風致傾覆和結(jié)構破壞，以蘭州某地區(qū)(北緯36.058°)塔式太陽能電站為例，在電站容量設計點——春分日12:00工況下，鏡場中某定日鏡在重力荷載及6級風和8級風的風荷載作用情況下進行分析計算。

4.1 風荷載模擬計算

根據(jù)式(1)中的Davenport指數(shù)律平均風剖面形式，采用雷諾平均納維?斯托克斯方程(RANS)和標準湍流模型[20]在FLUENT計算平臺上利用計算流體動力學(CFD)方法進行定日鏡在8級風和6級風環(huán)境中的數(shù)值風洞模擬實驗。圖2和圖3所示分別為風速20.0 m/s和13.6 m/s時定日鏡正面和背面的風壓分布云圖。

(a) 定日鏡正面風壓分布云圖；(b) 定日鏡背面風壓分布云圖

(a) 定日鏡正面風壓分布云圖；(b) 定日鏡背面風壓分布云圖

由圖2和圖3可見：在定日鏡正面的迎風邊緣處風壓最大，且沿鏡面風壓從右下部到左上部呈逐漸遞減變化；風流場繞過定日鏡之后在其背面產(chǎn)生漩渦區(qū)，在背面的左上部和中間扭力管附近風壓較大，其余部位相對較小。這與文獻[21]所討論的在迎風傾角作用下錐形建筑結(jié)構的風壓分布規(guī)律相似。定日鏡所受的風荷載即為正背面壓力差所得到的凈風壓荷載，壓力差越大靜態(tài)風荷載越大。

當基本風速分別為20.0 m/s和13.6 m/s時，由式(2)和式(3)可得定日鏡在5 m高度處脈動風的風速功率譜密度曲線和風壓功率譜密度曲線，如圖4和圖5所示。

基本風速/(m?s?1)：1—20.0；2—13.6

基本風速/(m?s?1)：1—20.0；2—13.6

由圖4和圖5可知：風速、風壓功率譜密度隨著頻率的增加而迅速衰減，脈動風的能量分布主要集中在0~0.5 Hz，當頻率大于1 Hz時，脈動風的能量已經(jīng)很小，可以忽略不計。因此，在考慮到定日鏡質(zhì)量的減小可能會使結(jié)構的一階固有頻率降低以及脈動風的倍頻也可能會引起定日鏡共振的基礎上，設計頻率3Hz為定日鏡的最低頻率約束。

4.2 響應面模型的構造擬合

定日鏡鏡架主要由不同截面尺寸的空間桁架結(jié)構、扭力管和側(cè)板等組成。進行定日鏡輕量化設計時，若設計變量過多將導致計算規(guī)模太大，優(yōu)化效率降低，因此按照桁架結(jié)構的承載屬性及空間層次，將空間桁架結(jié)構劃分為6類，并分別選取主橫梁、斜支梁、豎支梁、框架梁、連接梁Ⅱ和連接梁Ⅰ截面上等邊槽鋼的高度x(=1, 3, 5, 7, 9, 11)及其腿寬x(=2, 4, 6, 8, 10, 12)，扭力管的直徑13和壁厚14以及側(cè)板厚度15，共15個設計變量，如圖6所示。圖7所示為進行定日鏡輕量化設計分析的有限元模型，鏡面采用太陽光透射比大于91%的4 mm厚的低鐵超白太陽能玻璃，鏡架材料為Q235。

圖6 定日鏡結(jié)構組成及設計變量定義

圖7 定日鏡有限元模型

采用拉丁超立方試驗設計方法進行70次試驗設計，并進行相應的有限元仿真分析，得到定日鏡在每個樣本點處的8級風作用下的鏡面最大位移1、結(jié)構應力，6級風作用下的鏡面最大位移2，以及振動的一階固有頻率的響應值。再根據(jù)試驗點樣本數(shù)據(jù)和響應值，利用最小二乘法原理進行響應面模型的擬合和精度檢驗。表1所示為響應面模型擬合值的精度檢驗結(jié)果。

表1 響應面模型擬合值精度檢驗

由表1可知：各響應面擬合值精度都很高，且都具有高度顯著性，能夠利用擬合的響應面模型進行預測分析和定日鏡輕量化設計研究。

4.3 輕量化數(shù)學模型

通過對風場作用下定日鏡的靜力分析和模態(tài)分析可知：1) 由于定日鏡鏡面與支撐結(jié)構之間主要通過粘結(jié)陶瓷墊片、膠粘結(jié)、鉚釘固定等方式進行連接，因此鏡面最大應力恒為27.87 MPa，小于太陽能玻璃抗拉強度(太陽能玻璃抗拉強度為42 MPa)，故不作為安全約束條件；2) 鏡面的最大變形發(fā)生在迎風面邊緣處，其他部位變形量相對較小，因此控制邊緣處的最大變形量即可減小鏡面的整體變形，滿足定日鏡的強度、剛度要求；3) 定日鏡的一階固有頻率為4.075 Hz，可進一步進行頻率優(yōu)化達到效果最優(yōu)?；谝陨戏治?，定日鏡輕量化設計的數(shù)學模型為：

