趙立權(quán)，齊厚穎

(東北電力大學(xué)信息工程學(xué)院，吉林吉林132012)

1 引言

盲源分離(Blind Source Separation，BSS)是指在信源信號(hào)和信道參數(shù)都未知的條件下，從觀測(cè)到的混合信號(hào)中估計(jì)出信源信號(hào)，被廣泛用于多種信號(hào)處理和分析領(lǐng)域。目前的研究仍然主要集中于線性瞬時(shí)混合信號(hào)的盲源分離問題，但在許多的實(shí)際系統(tǒng)中，非線性混合模型更為常見。為此，近年來許多學(xué)者提出了非線性盲源分離問題。非線性盲源分離是一種針對(duì)非線性混合信號(hào)的盲源分離方法，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、通信信號(hào)處理、圖像處理及故障診斷等方面[1－4]。目前具有代表性的非線性盲源分離方法主要有以下幾類:一是基于互信息最小化的非線性盲源分離方法[5－7]，采用互信息作為衡量相互獨(dú)立性的標(biāo)準(zhǔn)，互信息越小，分離效果越好;二是基于貝葉斯的非線性盲源分離方法[8－9]，成功利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)理論處理非線性混合模型中各個(gè)變量和參數(shù)間的關(guān)系;三是基于參考信號(hào)的非線性盲源分離方法[10－11]，是一種運(yùn)用信源信號(hào)的先驗(yàn)信息作為參考信號(hào)的分析方法以及基于線性盲源分離的非線性盲源分離方法，該方法是通過對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行高維映射，將非線性問題轉(zhuǎn)化成線性問題[12－13]。

維納系統(tǒng)被應(yīng)用于信號(hào)處理、生物、金融、社會(huì)以及心理分析等多方面，針對(duì)盲源分離問題，研究學(xué)者提出了基于非線性盲源分離的維納系統(tǒng)BSS方法[14－15]，該方法采用基于互信息最小化的非線性盲源分離方法對(duì)維納系統(tǒng)中的信號(hào)進(jìn)行盲源分離。為了克服固定步長(zhǎng)非線性盲源分離算法收斂性能差的問題，本文提出基于變步長(zhǎng)和馬爾可夫原理的后置非線性盲源分離算法，提高維納系統(tǒng)BSS的性能。

2 非線性BSS數(shù)學(xué)模型

假設(shè)n個(gè)相互獨(dú)立的未知源信號(hào)s(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sn(t)]T，首先經(jīng)過未知的線性混合矩陣 A(n×n維)，得到線性混合信號(hào) x(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xn(t)]T=As(t)，再將 x(t)分別通過一個(gè)非線性混合系統(tǒng) f=[f1，f2，…，fn]T，得到觀測(cè)信號(hào)e(t):

盲源分離中的解混和混合是一個(gè)互逆的過程。此非線性混合系統(tǒng)的解混由兩部分組成:第一部分是對(duì)非線性混合函數(shù)f的求逆，即它是一個(gè)非線性反變換函數(shù) g=[g1，g2，…，gn]T，用來補(bǔ)償混合過程中的非線性失真;第二部分為線性解混矩陣B，用來補(bǔ)償混合過程中的線性失真。系統(tǒng)的輸出信號(hào)y(t)可以定義為

式中，g(·)=f－1(·)，B= ΛMA－1，Λ 為對(duì)角矩陣，M為置換矩陣，則非線性解混系統(tǒng)為

后置非線性BSS混合－分離如圖1所示。

圖1 后置非線性BSS混合－分離結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Mixing and separating structure diagram of post nonlinear blind source separation

非線性盲源分離算法的關(guān)鍵是根據(jù)分離信號(hào)y的相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性來對(duì)非線性函數(shù)f和矩陣A求逆。

3 維納系統(tǒng)非線性BSS模型

基于后置非線性BSS的維納系統(tǒng)將后置非線性BSS的線性混合矩陣A用一個(gè)線性濾波器來代替，其信號(hào)混合和分離數(shù)學(xué)模型如圖2所示[14－15]，s(t)是信源信號(hào)，h()是未知可逆濾波器，f()是未知的可逆無記憶非線性函數(shù)，e(t)是觀測(cè)信號(hào)，g()是解混非線性函數(shù)，B是解混矩陣，y(t)是對(duì)s(t)的估計(jì)。

則維納系統(tǒng)的輸出e(t)為

馬爾可夫過程是一典型的隨機(jī)過程，設(shè)x(t)是一個(gè)隨機(jī)過程，當(dāng)過程在時(shí)刻t0所處的狀態(tài)為已知時(shí)，時(shí)刻t(t＞t0)所處的狀態(tài)與過程在t0時(shí)刻之前的狀態(tài)無關(guān)，這個(gè)無后效性的隨機(jī)過程稱為馬爾可夫過程。由于后置非線性混合過程中觀測(cè)信號(hào)e(t)是一個(gè)瞬時(shí)的混合過程，因此也滿足馬爾可夫過程。本文以最小化互信息作為衡量相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)，它被定義為

