蔡 鴻，葉滿(mǎn)園，李 宋

（華東交通大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，江西 南昌 330013）

0 引言

特定諧波消除脈寬調(diào)制（SHEPWM）技術(shù)具有開(kāi)關(guān)頻率低、輸出波形質(zhì)量好、開(kāi)關(guān)損耗小、逆變效率高、輸出濾波器尺寸小等優(yōu)點(diǎn)，在逆變器PWM控制，尤其是在高壓大容量多電平逆變器的控制方面受到了越來(lái)越多的關(guān)注。非線性消諧方程組的求解是限制該調(diào)制技術(shù)應(yīng)用于現(xiàn)場(chǎng)的一大難題，對(duì)此已有大量研究。對(duì)于迭代類(lèi)算法，為了解決初值問(wèn)題，文獻(xiàn)[1-5]提出了質(zhì)心重合、等面積法等初值選取方法，這些方法的提出極大減少了初值選取的盲目性，并增加了初值可靠性；文獻(xiàn)[6-7]應(yīng)用同倫算法求解消諧方程組，該方法具有很寬的收斂域，對(duì)初值的要求不高，在SHEPWM中得到廣泛應(yīng)用；文獻(xiàn)[8-10]利用Walsh域和傅里葉域間的變換關(guān)系，將傅里葉域下的非線性超越方程組變換為Walsh域下的分段線性方程組，并對(duì)其進(jìn)行求解，該方法提高了SHEPWM控制技術(shù)中計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)控制的可能性。以上研究解決了SHEPWM技術(shù)的一些關(guān)鍵問(wèn)題，但對(duì)于該技術(shù)的在線實(shí)現(xiàn)國(guó)內(nèi)外很少文獻(xiàn)提及，其主要受困于非線性方程組求解的難度。文獻(xiàn)[11]提到可以利用查表法實(shí)現(xiàn)，但由于無(wú)法得到合理的開(kāi)關(guān)角度解而阻礙了其對(duì)查表法的進(jìn)一步研究。文獻(xiàn)[12-13]提出了一種利用三角函數(shù)倍角關(guān)系將SHEPWM非線性方程組轉(zhuǎn)換成代數(shù)多項(xiàng)式方程組，并利用合成理論對(duì)方程組進(jìn)行求解，得到了非線性方程組的所有解，并且該方法不需要初值，但采用合成理論求解多項(xiàng)式的計(jì)算量大，計(jì)算速度慢且計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)復(fù)雜。

非線性方程組轉(zhuǎn)換成代數(shù)多項(xiàng)式方程組求解的方法，可以獲得方程組的所有解，這為SHEPWM技術(shù)在線實(shí)現(xiàn)提供了契機(jī)。本文結(jié)合已有研究，從非線性方程組轉(zhuǎn)換成代數(shù)多項(xiàng)式方程組的角度出發(fā)，利用MATLAB專(zhuān)門(mén)提供求解多項(xiàng)式方程組的Solve函數(shù)對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程組進(jìn)行求解，該方法簡(jiǎn)單、高效、快速，并且可以獲得比較好的消諧效果。本文利用該方法求解得到了七電平逆變器SHEPWM方程組的所有解，繪制了開(kāi)關(guān)角度解軌跡，選取了合理的開(kāi)關(guān)角度解，并分別利用線性插值法和牛頓迭代法，實(shí)現(xiàn)了SHEPWM開(kāi)關(guān)角度的在線計(jì)算。最后，比較分析了2種方法的特點(diǎn)，這對(duì)SHEPWM的在線控制具有實(shí)際意義。

1 SHEPWM消諧模型

1.1 三角函數(shù)模型建立

級(jí)聯(lián)七電平逆變器由3個(gè)H橋單元構(gòu)成，其拓?fù)鋱D如圖1所示。由于階梯波調(diào)制方式在級(jí)聯(lián)多電平逆變器上容易實(shí)現(xiàn)，所以此種調(diào)制方式具有較好的實(shí)用性。

圖1 H橋七電平逆變器拓?fù)銯ig.1 Topology of H-bridge seven-level inverter

階梯波多電平逆變器輸出電壓諧波系數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中，0＜θ1＜θ2＜…＜θN；bn為諧波系數(shù)；pk在 θk上升沿處記+1，下降沿處記-1。

