孫立山，楊 爽，劉洪臣

(哈爾濱工業(yè)大學電氣工程及自動化學院，150001哈爾濱)

DC-DC變換器屬于強非線性系統(tǒng)，當電路參數(shù)發(fā)生變化時，系統(tǒng)將產生分岔現(xiàn)象并最終進入混沌狀態(tài)，從而導致系統(tǒng)的運行狀態(tài)無法預測，甚至造成系統(tǒng)故障.因此，深入研究DC-DC變換器的非線性行為，分析電路參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，對于開關變換器系統(tǒng)的設計具有十分重要的理論意義和應用價值.

開關電感結構是近年來提出的一種新型拓撲，具有升壓模式和降壓模式兩種結構，可以分別嵌入到傳統(tǒng)DC-DC變換器中，以提高系統(tǒng)的升壓或降壓能力［1-2］，因而得到國內外學者的廣泛關注.

目前，國內外學者對傳統(tǒng)DC-DC變換器中非線性行為的研究已經(jīng)比較深入［3-15］，人們利用數(shù)值模擬和非線性動力學理論等方法，深入分析了系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象.以Buck-Boost變換器為例:文獻［13-15］證實了傳統(tǒng)Buck-Boost變換器中存在邊界碰撞分岔、倍周期分岔和陣發(fā)混沌等多種復雜的非線性動力學行為.然而，上述成果的研究對象均為傳統(tǒng)Buck-Boost變換器，而對基于開關電感結構的Buck-Boost變換器(下面簡稱開關電感Buck-Boost變換器)中非線性行為的研究結果卻未見報道.并且目前對于DC-DC變換器中非線性現(xiàn)象的研究主要集中于連續(xù)電流模式(CCM)，對斷續(xù)電流模式(DCM)的情況則研究較少.實際上，對DCM模式下系統(tǒng)的非線性動力學行為進行研究具有更為廣泛的意義.

因此，本文首次以開關電感Buck-Boost變換器為研究對象，深入分析了系統(tǒng)在DCM模式下的分岔和混沌現(xiàn)象.首先，從狀態(tài)方程出發(fā)，建立了DCM模式下系統(tǒng)的離散時間映射模型，并基于此模型，繪制了不同參數(shù)范圍內系統(tǒng)的分岔圖，分析了電路參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響;然后，采用Runge-Kutta算法直接對狀態(tài)方程進行求解，得到了系統(tǒng)的龐加萊截面，更加直觀地反映了系統(tǒng)的運行狀態(tài);接下來，根據(jù)系統(tǒng)不動點鄰域內Jacobian矩陣特征值的變化趨勢確定系統(tǒng)首次分岔點的位置;最后，應用PSIM軟件搭建符合實際運行條件的仿真模型，通過時域波形圖和相軌圖觀察變換器豐富的動力學演化過程，驗證了離散時間模型的正確性.

1 變換器的工作原理與建模

1.1 工作原理與狀態(tài)方程的求解

開關電感Buck-Boost變換器是運用開關電感結構代替?zhèn)鹘y(tǒng)Buck-Boost變換器中原有的儲能電感而形成的，電流模式控制下系統(tǒng)的電路原理圖如圖1所示.由圖1可知，該系統(tǒng)是由兩個電感和一個電容組成的三階電路.電路的工作原理如下:將電感L1的電流iL1與參考電流Ⅰref比較的結果作為RS觸發(fā)器R端的輸入，時鐘信號通過觸發(fā)器的S端輸入，觸發(fā)器的Q端控制開關管S的通斷.當變換器工作于DCM模式時，電路有以下3種模態(tài)，如圖2所示.

圖1 電流模式控制下的開關電感Buck-Boost變換器

圖2 DCM運行時的模態(tài)

模態(tài)1.開關管S導通，二極管D0、D12截止，D1、D2導通，電感L1、L2并聯(lián)充電，電容C向負載提供能量，其等效電路如圖2(a)所示，此時有

模態(tài)2.開關管S截止，二極管D0、D12導通，D1、D2截止，電感L1、L2串聯(lián)為電容C充電，并向負載提供能量，其等效電路如圖2(b)所示，此時有

模態(tài) 3.開關管S、二極管D0、D1、D2、D12均截止，只有電容C向負載提供能量，其等效電路如圖2(c)所示，此時有

為便于分析，本文取L1=L2，則在上述3種模態(tài)中，可近似認為iL1=iL2，系統(tǒng)可簡化為二階模型，以電感電流iL1和電容電壓uC為分析對象，則對于模態(tài)1，有