對(duì)于q階馬爾可夫模型，條件互信息I可以表示為

式中，E(·)表示均值。因?yàn)楦怕拭芏葷M足

式中，gi'(θi，ei(t))是解混系統(tǒng)中非線性反變換函數(shù)對(duì)ei(t)的求導(dǎo)，θi是非線性函數(shù)gi的調(diào)節(jié)變量，所以推得[15]

式中，E{lgpe[e(t)|e(t－1)，e(t－2)，…，e(tq)]}不依賴于矩陣B及非線性函數(shù)g的參數(shù)，所以被省略。目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

4 基于變步長(zhǎng)的維納系統(tǒng)BSS方法

盲源分離算法的相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性判據(jù)是互信息量傳輸最小化原則，所以通過對(duì)參數(shù)B和θ的調(diào)整，使輸出的信號(hào)互信息盡可能小，進(jìn)而達(dá)到最佳的分離效果。采用梯度下降方法對(duì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，算法的性能受步長(zhǎng)參數(shù)影響較大，大的步長(zhǎng)收斂速度比較快，但最小均方誤差較大;相反，小的步長(zhǎng)收斂速度比較慢，但最小均方誤差較小。為了提高算法的收斂性能，本文提出采用基于非線性函數(shù)的變步長(zhǎng)方法對(duì)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化[16]，代價(jià)函數(shù)梯度較大時(shí)使其步長(zhǎng)也較大，加快收斂速度;梯度較小時(shí)，誤差較小接近收斂點(diǎn)，因此使其步長(zhǎng)較小，避免收斂振蕩，同時(shí)也能夠減小收斂誤差。采用變步長(zhǎng)方法對(duì)參數(shù)B進(jìn)行更新，其公式為

式中，

κB(t)如果選取得太大，對(duì)分離算法的穩(wěn)定性會(huì)造成很大的影響，根據(jù)自適應(yīng)信號(hào)處理中算法的收斂因子應(yīng)小于輸入信號(hào)的最大特征值導(dǎo)數(shù)的原則，這里取誤差陣列第一次迭代時(shí)同行元素的絕對(duì)值最大元素近似輸入信號(hào)的特征值，κB(t)的最大值近似為1/2max(|E[ψu(yù)T]+BT(t)－1|)。同理，采用變步長(zhǎng)優(yōu)化方法對(duì)參數(shù)θ進(jìn)行優(yōu)化可得

式中，

5 MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，選取一個(gè)隨機(jī)信號(hào)作為源信號(hào)，其波形如圖3所示。源信號(hào)先后經(jīng)過一個(gè)濾波器(H(z)=1－0.8z－1)得到一個(gè)延時(shí)信號(hào)，延時(shí)信號(hào)和原始信號(hào)作為兩個(gè)信源信號(hào)，經(jīng)過一個(gè)非線性系統(tǒng)(f(x)=x3)后得到兩個(gè)觀測(cè)信號(hào)，其中非延時(shí)觀測(cè)信號(hào)如圖4所示，β=0.05，α=3。

圖3 源信號(hào)的波形圖Fig.3 Waveform of source signal

圖4 觀測(cè)信號(hào)的波形圖Fig.4 Waveform of mixied signal

本文通過變步長(zhǎng)算法分離出的信號(hào)波形如圖5所示。對(duì)比圖5與圖3的波形圖可以看出:兩信號(hào)波形基本一致，說明了該算法很好地分離出了源信號(hào)。

圖5 分離出的信號(hào)波形圖Fig.5 Waveform of separated signal

為定量地驗(yàn)證所提算法的性能，用最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)評(píng)價(jià)分離效果，其值越接近于零，說明算法的分離性能越好。圖6是基于非線性函數(shù)的變步長(zhǎng)算法與文獻(xiàn)[15]采用的固定步長(zhǎng)算法的MMSE比較圖，圖中結(jié)果是兩種算法運(yùn)行50次得到的平均誤差。

圖6 最小均方誤差性能對(duì)比圖Fig.6 Performance comparison of minimum mean squared error

由圖6可知，固定步長(zhǎng)算法分離出源信號(hào)需要更新199次左右，而變步長(zhǎng)算法只需130次左右，收斂速度明顯加快，收斂速度提高了53%。采用固定步長(zhǎng)算法收斂時(shí)的最小均方誤差為1.331 3，而變步長(zhǎng)算法的最小均方誤差為0.733 5，可見誤差性能有很大的改善，誤差減少了45%。變步長(zhǎng)算法與固定步長(zhǎng)算法相比，分離效果有了明顯的改善。