圖2 級(jí)聯(lián)七電平逆變器階梯波合成模式Fig.2 Staircase wave synthesis mode of cascaded seven-level inverters

根據(jù)式（1），可以列出三角函數(shù)表達(dá)式表示的數(shù)學(xué)消諧模型如下：

1.2 模型轉(zhuǎn)換

文獻(xiàn)[15]推導(dǎo)了余弦多倍角公式，可以很方便地得出多倍角分解時(shí)的系數(shù)，將公式進(jìn)行處理可以得到以下轉(zhuǎn)換通式。

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有：

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有：

根據(jù)式（3）計(jì)算可得到5倍角和7倍角的分解式分別為：

令 cosθ1=x1，cosθ2=x2，cosθ3=x3，結(jié)合式（2）、（5）、（6），可以將余弦函數(shù)表示的消諧模型轉(zhuǎn)換為如下所示的代數(shù)多項(xiàng)式消諧模型：

其中，1＞x1＞x2＞x3＞0。

2 多項(xiàng)式消諧模型求解

對(duì)于代數(shù)多項(xiàng)式的求解有很多種，基本的類(lèi)型包括數(shù)值解法、符號(hào)解法和數(shù)值符號(hào)混合求解[16]。為了得到方程組的全部真實(shí)解，本文采用符號(hào)解法對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程組進(jìn)行求解。其中，經(jīng)典的多項(xiàng)式解法是Groebner基法和吳方法，但這二者在計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)時(shí)，難度與文獻(xiàn)[12-13]提及的合成理論難度相當(dāng)，且計(jì)算量大。本文采用數(shù)學(xué)軟件MATLAB中提供的專(zhuān)門(mén)解代數(shù)方程（組）的符號(hào)（解析）解的函數(shù)——Solve函數(shù)，利用它可以求解本文的代數(shù)多項(xiàng)式模型，并可以輕易地得到方程組的解，這種方法簡(jiǎn)單、高效且不需要初值。本文利用這種方法對(duì)級(jí)聯(lián)七電平逆變器SHEPWM消諧模型進(jìn)行求解。其具體步驟如下：

a.將調(diào)制比系數(shù)m代入式（7）；

b.利用Solve函數(shù)對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程組進(jìn)行求解得到 x1、x2、x3；

c.將步驟b中的x1、x2、x3的解進(jìn)行反余弦運(yùn)算，[θ1θ2θ3]=[arccosx1arccosx2arccosx3]得到開(kāi)關(guān)角度 θ1、θ2、θ3。

按照上面的步驟求解得到了級(jí)聯(lián)七電平逆變器階梯波調(diào)制的所有解，其調(diào)制比范圍為[0.485，1.07]。

圖3 開(kāi)關(guān)角度隨調(diào)制比變化的軌跡Fig.3 Curves of switching angle vs.modulation ratio

圖3為開(kāi)關(guān)角度隨調(diào)制比變化的開(kāi)關(guān)角度軌跡（按調(diào)制比增量Δm=0.01進(jìn)行繪制）。 其中，調(diào)制比[0.637，0.786]區(qū)間內(nèi)消諧方程組含有 2 組解。為了解所求解的特性，本文對(duì)所有開(kāi)關(guān)角度進(jìn)行了逐個(gè)仿真，并記錄了仿真中的線電壓的THD。線電壓THD與調(diào)制比m的關(guān)系曲線如圖4所示，在整個(gè)階梯波調(diào)制區(qū)間內(nèi)，線電壓總諧波含量都小于20%，且在大部分調(diào)制區(qū)間內(nèi)第1組解控制效果優(yōu)于第2組解。

圖4 線電壓THD與調(diào)制比的關(guān)系曲線Fig.4 Curves of line voltage THD vs.modulation ratio

3 DSP在線控制

本文利用上文中求得的開(kāi)關(guān)角，分別采用線性插值和牛頓迭代2種方法實(shí)現(xiàn)特定諧波消除技術(shù)開(kāi)關(guān)角度的在線計(jì)算，并比較分析了2種方法的特點(diǎn)。其中，2種方法采用的均為第1組開(kāi)關(guān)角度解。下文所述的2種方法均采用DSP2812實(shí)現(xiàn)。