設電感電流iL1和電容電壓uC的初值分別為iL1，n和uC，n，則上述方程的時域解為

設變換器工作于模態(tài)1的時間為t1，則由式(5)得

同理，模態(tài)2的微分方程可以簡化為

由式(5)可以解得

設變換器工作于模態(tài) 2的時間為t2，則iL1，2(t2)=0，由(8)式可得

當變換器工作于模態(tài)3時，簡化的微分方程為

狀態(tài)方程(10)的解可表示為

其中:uC，2(t2)=e-αt2(uC，1(t1)cos ωt2+k2sin ωt2)．

1.2 離散時間映射模型

本文采用頻閃映射的方法，設數(shù)據(jù)采樣周期為T，則在相鄰的采樣時刻內，DCM模式下的開關電感Buck-Boost變換器有以下3種運行軌道.

當t1≥T時，在1個采樣周期內，變換器只工作于模態(tài)1，則在第n個采樣周期結束時，簡化的微分方程對應的離散映射模型為

當t1＜T，但t1+t2≥T時，在1個采樣周期內，變換器工作于模態(tài)1和模態(tài)2，則在第n個采樣周期結束時，簡化的微分方程對應的離散映射模型為

當t1＜T，且t1+t2＜T時，在1個采樣周期內，變換器工作于3種工作模態(tài)，則在第n個采樣周期結束時，簡化的微分方程對應的離散映射模型為

式(12)～(14)即為DCM模式下，開關電感Buck-Boost變換器的離散時間映射模型.

2 變換器的動力學行為分析

2.1 分岔圖

在動力學系統(tǒng)中，當系統(tǒng)參數(shù)的變化超過某臨界值時，系統(tǒng)的定性形態(tài)會突然發(fā)生變化，這種現(xiàn)象叫做分岔，臨界值即為分岔點.通過分岔圖可以清楚地知道系統(tǒng)在不同參數(shù)下的穩(wěn)定性，因此，分岔理論是研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的有力工具.

在繪制分岔圖前，首先給出電感電流邊界的定義.當開關電感Buck-Boost變換器工作于DCM模式時，在狀態(tài)空間中存在兩個電流邊界，設第1個電流邊界為Ⅰb1，它滿足如下關系:以Ⅰb1為電流初值，經(jīng)1個開關周期T后電感電流iL1恰好到達參考電流Ⅰref;設第2個電流邊界為Ⅰb2，它滿足:以Ⅰb2為電流初值，經(jīng)1個開關周期T后電感電流iL1恰好為0，則此階段電感電流iL1到達參考電流Ⅰref的時間為T-t2，則由式(5)可知，DCM模式下開關電感Buck-Boost變換器的兩個電感電流邊界可分別表示為

選取電路參數(shù)為C=10 μF，R=10 Ω，T=100 μs和L1=L2=0.1 mH，固定E=6 V，以參考電流Ⅰref為分岔參數(shù)，基于1.2節(jié)所導出的離散映射模型，對系統(tǒng)進行數(shù)值模擬，得到電感iL1隨參考電流變化的分岔圖，如圖3所示，其中紅色的點劃線表示第1個電感電流邊界Ⅰb1，綠色的點劃線表示第2個電感電流邊界Ⅰb2．由圖3可知，當參考電流Ⅰref達到2.5 A左右時，分岔軌線與邊界Ⅰb2發(fā)生碰撞，系統(tǒng)的工作狀態(tài)由周期1經(jīng)邊界碰撞分岔變?yōu)橹芷?，隨著參考電流的進一步增大，電感電流并非完全工作在不連續(xù)狀態(tài)，而是在某些時鐘周期內有不連續(xù)現(xiàn)象;當Ⅰref為7.5 A左右時，系統(tǒng)再次發(fā)生邊界碰撞分岔變?yōu)橹芷?，而后激變進入混沌狀態(tài)．然而，這個混沌狀態(tài)并沒有被保持，當Ⅰref＞9.5 A時，混沌態(tài)和周期態(tài)交替出現(xiàn)，系統(tǒng)發(fā)生了DCM陣發(fā)混沌，陣發(fā)混沌前的分岔為切分岔.

圖3 Ⅰref為參數(shù)的分岔

固定Ⅰref=2 A，其他電路參數(shù)與前者相同，以輸入電壓E為分岔參數(shù)，通過數(shù)值模擬得到的分岔圖如圖4所示．由圖4可知，隨著輸入電壓E的減小，系統(tǒng)的工作狀態(tài)也是由周期1經(jīng)邊界碰撞分岔變?yōu)橹芷?，再到周期4，然后進入DCM陣發(fā)混沌區(qū)，并存在明顯的周期窗口.可見，其通往混沌的道路與參考電流變化時相同，但參數(shù)變化的方向相反.

