福建省連城冠豸中學(xué) 李永忠

近年來，經(jīng)過對中考試題的研究，我們發(fā)現(xiàn)動態(tài)幾何問題作為一個命題的熱點在各地中考題中頻繁出現(xiàn)，題型靈活多變，常以點、線、面運(yùn)動為載體，探求函數(shù)關(guān)系及存在性等方面的問題，從形式上看，可分為點動、線動和形動三種類型，這類問題主要以幾何圖形為背景，運(yùn)動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題，這類題綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生能力要求高，它能全面考查學(xué)生的實踐操作能力、空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.現(xiàn)以部分中考題為例，分類探析動態(tài)幾何問題的命題方法和解題思路.

一、點動型

在幾何圖形的背景下，以點動為載體的問題主要分為兩類，即單動點問題和雙動點問題，其中單動點問題一般涉及到一次函數(shù)或反比例函數(shù)，雙動點問題一般涉及到二次函數(shù)，這兩類都可和存在性問題聯(lián)系；所給問題又常與函數(shù)圖像、最值及存在性問題緊密相關(guān).

例1 如圖，四邊形ABCD是邊長為2cm的正方形，動點P在ABCD的邊上沿A→B→C→D的路徑以1cm/s的速度運(yùn)動，在這個運(yùn)動過程中，△APD的面積S（cm2）隨時間 t（s）的變化關(guān)系用圖像表示，正確的是（ ）

簡析：本題將點的運(yùn)動過程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖像有機(jī)結(jié)合在一起，二者相輔相成，突出數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)建模在解題中的靈活運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是自變量t取值范圍的分類討論及在各個范圍內(nèi)面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式.

例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標(biāo)分別為（3，0），（3，4），動點 M、N 分別同時從點O、B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運(yùn)動，其中點M沿OA向終點A移動，點N沿BC向終點C運(yùn)動，過點N作NP⊥x軸，交AC于點P，連接MP，已知動點運(yùn)動了x秒.

(1)點P的坐標(biāo)為( ， )(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)試求△MPA面積的最大值，并求此時x的值；

(3)請你探索：當(dāng)x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？你發(fā)現(xiàn)了幾種情況?寫出你的研究成果.

簡析：本題是以雙點運(yùn)動構(gòu)建的集函數(shù)、最值問題、存在性問題為一體的綜合題.包含著相似三角形、勾股定理和二次函數(shù)等知識的綜合運(yùn)用.題（1）是關(guān)鍵，為下面問題的解決分散了難點，起到點撥作用；題(2)是以矩形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問題，在知識點上側(cè)重對二次函數(shù)關(guān)系和最值問題的考查，要求學(xué)生有扎實的基礎(chǔ)知識、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于應(yīng)用上小題的結(jié)論確定點P到OA的距離；題（3）是存在性問題，要求學(xué)生能按照等腰三角形的定義進(jìn)行分類.探究此類問題要在“動”中取“靜”，分情況畫出動點在特定位置的圖形，并要充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸和分類討論等數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵在于通過相似、勾股定理、等腰三角形性質(zhì)等知識點按分類的情況列出相應(yīng)的方程給予解決.

二、線動型

線動形動態(tài)幾何問題常見于在坐標(biāo)平面下，通過直線與原定的幾何圖形（常以矩形、梯形為主）的相對移動，從而構(gòu)造出在各種范圍內(nèi)不同圖形而設(shè)置的問題，解決此類問題要善于借助動態(tài)思維，應(yīng)用分類的數(shù)學(xué)思想，從變中求不變，抓住靜的瞬間，把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題解決.

例3 如圖，直線CD：y＝2x+1與邊長為1的正方形OABC交于點C，與x軸交于點D.將直線CD沿x軸正方向平移m個單位（0

簡析：由于直線在平移過程中位置的不同，截正方形所得圖形也不同，因此應(yīng)分類討論求解.解題的關(guān)鍵是明確按什么分類標(biāo)準(zhǔn)，分哪幾類，難點在于抓住臨界位置，結(jié)合所給自變量m范圍進(jìn)行精心合理分類，并進(jìn)行分類畫圖，逐個求解.

例4 如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135.點P從點B出發(fā)沿折線段BA-AD-DC以每秒5個單位長度的速度向點C勻速運(yùn)動；點Q從點C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個單位長度的速度勻速運(yùn)動，過點Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD-DA-AB于點E.點P、Q同時開始運(yùn)動，當(dāng)點P與點C重合時停止運(yùn)動，點Q也隨之停止.設(shè)點P運(yùn)動的時間是t秒(t>0）.