3.1 線性插值法

七電平逆變器SHEPWM調(diào)制比范圍為[0.485，1.07]，為了方便建立數(shù)據(jù)表格，此處取調(diào)制比區(qū)間為[0.49，1.07]。 由第2節(jié)可知調(diào)制比增量為Δm=0.01，因此可建立大小為1×59的數(shù)據(jù)表格，如下所示：

該數(shù)據(jù)表格為本文線性插值法中存入DSP2812寄存器的數(shù)據(jù)，其中A1、A2、A3分別對(duì)應(yīng)開(kāi)關(guān)角度θ1、θ2、θ3。

由于調(diào)制比增量為Δm=0.01足夠小，因此該方法中近似認(rèn)為第i個(gè)開(kāi)關(guān)角度到第i+1個(gè)開(kāi)關(guān)角度的軌跡是一條直線。線性插值法示意圖如圖5所示，其中 θN（N=1，2，3）為開(kāi)關(guān)角度，i為區(qū)間段號(hào)，θNm為調(diào)制比為m時(shí)對(duì)應(yīng)的開(kāi)關(guān)角度。

圖5 線性插值法在線計(jì)算角度示意圖Fig.5 Schematic diagram of online switching angle calculation by linear interpolation method

由線性關(guān)系可知開(kāi)關(guān)角度計(jì)算式如下：

將 Δm=0.01代入式（8），整理得：

其中，由給定的調(diào)制比m可依據(jù)DSP數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)math.h中的floor函數(shù)求得區(qū)段i的值，具體公式如下：

當(dāng)區(qū)段 i確定時(shí)，θN[i]、θN[i＋1]可以查表得到，因此可以依據(jù)式（9）獲得對(duì)應(yīng)調(diào)制比下開(kāi)關(guān)角度的解 θNm。

綜上所述，可以得到線性插值法實(shí)現(xiàn)SHEPWM的在線計(jì)算流程圖，如圖6所示。

為了驗(yàn)證該方法的可行性及消諧效果，取任意10個(gè)調(diào)制比下求得的開(kāi)關(guān)角度做數(shù)據(jù)分析，數(shù)據(jù)分析結(jié)果如表1所示。其中，耗時(shí)表示CCS3.3編程環(huán)境下測(cè)得的計(jì)算開(kāi)關(guān)角度花費(fèi)的時(shí)間（DSP計(jì)算時(shí)間）；UANx／UAN1（x=5，7）表示消諧后 5、7 次諧波剩余量。

由表1中所測(cè)數(shù)據(jù)可知，在采用線性插值法實(shí)現(xiàn)SHEPWM開(kāi)關(guān)角度在線計(jì)算時(shí)，DSP所耗費(fèi)時(shí)間為160 μs左右，計(jì)算的開(kāi)關(guān)角度控制結(jié)果中5、7次諧波剩余量基本控制在基波幅值的1／10000數(shù)量級(jí)之內(nèi)，具有較好的控制效果。

由上文的分析可知，在該方法中區(qū)間越多，即事先建立的數(shù)據(jù)表格越長(zhǎng)，在線計(jì)算精度越高。因此，本文認(rèn)為在不影響DSP數(shù)據(jù)空間的情況下（有足夠儲(chǔ)存空間完成控制算法），可適當(dāng)增加離線計(jì)算的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度（數(shù)據(jù)過(guò)大導(dǎo)致工作量加大）。

圖6 線性插值法實(shí)現(xiàn)流程Fig.6 Flowchart of linear interpolation method

由表1中知，運(yùn)用本節(jié)所述方法求取的七電平逆變器SHEPWM控制下調(diào)制比m為0.863時(shí)的3個(gè)開(kāi)關(guān)角度為 θ1=21.79956°、θ2=48.34290°、θ3=64.63573°，對(duì)其進(jìn)行了MATLAB／Simulink仿真實(shí)驗(yàn)。仿真中，直流電壓源幅值50 V，頻率50 Hz，純電阻負(fù)載。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7、圖8所示。由圖8中頻譜可以看出相電壓及線電壓中5、7次諧波基本得到消除，并且仿真結(jié)果中調(diào)制比m′=128.7／150=0.858，幅值誤差為：

