吳德會，李 钷

（廈門大學(xué) 機(jī)電工程系，福建 廈門 361005）

0 引言

模型預(yù)測控制 MPC（Model Predictive Control）是一種基于模型的優(yōu)化閉環(huán)控制算法，也是當(dāng)前得到廣泛關(guān)注的一種新型預(yù)測控制策略[1]。它用滾動的有限時段優(yōu)化取代一成不變的全局優(yōu)化，更能適應(yīng)實(shí)際過程，具有更強(qiáng)的魯棒性[2]。目前，在電力電子領(lǐng)域MPC大部分應(yīng)用于針對預(yù)測電流的控制，屬于線性控制方法的范疇[3]。它通過預(yù)測下一個開關(guān)周期開始時刻的參考電流，與當(dāng)前輸出電流比較計算出開關(guān)管的占空比，使輸出電流在下一個周期開始時刻等于給定的參考電流。預(yù)測電流控制方式可在數(shù)字信號處理器上實(shí)現(xiàn)，具有較小的電流畸變和諧波分量以及較高的控制精度[4]。

而在有源電力濾波器、逆變器和電機(jī)驅(qū)動器系統(tǒng)中，由于往往僅存在有限數(shù)量的開關(guān)狀態(tài)，由此MPC的尋優(yōu)問題可得以簡化，即僅需考慮可能開關(guān)狀態(tài)下的系統(tǒng)預(yù)測問題[5]。因此，近幾年在上述領(lǐng)域，一種新的有限集模型預(yù)測控制FCS-MPC（Finite Control Set-Model Predictive Control）策略得到了有效發(fā)展[6]。目前，F(xiàn)CS-MPC基本上應(yīng)用于以電流為控制對象的有源電力濾波器[7]、并網(wǎng)逆變器[8]、變頻驅(qū)動器[9]、整流器[10]等，而針對電壓對象進(jìn)行預(yù)測跟蹤控制的應(yīng)用研究尚較少，這主要是因為被跟蹤的電壓對象往往為連續(xù)變化量，而逆變器輸出卻只能是脈寬調(diào)制PWM（Pulse Width Modulation）的開關(guān)量，因此用開關(guān)量跟蹤連續(xù)變化量存在較大的難度。

本文將FCS-MPC引入電壓跟蹤的PWM領(lǐng)域，直接以連續(xù)的期望控制電壓為控制目標(biāo)，以控制誤差為評價函數(shù)，實(shí)現(xiàn)用PWM調(diào)制波對連續(xù)變化的電壓實(shí)施跟蹤控制，這是FCS-MPC策略在跟蹤調(diào)制領(lǐng)域的新應(yīng)用[11]。該技術(shù)另一個突出的特點(diǎn)是調(diào)制過程中并沒有使用常規(guī)策略中的基本電壓矢量作為控制量，而是直接將開關(guān)器件上、下橋臂的開關(guān)時間作為新的控制量。而且，在構(gòu)造預(yù)測模型時，使用全局控制誤差代替局部誤差，使得整個電壓跟蹤過程的誤差始終被約束在有限的范圍內(nèi)。實(shí)驗結(jié)果證明，利用新方法的跟蹤調(diào)制輸出具有更少的低次諧波，并可以實(shí)現(xiàn)最大的線性調(diào)制度。

1 新電壓跟蹤預(yù)測控制模型建立與實(shí)現(xiàn)

1.1 以開關(guān)時間作為控制量

經(jīng)典的空間矢量脈寬調(diào)制SVPWM（Space Vector PWM）方法中，構(gòu)造了8個基本電壓矢量U0～U7來合成期望電壓矢量Uref[12]。而現(xiàn)有的FCS-MPC策略中，也均是以基本電壓矢量U0～U7作為控制量進(jìn)行實(shí)施?；倦妷菏噶縐0～U7的個數(shù)有限，符合有限集的特性[13]。

圖1 橋臂電壓矢量空間及與作用時間的關(guān)系Fig.1 Relationship between bridge-arm voltage vector space and acting time