(1)當(dāng)點P到達(dá)終點C時，求t的值.并指出此時BQ的長；

(2)當(dāng)點P運(yùn)動到AD上時，t何值能使四邊形PQCD為平行四邊形；

(3)設(shè)射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點E運(yùn)動到CD、DA上時，S與t的函數(shù)關(guān)系式，（不必寫出t的取值范圍）

簡析：本題為梯形背景下的動態(tài)幾何問題.其中既涉及到雙動點問題也涉及到直線運(yùn)動問題，題目條件較多，對學(xué)生的分析問題能力要求較高，尤其是第 (3)小題，解題時容易受到動點P的影響，解決這小題要用到勾股定理、相似三角形及梯形相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵在于充分利用Rt△DFC這一隱含的已知條件，分類畫出相應(yīng)圖形解決.

三、形動型

形動類動態(tài)幾何問題指在平面內(nèi)兩個幾何圖形之間的問題，一般情況下，其中一個位置固定，另一個圖形相對于位置固定的圖形作圖形變換（含平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等），通過圖形變換，探求各種不同位置下的函數(shù)關(guān)系問題，此類問題一般以壓軸題為主，探討在連續(xù)變換的條件下隱含著的不變性質(zhì)，此類問題的特點在于常常利用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、圖形的面積關(guān)系、特殊幾何圖形的幾何性質(zhì)，以方程為紐帶獲得函數(shù)關(guān)系式，從而達(dá)到解題目的.

例5 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=6cm，正方形 DEFG 的邊長為2cm，其一邊EF在直線BC上，開始時點F與點C重合，讓正方形DEFG沿直線CB向右以每秒1cm的速度作勻速運(yùn)動，最后點E與點B重合.

(1)請直接寫出該正方形運(yùn)動6秒時與△ABC重疊部分面積的大小；

(2)設(shè)運(yùn)動時間為x(秒)，運(yùn)動過程中正方形DEFG與△ABC重疊部分的面積為y(cm2).

①在該正方形運(yùn)動6秒后至運(yùn)動停止前這段時間內(nèi)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

②在該正方形整個運(yùn)動過程中，

求當(dāng)x為何值時，y=0.5.

簡析：本題屬形動中平移問題，常見的題型是通過圖形的移動求兩個圖形重疊部分的面積與運(yùn)動時間之間的函數(shù)關(guān)系式，也常與最值問題、特殊時刻的面積或時間的值相關(guān)；解題的關(guān)鍵在于確定圖形移動過程的臨界位置，并把所給自變量進(jìn)行合理分類，確定自變量取值范圍.此類問題一般要結(jié)合方程、相似、勾股定理等相關(guān)知識并進(jìn)行綜合應(yīng)用.

例6 把兩塊全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE.把三角板 ABC 固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)直線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q.

(1)如圖①，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B時，易證△APD∽△CDQ.此時，AP·CQ= .

(2)將三角板DEF由圖①位置繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) α 角（0°<а<90°），問AP·CQ的值是否改變？并說明理由.

(3)在(2)的條件下，設(shè) CQ=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式.(圖②③供解題用)

簡析：本題屬形動中的旋轉(zhuǎn)類問題，這種用兩個全等圖形構(gòu)造的問題，用全等或相似的知識證明圖中的存在的不變的量是其題目的特點.如本題的三個圖形中，均有△APD∽△CDQ，從而AP·CQ的值為定值.題目的設(shè)計一般由簡到難，呈“步步高”的趨勢，解題的關(guān)鍵在于抓住題中的定量，以不動制動，通過觀察、探索、比較等方法解決.本題第（3）小題難度較大，既要用到前面的結(jié)論，又要用到相似的知識，解題的關(guān)鍵在于利用點D到兩直角邊距離為隱含條件，通過相似的方法處理，從而解決線段MQ與x的關(guān)系.

通過以上分析，可以清楚的發(fā)現(xiàn)，動態(tài)幾何問題的設(shè)置往往帶有操作性、探索性和開放性，問題的解決需要通過操作、實驗、觀察、猜測、探索、驗證等一系列的數(shù)學(xué)活動，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想，內(nèi)容豐富、解法靈活，具有開放性，建議在教學(xué)中，加強(qiáng)對此類問題的分析，必將對培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、空間觀念和幾何變換思想有較大的幫助.