這就證明了，本文所述利用Solve函數(shù)求解多項(xiàng)式方程組得到的開(kāi)關(guān)角度制作成數(shù)據(jù)表格，進(jìn)而利用線性插值法在線計(jì)算不同調(diào)制比下的開(kāi)關(guān)角度可以達(dá)到消除特定諧波的目的。

3.2 牛頓迭代法

圖7 線性插值法計(jì)算結(jié)果的相電壓及線電壓仿真波形Fig.7 Simulative waveform of phase voltage and line voltage by linear interpolation method

圖8 線性插值法計(jì)算結(jié)果的輸出電壓頻譜Fig.8 Spectrum of output voltage by linear interpolation method

由圖3中可以看出，開(kāi)關(guān)角度解隨調(diào)制比變化的軌跡中大部分成線性分布，由此本文將求解得到的開(kāi)關(guān)角度擬合成關(guān)于調(diào)制比m的一元線性方程[16]，再利用牛頓迭代法在線求解開(kāi)關(guān)角度，迭代初值由擬合的一元線性方程決定。將圖3中第1組解一元線性擬合得到的方程如式（11）所示，單位為度，DSP計(jì)算時(shí)需轉(zhuǎn)換為弧度制單位。

由上文論述總結(jié)牛頓迭代法實(shí)現(xiàn)SHEPWM的在線計(jì)算流程圖，如圖9所示。

利用牛頓迭代法取表1中的10組調(diào)制比得到計(jì)算結(jié)果如表2所示，其中迭代精度為10-7。

表2表明在DSP實(shí)現(xiàn)牛頓迭代法在線計(jì)算SHEPWM開(kāi)關(guān)角度時(shí)，迭代次數(shù)可控制在5次左右，耗費(fèi)時(shí)間隨迭代次數(shù)增加而有所增加，5、7次諧波剩余量可控制在10-6以?xún)?nèi)。與前文所述線性插值法相比，精度是它的1／1000左右，但耗費(fèi)時(shí)間卻是它的30～50倍，與迭代次數(shù)有關(guān)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，選擇反應(yīng)速度較快的線性插值法亦或是精度較高的牛頓迭代法，可視具體情況選擇。

表1 線性插值法在線求解數(shù)據(jù)分析Table 1 Analysis of data solved by linear interpolation method

圖9 牛頓迭代法實(shí)現(xiàn)流程Fig.9 Flowchart of Newton iteration method

由表2知，利用本節(jié)所述牛頓迭代法求取的調(diào)制比m為0.863時(shí)的3個(gè)開(kāi)關(guān)角度為θ1=21.2312°、θ2=47.695 65°、θ3=64.646 59°，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10、圖11所示。由圖11中頻譜可以看出相電壓及線電壓中5、7次諧波基本得到消除。仿真結(jié)果中調(diào)制比 m′=129.5 ／150=2.59 ／3，幅值誤差為：

因此證明了，本文所述利用Solve函數(shù)求解多項(xiàng)式方程組得到的開(kāi)關(guān)角度擬合成一元線性方程作為牛頓迭代的初值，進(jìn)而在線計(jì)算不同調(diào)制比下的開(kāi)關(guān)角度，同樣可以達(dá)到消除特定諧波的目的。且牛頓迭代法相比于線性插值法精度更高，幅值誤差ΔU僅為0.0333%。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證其實(shí)際消諧效果，在級(jí)聯(lián)七電平試驗(yàn)樣機(jī)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，該樣機(jī)開(kāi)關(guān)管選擇MOSFET IRFIZ24N，A3120作驅(qū)動(dòng)，輸入直流側(cè)電壓為22 V，輸出電壓頻率50 Hz，224 Ω水泥電阻作為負(fù)載。實(shí)驗(yàn)中采用DSP（TMS320F2812）進(jìn)行控制，實(shí)現(xiàn)了上文中提到的2種開(kāi)關(guān)角度的在線實(shí)時(shí)計(jì)算方法。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，實(shí)驗(yàn)中給定調(diào)制比代替實(shí)際工程中“取參考電壓”環(huán)節(jié)[17]。