值得注意的是，邊界碰撞分岔雖然也能引發(fā)倍周期現(xiàn)象，但與倍周期分岔有本質的區(qū)別.發(fā)生倍周期分岔時，分岔點附近的倍周期軌道與分岔發(fā)生之前的周期軌道是近似垂直的;而在邊界碰撞分岔中，二者并不垂直.并且由圖3和圖4還可以看出，當變換器工作于DCM模式時，引發(fā)系統(tǒng)不穩(wěn)定的因素主要是電流邊界Ⅰb2，當系統(tǒng)軌線與Ⅰb2發(fā)生碰撞時，隨即產生分岔現(xiàn)象，并最終進入混沌狀態(tài);然而，當系統(tǒng)軌線與Ⅰb1發(fā)生碰撞時，并未出現(xiàn)分岔，而僅僅改變了軌線的路徑，故Ⅰb1對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響相對較?。?/p>

圖4 E為參數(shù)的分岔

2.2 龐加萊截面

在相空間中選取1個既不與軌線相切，又不包含軌線的截面，即龐加萊截面，軌線與龐加萊截面的交點稱為截點.由非線性動力學理論可知，通過觀察截點的情況便可以判斷是否發(fā)生混沌:當截面上只有1個點或少數(shù)離散點時，運動是周期的，點的個數(shù)代表狀態(tài)的周期數(shù);當截點形成1條閉合的曲線時，運動是準周期的;當截點連成片或具有分形結構時，系統(tǒng)便處于混沌狀態(tài).

為證明隨著參考電流Ⅰref的增大，變換器確實存在圖3分岔圖所體現(xiàn)的豐富的非線性行為，本節(jié)從不同工作模態(tài)下的狀態(tài)方程出發(fā)，采用Runge-Kutta算法直接對每個開關周期內的微分方程進行求解，得到開關電感Buck-Boost變換器在典型參考電流值下的龐加萊截面，其結果如圖5所示.

圖5 不同參考電流下的龐加萊截面

由圖5(a)～5(c)可以清楚的知道，當參考電流分別為1、5、8 A時，龐加萊截面上的點是離散的，根據(jù)點的個數(shù)可知，變換器先后工作于周期1、周期2和周期4;圖5(d)和5(f)中的截點在某些區(qū)域已經(jīng)連成片，說明當參考電流為9.5、15 A時，變換器工作于混沌狀態(tài);圖5(e)體現(xiàn)了當參考電流為11 A時，即在陣發(fā)混沌中，存在明顯的周期3窗口.上述結果與圖3所示分岔圖中各點呈現(xiàn)的狀態(tài)一致，驗證了離散映射模型的正確性，并且更加直觀地反映了參考電流取不同值時變換器所處的工作狀態(tài).

3 基于離散時間模型的穩(wěn)定性分析

3.1 不動點及Jacobian矩陣

令xn+1=xn=x*可求出系統(tǒng)的不動點x*，開關電感Buck-Boost變換器基于簡化狀態(tài)方程的離散時間模型在不動點鄰域內的Jacobian矩陣可表示為

式(16)的特征方程為

根據(jù)1.2節(jié)可知，在相鄰的采樣時刻nT和(n+1)T內，DCM模式下的開關電感Buck-Boost變換器有3種運行軌道，可分別對其穩(wěn)定性進行分析.

當t1≥T時，式(12)所表示的離散系統(tǒng)不存在不動點，其Jacobian矩陣的元素分別為

其特征多項式為

解得 λ1=1，λ2=e-2αT，此時離散系統(tǒng)Jacobian矩陣的特征值有兩個正實根，并且其中一個為1.

當t1＜T，但t1+t2≥T時，將xn+1=xn=x*代入式(13)，可求得系統(tǒng)的不動點，且由式(13)可求得其Jacobian矩陣的元素分別為

其特征多項式為

解得

此時離散系統(tǒng)的Jacobian矩陣有兩個非零特征根.

當t1＜T，且t1+t2＜T時，式(14)所表示的離散系統(tǒng)僅存在1個不動點，由式(14)求得其Jacobian矩陣的元素分別為

其中:

其特征多項式為

解得 λ1=J22，λ2=0，此時離散系統(tǒng)的Jacobian矩陣總有1個零特征根和1個非零特征根.

