薛向珍，王三民，袁 茹

(西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院，710072西安)

漸開線花鍵連接由于傳輸扭矩能力大，對中性好，故廣泛應(yīng)用于航空減速器、航天發(fā)動機渦輪泵等動力傳輸系統(tǒng)中.由于花鍵齒側(cè)間隙的存在，當(dāng)花鍵副受力時，側(cè)隙小的花鍵齒先嚙合，間隙次之的再嚙合，依次進行，實際參與嚙合的齒數(shù)小于設(shè)計齒數(shù)［1］.航空花鍵副受力情況復(fù)雜，在變扭矩、軸向力及彎矩共同作用下，在起飛、巡航、著陸時都受到較大的變載荷沖擊，且由于齒側(cè)間隙使得花鍵副嚙合剛度具有時變性［1］，導(dǎo)致花鍵副具有復(fù)雜的非線性動力學(xué)特性.Tjemberg［2］研究了花鍵副延軸向載荷分布情況并和有限元結(jié)果進行了對比，指出使載荷均勻分配的最好方法是沿軸向修正花鍵齒厚.Barrot等［3］研究了考慮不同載荷和幾何形狀下花鍵副軸向扭矩傳遞情況，指出軸向扭矩分布主要影響花鍵副與微動磨損相關(guān)的損壞.Silvers和Curà等［4-5］也對花鍵的載荷分配情況進行了研究.Leen等［6］基于由實驗驗證的受扭矩和軸向力載荷的花鍵有限元模型對花鍵的三維摩擦接觸進行了研究，該研究考慮了軸向齒廓修形及摩擦系數(shù)的影響.Ratsimba等［7］以及Ding等［8］實驗測得摩擦系數(shù)及磨損系數(shù)值，利用三維有限元模型得出接觸應(yīng)力和滑移距離，采用修正的Archard方程計算了磨損深度.Ding和Madge等［9-11］也對花鍵的磨損進行了研究.Kahraman［12］建立了漸開線花鍵的純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型，給出了非線性動力學(xué)方程，但未對方程進行求解以及對其非線性動力學(xué)行為進行研究.為準(zhǔn)確預(yù)估花鍵副的使用壽命及磨損情況，需要精確分析漸開線花鍵連接動載大小.

本文在考慮漸開線花鍵副齒側(cè)間隙情況下，建立了漸開線花鍵副純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型及非線性動力學(xué)方程，分析了一個次載荷循環(huán)周期中，花鍵副實際參與嚙合的齒數(shù)分布情況，采用ANSYS計算出系統(tǒng)綜合時變嚙合剛度，利用四階Runge-Kutta法對非線性方程進行了求解，并對花鍵副系統(tǒng)的動力學(xué)特性進行了分析，為研究花鍵副磨損及預(yù)估其壽命提供了理論基礎(chǔ).

1 花鍵副動力學(xué)模型與動力學(xué)方程

1.1 動力學(xué)模型

考慮齒側(cè)間隙情況下，利用集中質(zhì)量法建立了花鍵副的純扭動力學(xué)模型，如圖1所示，圖中集中質(zhì)量盤1、2、3、4分別表示花鍵副輸入構(gòu)件、外花鍵、內(nèi)花鍵及花鍵副輸出構(gòu)件.

圖1 花鍵連接動力學(xué)模型

1.2 動力學(xué)方程的建立

以4個集中質(zhì)量盤的轉(zhuǎn)角 θ1、θ2、θ3、θ4為廣義坐標(biāo)，根據(jù)Lagrange方程可推導(dǎo)出圖1所示系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

式中:Ⅰi為轉(zhuǎn)動慣量;θi為轉(zhuǎn)動的角度(i=1、2、3、4);T1、T4分別為輸入、輸出扭矩，T1=T4;b為齒側(cè)間隙;r2、r3分別為外、內(nèi)花鍵節(jié)圓半徑;cS、ct分別為扭轉(zhuǎn)阻尼、嚙合阻尼;kS、kt分別為扭轉(zhuǎn)剛度、綜合時變嚙合剛度．