圖10 牛頓迭代法計(jì)算結(jié)果的相電壓及線電壓仿真波形Fig.10 Simulative waveform of phase voltage and line voltage by Newton iteration method

圖11 牛頓迭代法計(jì)算結(jié)果輸出電壓頻譜Fig.11 Spectrum of output voltage by Newton iteration method

圖12、圖13所示為調(diào)制比m=0.863時(shí)，利用牛頓迭代法在線計(jì)算開(kāi)關(guān)角度的實(shí)驗(yàn)波形。由頻譜可以看出指定消除的5、7次諧波基本得到消除，從而證明利用Solve函數(shù)求解多項(xiàng)式方程組得到的開(kāi)關(guān)角度擬合成一元線性方程作為牛頓迭代的初值進(jìn)而在線計(jì)算的開(kāi)關(guān)角度是正確的，可以達(dá)到消除特定諧波的目的。同時(shí)證明了該系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。由表1、表2知，2種在線計(jì)算方法的角度計(jì)算結(jié)果差別不大，因此這里只給出牛頓迭代法的實(shí)驗(yàn)波形。

表2 牛頓迭代法在線求解數(shù)據(jù)分析Table 2 Analysis of data solved by Newton iteration method

圖12 相電壓及線電壓實(shí)驗(yàn)波形Fig.12 Experimental waveforms of phase voltage and line voltage

圖13 相電壓及線電壓頻譜Fig.13 Spectra of phase voltage and line voltage

5 結(jié)論

本文在DSP中分別用線性插值法和牛頓迭代法實(shí)現(xiàn)了特定諧波消除技術(shù)開(kāi)關(guān)角度的在線計(jì)算。首先，將三角函數(shù)形式的消諧模型轉(zhuǎn)換為代數(shù)多項(xiàng)式的形式，并用MATLAB中Solve函數(shù)進(jìn)行求解得到了七電平逆變器SHEPWM開(kāi)關(guān)角度的所有解；然后，結(jié)合求解得到的開(kāi)關(guān)角度，分別利用線性插值和牛頓迭代法實(shí)現(xiàn)了開(kāi)關(guān)角度的在線計(jì)算。仿真和實(shí)驗(yàn)得出了以下結(jié)論：

a.利用三角函數(shù)倍角關(guān)系將非線性方程組轉(zhuǎn)換成代數(shù)多項(xiàng)式結(jié)合Solve函數(shù)求解開(kāi)關(guān)角度的方法是可行的，可以求得消諧方程組的所有解，具有簡(jiǎn)單、高效且可避免初值問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)；

b.在使用線性插值法實(shí)現(xiàn)開(kāi)關(guān)角度在線計(jì)算時(shí)，不同調(diào)制比下DSP計(jì)算時(shí)間基本相等大約160 μs，消除的諧波剩余量數(shù)量級(jí)大約可控制在10-4，且數(shù)據(jù)表格越長(zhǎng)精度越高，但存儲(chǔ)空間隨之加大；

c.在使用牛頓迭代法實(shí)現(xiàn)開(kāi)關(guān)角度在線計(jì)算時(shí)，不同調(diào)制比下DSP計(jì)算時(shí)間不同，與迭代次數(shù)有關(guān)，本文中迭代次數(shù)可控制在5次左右，消除的諧波剩余量數(shù)量級(jí)可控制在10-7，采用線性擬合作為牛頓迭代的初值可大幅節(jié)約數(shù)據(jù)儲(chǔ)存空間，且精度比線性插值法高，但該方法在線計(jì)算開(kāi)關(guān)角度時(shí)間比線性插值法長(zhǎng)，實(shí)時(shí)性相對(duì)較弱。

總之，本文所述2種方法有各自的特點(diǎn)，且都可實(shí)現(xiàn)特定諧波消除技術(shù)開(kāi)關(guān)角度的在線計(jì)算?？梢?jiàn)，利用Solve函數(shù)求解轉(zhuǎn)化代數(shù)多項(xiàng)式消諧模型獲得方程組的全部解，而后選取開(kāi)關(guān)角度進(jìn)行相關(guān)處理實(shí)現(xiàn)SHEPWM實(shí)時(shí)控制是一種可行思路。