3.2 Jacobian矩陣的特征乘子

根據(jù)以上分析，本節(jié)計算了發(fā)生分岔前后離散映射模型在不動點鄰域內的Jacobian矩陣的特征值.表1、2分別給出了不同參考電流和不同輸入電壓下系統(tǒng)Jacobian矩陣特征值的變化情況.由表1可知，參考電流在(2.44 A，2.505 A)時，隨著參考電流的增大，周期1軌道的特征值由(-0.022 6，0)躍變?yōu)?-1.003 8，0.173 0).由表2可知，輸入電壓在(4.8 V，4.95 V)時，隨著輸入電壓的減小，周期1軌道的特征值由(-0.026 6，0)躍變?yōu)?-1.000 1，0.172 5).由此可知，系統(tǒng)發(fā)生了邊界碰撞分岔，且首次分岔的位置分別在Ⅰref=2.505 A和E=4.8 V處，這與圖3、4所示的分岔圖結果相一致.

表1 不同參考電流下系統(tǒng)Jacobian矩陣的特征值

表2 不同輸入電壓下系統(tǒng)Jacobian矩陣的特征值

4 PSIM驗證

PSIM軟件是一款針對電力電子和電機控制的仿真軟件［13］，因仿真速度快、操作簡單而得到了廣泛的應用.為進一步驗證離散模型的正確性，本章根據(jù)圖1所示原理圖，在PSIM軟件中搭建了系統(tǒng)的仿真模型.選取參考電流Ⅰref為變量，其他電路參數(shù)與繪制圖3所示分岔圖時所選取的參數(shù)一致，典型參考電流值下的仿真結果如圖6～9所示.

由圖6～8可知，當參考電流分別為1、5、8 A時，變換器分別工作于周期1、周期2和周期4，時域波形表現(xiàn)為相應的周期性，相軌圖則由有限個數(shù)的封閉曲線組成，且由iL1的時域波形圖可以看出，在上述電路參數(shù)下，變換器確實工作于DCM模式.圖9給出了參考電流為9.5 A時的時域波形圖和相軌圖，此時變換器工作于混沌狀態(tài)，時域波形因失去周期性而顯得雜亂無章，各個開關周期下的幅值跳躍較大，表明混沌狀態(tài)是不穩(wěn)定的，有害的;相軌圖則由一定區(qū)域內隨機分布的軌線組成.由仿真結果不難看出，通過PSIM仿真平臺得到的時域波形圖和相軌圖所觀察到的現(xiàn)象與基于離散映射模型繪制的分岔圖所描述的運行狀態(tài)完全一致的，證實了離散模型的正確性.

圖6 Ⅰref＝1 A時iL1的時域波形圖和相軌圖

圖7 Ⅰref＝5 A時iL1的時域波形圖和相軌圖

圖8 Ⅰref＝8 A時iL的時域波形圖和相軌圖

圖9 Ⅰref＝9.5 A時iL1的時域波形圖和相軌圖

5 結 論

1)基于開關電感結構的Buck-Boost變換器雖然在一定程度上提高了傳統(tǒng)Buck-Boost變換器的升/降壓能力，但卻增加了電路的階數(shù)，使變換器的運行狀態(tài)更容易受到電路參數(shù)變化的影響.

2)研究了此新型拓撲結構的變換器在DCM模式下的非線性行為，在分析電路工作原理的基礎上，建立了系統(tǒng)的離散映射模型，并基于此模型繪制了不同參數(shù)變化下的分岔圖，發(fā)現(xiàn)隨著電路參數(shù)的變化，系統(tǒng)經(jīng)邊界碰撞分岔最終進入DCM陣發(fā)混沌狀態(tài).然后通過龐加萊截面更加直觀地反映了不同電路參數(shù)下系統(tǒng)的周期態(tài)與混沌態(tài)，并采用Jacobian矩陣特征乘子的方法確定了首次分岔點的位置和分岔的類型.最后，在PSIM平臺下搭建了符合實際運行條件的仿真模型，通過時域圖和相軌圖觀察變換器在不同參數(shù)變化下豐富的動力學演化過程，進一步證明了離散映射模型的正確性.

3)由分岔圖得出當開關電感Buck-Boost變換器工作于DCM模式下時，其工作狀態(tài)主要受電流邊界Ⅰb2的影響，電流邊界Ⅰb1對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響相對較小．

4)基于開關電感結構的Buck-Boost變換器屬于強非線性系統(tǒng)，在設計過程中應選取合適的參數(shù)，以確保電路運行在穩(wěn)定狀態(tài).

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