式中：()為定日鏡的總質(zhì)量；lim為風荷載標準值作用下的鏡面撓度極限值。根據(jù)GB 50009—2001“建筑結(jié)構荷載規(guī)范”計算得垂直于鏡面的風荷載標準值0.52 kN/m2，實際風荷載值0.405 kN/m2，小于風荷載標準值，則按風荷載標準值計算的鏡面撓度極限值是偏安全的，計算得lim=19.5 mm。

4.4 優(yōu)化過程及結(jié)果

利用定日鏡輕量化數(shù)學模型，采用序列二次規(guī)劃算法(SQP)對目標函數(shù)進行優(yōu)化求解。圖8所示為輕量化定日鏡總質(zhì)量隨迭代次數(shù)的變化曲線。由圖8可知：經(jīng)過30次迭代計算即得到穩(wěn)定的收斂結(jié)果，可見SQP法計算效率非常高。表2所示為定日鏡優(yōu)化前后的結(jié)果對比。由表2可知：采用基于響應面模型的定日鏡輕量化設計后，定日鏡在8級風作用下的鏡面最大位移1和結(jié)構最大應力都控制在設計要求的安全范圍內(nèi)，且比初始值分別減小了8.84%和31.58%，6級風作用下的鏡面最大位移2比初始值減小了8.26%，同時定日鏡的一階固有頻率提高了5.52%，而定日鏡總質(zhì)量減小了198 kg，減重率達12.31%，取得了顯著的輕量化效果。

圖8 輕量化定日鏡總質(zhì)量隨迭代次數(shù)的變化曲線

表2 定日鏡優(yōu)化前后結(jié)果對比

為了分析設計變量對定日鏡各響應值的影響程度，便于定日鏡輕量化結(jié)果修正和二次設計，根據(jù)響應面模型可得定日鏡各響應值對15個設計變量的靈敏度，如圖9所示。

(a) 定日鏡質(zhì)量M對設計變量的靈敏度；(b) 鏡面撓度U1對設計變量的靈敏度；(c) 結(jié)構應力σ對設計變量的靈敏度；(d) 鏡面撓度U2對設計變量的靈敏度；(e) 定日鏡一階固有頻率f對設計變量的靈敏度

由圖9可知：定日鏡質(zhì)量跟各設計變量都呈正相關，其中，扭力管壁厚14和側(cè)板厚度15對定日鏡輕量化設計影響最大。同時，14對定日鏡鏡面撓度1和2的負影響最大，15對結(jié)構應力和定日鏡一階固有頻率的影響最大，是整個定日鏡輕量化設計過程中需要重點控制調(diào)整的參數(shù)。而設計變量1，5，7，8，9和11對定日鏡各響應值影響相對較小。

5 結(jié)論

1) 通過數(shù)值風洞模擬試驗和Davenport譜進行風荷載特性分析，計算出作用在定日鏡上的靜態(tài)風荷載和脈動風功率譜，得到定日鏡風場作用模型。

2) 利用拉丁超立方試驗設計方法只需通過選取極少試驗點即可得到充滿整個設計空間的高精度響應面近似模型的特性，并用以安排設計變量的多因素 試驗。

3) 將響應面模型與序列二次規(guī)劃算法相結(jié)合的輕量化設計方法模型建立簡單、預測能力強、優(yōu)化效率高，計算結(jié)果精確可靠，具有較強的工程實用性。

4) 在保證定日鏡滿足強度、剛度和動態(tài)性能等要求的基礎上，實現(xiàn)定日鏡總質(zhì)量減少了198 kg，減重率達12.31%，取得了顯著的輕量化效果。扭力管壁厚和側(cè)板厚度的靈敏度系數(shù)較大，是定日鏡輕量化設計中需要重點控制調(diào)整的參數(shù)。

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Lightweight design of heliostat in wind field

FENG Yu, CHEN Xiaoan, TAN Huiwen, ZHUO Ya

(The State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

In view of the sensitivity of dependence and computational inefficiency in traditional optimization methods for lightweight design of heliostat, an approximate optimization approach combining response surface model with sequential quadratic programming was proposed to deal with the lightweight design of heliostat which has nonlinear response with the action of wind based on guaranteeing the strength, stiffness and dynamic property of heliostat. Then, static wind load and fluctuating wind frequency were respectively obtained by numerical wind tunnel test and Davenport power spectrum. The Latin hypercube experimental design scheme and the response surface method were combined to construct the second-order response surface models by fitting with 15 design parameters. Furthermore, the response surface models were optimized by using the sequential quadratic programming. The results show that the total mass of heliostat is decreased by 198 kg, lightweight rating is 12.31% under the condition of ensuring the allowable deflection, stress and first-order natural frequency, and the effect of lightweight is remarkable. In addition, the approach is rapid, efficient and reliable, and it has strong engineering practicability.

wind field; heliostat; lightweight; response surface method; sequential quadratic programming

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.05.046

TK513.1

A

1672?7207(2015)05?1915?08

2014?05?23；

2014?08?13

國家自然科學基金資助項目(51075407)；重慶市研究生科研創(chuàng)新項目(CYB14010) (Project(51075407) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(CYB14010) supported by Chongqing Graduate Student Research Innovation Project)

陳小安，博士，教授，博士生導師，從事機械設計理論及實驗方法研究；E-mail: xachen@cqu.edu.cn

(編輯 趙俊)