劉維玉

幾何直觀(guān)是指利用圖形來(lái)描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀(guān)可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路、預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀(guān)可以幫助學(xué)生直觀(guān)地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中發(fā)揮著重要作用。但是有的人往往把幾何直觀(guān)與畫(huà)圖策略等同起來(lái)，其實(shí)二者并不是一回事。

一、幾何直觀(guān)并不等于畫(huà)圖策略

畫(huà)圖策略是通過(guò)畫(huà)圖的方法將抽象的問(wèn)題具體化、直觀(guān)化，從而幫助尋求解決問(wèn)題的思路。這只是我們所學(xué)策略中的一種，而我們還會(huì)學(xué)到其他策略，如轉(zhuǎn)化、倒推、列表、替換等。但是，在新課改中，幾何直觀(guān)已被列為十大核心素養(yǎng)之一、顯然，將兒何直觀(guān)簡(jiǎn)單等同于畫(huà)圖策略是不合理的。那么，幾何直觀(guān)在我們的課程里到底占據(jù)了怎樣的地位呢？

讓我們來(lái)看看其他幾項(xiàng)核心素養(yǎng)，如推理能力、運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)、符號(hào)意識(shí)；數(shù)據(jù)分析觀(guān)念、空間觀(guān)念；還有模型思想。在這里，幾項(xiàng)素養(yǎng)或是能力或是意識(shí)或是觀(guān)念甚至是思想。如果我們想在幾何直觀(guān)后面加上后綴，那應(yīng)該是幾何直觀(guān)的能力或幾何直觀(guān)的觀(guān)念或是幾何直觀(guān)的思想，而不僅僅足幾何直觀(guān)的策略了。

當(dāng)然，幾何直觀(guān)和畫(huà)圖策略之間也是有一定相似的——都是借助圖形來(lái)描述、分析問(wèn)題，達(dá)到化抽象為直觀(guān)的效果，起到打開(kāi)解題思路的作用。但幾何直觀(guān)除此之外，更強(qiáng)調(diào)的是一種必備的能力素養(yǎng)，重點(diǎn)在于“直觀(guān)”，需要我們具備利用幾何方法來(lái)直觀(guān)地表征題意、預(yù)測(cè)結(jié)果、理解數(shù)學(xué)的能力。

一、幾何直觀(guān)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

幾何直觀(guān)是一種捕述和分析問(wèn)題的于段，有多種表現(xiàn)形式，在不同的教學(xué)內(nèi)容和不同的教學(xué)環(huán)節(jié)里也有著不同的教學(xué)效果。在這里，我們著重探討4種幾何直觀(guān)的具體作用。

1.挖掘問(wèn)題中的隱含條件，形成解題思路

隱含條件是指在題目中沒(méi)有明確告訴我我們，但卻是我們已知的，并且在解題中是需要用到的知識(shí)比如說(shuō)，三角形的兩邊之和大于第三邊，一周有7天等概念。還有一種隱含條件是根據(jù)題目中的條件，我們可以簡(jiǎn)單地推想出來(lái)的結(jié)論，也就是我們常說(shuō)的言外之意。

【案例1】在分?jǐn)?shù)中解決問(wèn)題

—個(gè)西瓜被媽媽平均分成數(shù)塊。爸爸和媽媽共吃了這個(gè)西瓜的3/4，小強(qiáng)吃了2塊，三人正好把這個(gè)西瓜吃完。這個(gè)西瓜被分成了多少塊？

這是一道單元測(cè)驗(yàn)里的習(xí)題，從各班考試的結(jié)果來(lái)看，正確率極低。究其原因，很多學(xué)生不能把這里表示比值的分?jǐn)?shù)3/4和具體的數(shù)量2塊聯(lián)系起來(lái)。而運(yùn)用線(xiàn)段圖，學(xué)生就會(huì)很自然地發(fā)現(xiàn)這里3/4和2塊的潛在關(guān)系，其實(shí)就是“2塊西瓜”對(duì)應(yīng)“整個(gè)西瓜的”，這樣便會(huì)發(fā)現(xiàn)解題思路了。

通過(guò)線(xiàn)段圖這樣的幾何表示，將題目中的條件呈現(xiàn)在線(xiàn)段圖里，我們發(fā)現(xiàn)，前面的三段用了體現(xiàn)比值的分?jǐn)?shù)來(lái)表示，后面的一段用了具體數(shù)量來(lái)表示，這樣的沖突引導(dǎo)我們思考：這里的2塊就對(duì)應(yīng)著分?jǐn)?shù)，其實(shí)一段是2塊；或者后面的一段表示2塊，那么總共有4段也就是8塊。通過(guò)直觀(guān)的表示，我們發(fā)掘了題目中的隱含條件，打開(kāi)了解題的思路。其實(shí)在類(lèi)似的分?jǐn)?shù)習(xí)題中，我們都可以借助這樣的直觀(guān)圖來(lái)解決問(wèn)題。