對方程組(1)中的各方程兩邊分別除以Ⅰ1、Ⅰ2、Ⅰ3、Ⅰ4，令x1=r2(θ1-θ2)，x2=r2θ2-r3θ3，x3=r3(θ3-θ4)，則方程組(1)可化為

式中g(shù)［x(t)］為花鍵間隙分段線性位移函數(shù)，其表達式及式中參數(shù)含義見文獻［12］．

2 花鍵副嚙合齒對數(shù)計算

航空花鍵在起飛、巡航、著陸時承受著較大的變載荷沖擊，所受扭矩的一個主循環(huán)伴隨多個次循環(huán)，如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)承受扭矩形式

當(dāng)花鍵副承受圖2所示扭矩時，由于齒側(cè)間隙的存在，間隙小的齒先嚙合，間隙次之的接著嚙合，直到所有載荷分配完.花鍵副受載時實際參與嚙合的齒數(shù)rr小于設(shè)計齒數(shù)n．將花鍵副所受力矩中伴隨一個周期次循環(huán)的扭矩值離散為T11、T12…、T1i(i=1，2，…，17)，其表達式為

式中:Tm為外激勵扭矩的均值;εT為外激勵扭矩的幅值波動系數(shù);ωT為系統(tǒng)的角速度．

隨機給定兩組服從正態(tài)分布［13］的齒側(cè)間隙值bj、b'j，采用MATLAB程序計算花鍵副實際參與嚙合的齒數(shù)，其流程如圖3所示.

圖3 實際嚙合齒數(shù)計算流程

計算得出離散的扭矩分別對應(yīng)的花鍵副嚙合齒數(shù)為rr1、rr2…、rri(i=1，2，…，17)，對于齒數(shù)n=20，平均扭矩為2 600 N·m的花鍵副計算結(jié)果如圖4所示.由圖4可看出，在伴隨一個次循環(huán)周期的載荷下，花鍵副實際參與嚙合的齒數(shù)呈線性分段特征分布.波動系數(shù)為0.1時，實際參與嚙合的齒數(shù)分布比較平穩(wěn)，波動系數(shù)為0.5時，由于扭矩變化相對較大，且齒側(cè)間隙不同，導(dǎo)致參與嚙合的齒數(shù)不穩(wěn)定.

圖4 實際嚙合齒數(shù)隨波動系數(shù)變化規(guī)律

3 花鍵副動力學(xué)參數(shù)確定

3.1 綜合時變嚙合剛度計算

在PRO/E中建立花鍵副實體模型并導(dǎo)入ANSYS軟件中，定義單元類型為SOLID186.定義材料彈性模量為210 GPa，泊松比0.28、密度7 800 kg/m3、摩擦系數(shù)取0.3，由于本節(jié)采用花鍵副全齒模型分析，為了減少不必要的單元和提高計算效率，劃分網(wǎng)格時花鍵齒接觸處網(wǎng)格細(xì)化，不會產(chǎn)生應(yīng)力集中的部位網(wǎng)格相對疏松.將內(nèi)花鍵設(shè)置為目標(biāo)面，花鍵軸為接觸面，建立接觸對，接觸剛度因子為1.0，最大滲透范圍為0.1［14］，ICONTt初始靠近因子選用1.0×10-10.將內(nèi)花鍵外圓柱面進行全約束，外花鍵軸除繞Z軸旋轉(zhuǎn)的自由度外其余也全約束，在花鍵軸外圓柱面上連線通過軸中心對稱的兩條母線的各個節(jié)點處分別施加X和-X方向的力，形成力偶，力的大小Fi(i=1，2，…，17)計算如下:

式中:T1i分別為T1(t)離散的扭矩值T11、T12、…、T1i(i=1，2，…，17)，N為每條線上節(jié)點總數(shù)．求解后得出對應(yīng)的接觸壓力Fni及變形量δi．由剛度計算公式k=Fn/δ計算出17組扭矩分別對應(yīng)的時變嚙合剛度，如圖5、6所示．

圖5 剛度隨時間的變化

圖6 剛度隨扭矩的變化

由圖5可看出，花鍵副嚙合剛度隨時間變化呈周期變化，其平均嚙合剛度為245 MN/m，頻率和扭矩相同;由圖6可看出，由于實際參與嚙合的齒對數(shù)在一定范圍的扭矩值內(nèi)是不變的，因此，綜合時變嚙合剛度隨扭矩呈分段線性分布.考慮時變嚙合剛度時研究花鍵副非線性動力學(xué)行為，需要將時變嚙合剛度曲線的函數(shù)表達式代入動力學(xué)方程中.由于嚙合剛度是周期性函數(shù).因此采用傅里葉級數(shù)對其進行擬合，在初始相位為零的情況下擬合后的近似表達式為