6 結(jié)論

維納系統(tǒng)盲源分離算法采用固定點(diǎn)梯度方法對(duì)代價(jià)函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，導(dǎo)致收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差矛盾增加。為了解決該問題，提出采用梯度絕對(duì)值為變量的非線性變步長(zhǎng)方法對(duì)非線性盲源分離中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，步長(zhǎng)與梯度絕對(duì)值的平方成正比，在收斂初期加快了收斂速度，收斂后期減慢收斂速度，避免了振蕩誤差。相對(duì)原算法，該方法總體誤差更小，收斂速度更快。對(duì)于變步長(zhǎng)的最大值范圍本文僅給出近似值，還缺少理論推導(dǎo)，今后可對(duì)此進(jìn)行深入研究。

[1]任東曉，葉茂，殷英.基于互信息最小的非線性混合胎兒心電信號(hào)提取方法[J].電子測(cè)量與儀器學(xué)報(bào)，2010，24(7):680 －685.REN Dongxiao，YE Mao，YIN Ying.FECG extraction from nonlinear mixture based on minimization of mutual information[J].Journal of electronic measurement and instrument，2010，24(7):680 －685.(in Chinese)

[2]Diamantaras K，Papadimitriou T，Vranou G.Blind separation of multiple binary sources from one nonlinear mixture[C]//Proceedings of 2011 IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing.Prague:IEEE，2011:2108 －2111.

[3]Almeida M，Almeida L.Nonlinear separation of show through image mixtures using a physical model trained with ICA[J].Signal Processing，2012，29(4):872 －884.

[4]王曉偉，石林鎖.自適應(yīng)非線性BSS及其在齒輪故障診斷中的應(yīng)用[J].振動(dòng)與沖擊，2012，31(10):45 －48.WANG Xiaowei，SHI Linsuo.Adaptive nonlinear blind source separation and its application in gear faults diagnosis[J].Journal of Vibration and Shock，2012，31(10):45－48.(in Chinese)

[5]Almeida L B.Linear and nonlinear ICA based on mutual information—the MISEP method[J].Signal Processing，2004，84(2):231 －245.

[6]Sun Z L.An extension of MISEP for post－ nonlinearlinear mixture separation[J].IEEE Transactions on Circuits System，2009，56(8):654 －658.

[7]Duarte L T，Jutten C.A mutual information minimization approach for a class of nonlinear recurrent separating systems[C]//Proceedings of 2007 IEEE Workshop on Machine Learning for Signal Processing.Thessaloniki:IEEE，2007:122 －127.

[8]Chen Wei，Li C K，Wai L W，et al.Post－ nonlinear underdetermined ICA by Bayesian statistics[C]//Proceedings of ICA 2006.Charleston，SC，USA:IEEE，2006:773 －780.

[9]Duarte L T，Jutten C，Moussaoui S.A Bayesian Nonlinear Source Separation Method for Smart Ion－Selective Electrode Arrays [J].Sensors Journal，2009，9(12):1763 －1771.

[10]Ren D X，Mao Y S.Extracting post－ nonlinear signal with reference[J].Computers and Electrical Engineering，2011，37(6):1171 －1181.

[11]Ren D X，Mao Y S.Extracting post－ nonlinear signal with specific kurtosis range[J].Applied Mathematics and Computation，2012，218(9):5726 －5738.

[12]Hameling S，Ziehe A，Kawanabe A.Kernel based nonlinear blind source separation[J].Neural Computation，2013(15):1089－1124.

[13]禹華鋼，高俊，黃高明.基于批處理和核函數(shù)的非線性盲源分離算法[J].電訊技術(shù)，2011，51(10):35 －40.YU Huagang，GAO Jun，HUANG Gaoming.Nonlinear blind source separation algorithm based on batch and kernel function[J].Telecommunication Engineering，2011，51(10):35 －40.(in Chinese)

[14]SUN Zhangli，HUANG Deshuan，ZHENG Chunhou，et al.Blind inversion of wiener system for single source using nonlinear blind source separation[C]//Proceedings of 2005 IEEE International Joint Conference on Neural Networks.Killarney，Ireland:IEEE，2005:1235 －1238.

[15]Casals J S，Jutten C.Quasi－ nonprarmetric blind inversion of wiener systems[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2001，59(5):917 －924.

[16]高鷹，謝勝利.一種變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)濾波算法及分析[J].電子學(xué)報(bào)，2001，29(8):1094 －1097.GAO Ying，XIE Shengli.A variable step size LMS adaptive filtering algorithm and its analysis[J].ACTA Electronica Sinica，2001，29(8):1094 －1097.(in Chinese)