2.動(dòng)態(tài)演示出問(wèn)題中的變化過(guò)程，深化理解

數(shù)學(xué)是一門(mén)研究自然界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。因此我們常常會(huì)遇到：一個(gè)量的變化引起另一個(gè)量的變化，如一個(gè)分?jǐn)?shù)分母越大，分?jǐn)?shù)的值就會(huì)越??；矩形面積一定的情況下，形狀越接近正方形周長(zhǎng)越小等，但簡(jiǎn)單的語(yǔ)言描述，在沒(méi)有直觀(guān)感知的情況下顯得空洞抽象。

【案例2】長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)相等，請(qǐng)問(wèn)哪個(gè)圖形的面積更大？

這道題蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)圖形里的美妙特性——可以運(yùn)用特殊值的方法來(lái)舉例猜測(cè)驗(yàn)證。這是一種很好的數(shù)學(xué)能力，但是要理解其緣南，還是要借助幾何直觀(guān)的方法。

首先要解決的問(wèn)題是怎樣表示長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)相等，就是當(dāng)正方形的一條邊減少時(shí)，另一條邊就要增加相應(yīng)的長(zhǎng)度，這樣就能保證長(zhǎng)方形的一組鄰邊相等，即周長(zhǎng)相等。我們可以看出，正方形減少的那部分面積比增加的這部分面積要大，所以可以推斷出長(zhǎng)方形比正方形的面積小。我們可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形越來(lái)越扁時(shí)，它的面積會(huì)越來(lái)越小。

通過(guò)圖形的直觀(guān)演示，我們發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)不變的情況下，長(zhǎng)和寬差距越大，長(zhǎng)方形的面積就越小?？梢?jiàn)，再美妙的語(yǔ)言都不能生動(dòng)地表示出這一幾何特性，只有動(dòng)態(tài)幾何可以直觀(guān)演示出數(shù)學(xué)的這一神奇變化，在不斷變化的過(guò)程中，讓我們?cè)絹?lái)越接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)規(guī)律。

3.尋找知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，完善認(rèn)知

數(shù)學(xué)中的很多知識(shí)都是相關(guān)聯(lián)的，比如，通過(guò)求5條褲子和5條上衣的總價(jià)，可以引出乘法分配律的公式，同樣，利用兩個(gè)拼在一起的長(zhǎng)方形求面積，也能說(shuō)明乘法的分配律。通過(guò)幾何直觀(guān)，我們可以抽象出一些問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地建構(gòu)知識(shí)體系。

【案例3】5個(gè)朋友參加完聚會(huì)，一一道別，如果每?jī)扇硕嘉找淮问?，一共要握多少次手?/p>

這里，學(xué)生最容易想到的方法就是用5個(gè)不同的點(diǎn)，互相之間連線(xiàn)來(lái)表示握手的情況，然后數(shù)出線(xiàn)段的個(gè)數(shù)是10次。

如果我們換一個(gè)排列方法，把他們都放在一條線(xiàn)上，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)線(xiàn)段都可以表示握于的一種情形，線(xiàn)段數(shù)就可以表示握手的次數(shù)。這樣，一個(gè)代數(shù)問(wèn)題就和圖形中的數(shù)線(xiàn)段聯(lián)系了起來(lái)。

數(shù)學(xué)知識(shí)間具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，正如學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)一樣，通過(guò)不同知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)成了錯(cuò)綜復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。通過(guò)幾何直觀(guān)的方法抽象出問(wèn)題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的聯(lián)系，我們就可以運(yùn)用已知的方法來(lái)解決新問(wèn)題了。

4.巧借?；罱?jīng)驗(yàn)再現(xiàn)情景，直觀(guān)感知

數(shù)學(xué)問(wèn)題中很大一部分就是生活問(wèn)題的簡(jiǎn)縮版，如學(xué)生坐船、爬樓梯的問(wèn)題等。這時(shí)就可以結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用幾何直觀(guān)的方法將情境再現(xiàn)出來(lái)，直觀(guān)地感知、感悟有關(guān)問(wèn)題。

【例4】一列火車(chē)通過(guò)396米的大橋需要26秒鐘，通過(guò)252米的隧道需要18秒鐘，這列火車(chē)車(chē)身長(zhǎng)是多少米？

在這一道題里，條件中沒(méi)有出現(xiàn)火車(chē)的車(chē)身這樣的關(guān)鍵詞，但問(wèn)題卻求的是車(chē)身的長(zhǎng)度，故只有借助幾何的方法，直觀(guān)地展示火車(chē)通過(guò)的情境，方能化解題目的難點(diǎn)。

通過(guò)幾何直觀(guān)再現(xiàn)火車(chē)運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景，找出時(shí)間和對(duì)應(yīng)的運(yùn)行路程，接著，通過(guò)列表整理出4個(gè)條件。這種實(shí)物直觀(guān)的方法，在問(wèn)題解決的教學(xué)中經(jīng)常會(huì)用到。它借助常識(shí)和直覺(jué)，可幫助我們理解數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

總之，幾何直觀(guān)在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要的作用。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，它是必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一，可以幫助學(xué)生更直觀(guān)地理解和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；對(duì)教師來(lái)說(shuō)，它也是一種必備的教學(xué)能力和素養(yǎng)。讓我們一起借助幾何直觀(guān)，搭建學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的腳手架，引領(lǐng)他們?nèi)ヌ剿鲾?shù)學(xué)的奧秘與神奇，感受數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力吧！