式中:km為平均嚙合剛度;ka為剛度的波動幅值;ωT為系統(tǒng)角速度．

3.2 嚙合阻尼的計算方法

由于花鍵副多個鍵齒同時參與嚙合，其嚙合阻尼比較復(fù)雜，不易準(zhǔn)確求得.因此，參照齒輪副的嚙合阻尼計算經(jīng)驗公式，取嚙合阻尼比ξ為常數(shù)，則其嚙合阻尼為

式中:km為花鍵副的平均嚙合剛度;Me、Mi分別為外、內(nèi)花鍵副的等效質(zhì)量;ξ為嚙合阻尼比，其取值范圍約為0.03～0.17［15］．

3.3 軸的扭轉(zhuǎn)剛度

根據(jù)材料力學(xué)理論，軸的扭轉(zhuǎn)剛度為

式中:G為材料的剪切彈性模量;ⅠS為軸的轉(zhuǎn)動慣量，ⅠS=πd4/32;d為軸的直徑;lS為軸的受扭長度．

3.4 軸的扭轉(zhuǎn)阻尼

軸的扭轉(zhuǎn)阻尼的經(jīng)驗計算公式為

式中:KS為軸的扭轉(zhuǎn)剛度;ⅠS為軸的轉(zhuǎn)動慣量;ξS為軸的扭轉(zhuǎn)阻尼比，其取值范圍為0.005～

0.075［15］．

4 非線性動力學(xué)特性分析

4.1 非線性動力學(xué)特性分析

花鍵副齒數(shù)n=20，m=2.5 mm，壓力角為30°，利用龍格庫塔法對該動力學(xué)方程進行求解.圖7～10為系統(tǒng)平均扭矩為2 600 N·m，轉(zhuǎn)速分別為300、348、360、1 080 r/min時系統(tǒng)第2自由度的動態(tài)響應(yīng).

圖7 轉(zhuǎn)速為300 r/min時系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

圖8 轉(zhuǎn)速為348 r/min時系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

圖9 轉(zhuǎn)速為360 r/min時系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

圖10 轉(zhuǎn)速為1 080 r/min時系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)

可以看出，當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為300 r/min時，系統(tǒng)呈簡諧響應(yīng);當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為348 r/min時，系統(tǒng)呈兩周期響應(yīng)，傅里葉頻譜圖上分布著兩個離散的譜線;當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為360 r/min時，系統(tǒng)呈5周期響應(yīng)，其Poincare截面上有5個離散的點;當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為1 080 r/min時，系統(tǒng)進入混沌響應(yīng).

4.2 花鍵副動載特性分析

花鍵副系統(tǒng)所受平均載荷Fm=Tm/r2、動態(tài)載荷為

則花鍵副動載系數(shù)為kv=Fd/Fm．分別改變系統(tǒng)所受扭矩的平均值及給定四組不同齒側(cè)間隙b1、b2、b3、b4，且每組對應(yīng)的均值σb1＜σb2＜σb3＜σb4，花鍵副動載系數(shù)求解結(jié)果如圖11、12所示．

圖11 扭矩對動載系數(shù)的影響

圖12 齒側(cè)間隙對動載系數(shù)的影響

由圖11、12可看出，系統(tǒng)的動載系數(shù)也呈周期性變化，其值隨扭矩的增大而增大，隨齒側(cè)間隙的增大而增大.

5 結(jié) 論

1)花鍵副嚙合剛度隨時間變化呈周期變化，在本文算例中其平均嚙合剛度為245 MN/m，頻率和扭矩相同;綜合時變嚙合剛度隨扭矩呈分段線性分布.

2)當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為300 r/min時，系統(tǒng)呈簡諧響應(yīng);當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為348 r/min時，系統(tǒng)呈兩周期響應(yīng)，傅里葉頻譜圖上分布著兩個離散的譜線;當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為360 r/min時，系統(tǒng)呈5周期響應(yīng)，其龐加萊截面上有5個離散的點;當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速為1 080 r/min時，系統(tǒng)進入混沌響應(yīng).

3)花鍵副的動載系數(shù)也呈周期性變化，且隨扭矩和齒側(cè)間隙的增大而增大.因此，通過控制花鍵加工精度及嚙合精度等措施，減小齒側(cè)間隙，能有效提高花鍵副工作的穩(wěn)定性.

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