本文并不考慮8個基本電壓矢量 U0～U7，而直接以三相橋臂的開關(guān)時間T作為控制量，這是一種新的控制角度。不妨定義a、b、c 三相橋臂各自獨(dú)立輸出的電壓矢量分別為Ua、Ub和 Uc。顯然，橋臂電壓矢量 Ua、Ub和 Uc為恒定量，其值不可變，且互成2π／3 夾角；Ua、Ub和 Uc的空間關(guān)系如圖1所示[14]。 在實(shí)際應(yīng)用中，可通過改變橋臂電壓矢量Ua、Ub和Uc的作用時間Ta、Tb和Tc來達(dá)到輸出控制電壓U的目的[15]。

作用時間Ta、Tb和Tc有比較明確的物理含義，就是對應(yīng)三相橋臂中上橋臂功率器件的開關(guān)時間。因此，根據(jù)伏秒平衡關(guān)系，U可由下式原理進(jìn)行控制輸出：

其中，Ubase=[UaUbUc]T為定量；T=[TaTbTc]為開關(guān)時間。

由此看來，不使用基本電壓矢量Ui，而改以開關(guān)時間T為控制量實(shí)現(xiàn)電壓U的控制輸出是完全可行的。T的取值范圍為連續(xù)空間，因此，可通過改變T來實(shí)施連續(xù)控制，即變采樣時間的MPC，對此控制問題將另文討論。

若從FCS-MPC策略的角度，式（1）的模型存在2個問題：首先，輸出控制電壓U是2維的，而存在Ta、Tb和 Tc3個待定量，因此式（1）對控制量 T的解不唯一；其次，控制量T的解并非有限集。為此，對三相橋臂的開關(guān)時間T增加約束條件，使其取值結(jié)果唯一，并且使其取值范圍滿足有限控制集條件。其具體約束如下：

其中，Ts為最小時間分辨率。

根據(jù)式（2）所示約束條件，控制量 T=[TaTbTc]有效結(jié)果僅有 7 個，即[0，0，0]、[0，0，Ts]、[0，Ts，0]、[0，Ts，Ts]、[Ts，0，0]、[Ts，0，Ts]和[Ts，Ts，0]。 將上述結(jié)果分別記為 Ti（i=0，1，…，6），該控制量 T 明顯屬于“有限集”。

在實(shí)際控制系統(tǒng)中，輸出控制電壓U是離散的，即可記為 U（n），其中n為時刻。 則式（1）中的模型可表述為如下離散的受約束模型（電壓跟蹤模型）：

其中，T（n）表示控制量T在n時刻的取值。

1.2 新控制量下的FCS-MPC思路

前文已建立式（3）所示的以逆變器功率器件開關(guān)時間T作為控制量的全新模型。結(jié)合目前普遍FCS-MPC策略原理[16]，針對新的控制量T，可產(chǎn)生如下控制系統(tǒng)思路。

實(shí)際新模型下的FCS-MPC可理解為如何選擇一個適當(dāng)?shù)臅r域控制量T（n），使得系統(tǒng)實(shí)際輸出控制電壓（采集值）U（n）盡可能地逼近期望控制電壓Uref（n）。 由于時域控制量 T 的集合（控制集）｛Ti｝6i=0是有限的，因此新系統(tǒng)可以根據(jù)預(yù)測函數(shù)f得到第n+1 時刻 7 個可能的預(yù)測值1，…，6）。

此時需要再構(gòu)造一個價值函數(shù)gi=g｛Uref（n+1），。 顯然，不同的預(yù)測值對應(yīng)不同的價值gi，而最小價值對應(yīng)的控制量Ti將被選作第n+1時刻的最優(yōu)解。本文中仍使用典型的價值函數(shù)[13]，即期望控制電壓Uref與預(yù)測值的二次范式距離，則有如下優(yōu)化目標(biāo)：

圖2中給出了上述FCS-MPC過程思路在一個α-β二維系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)的示例[13]。

圖2 二維FCS-MPC過程示意Fig.2 Schematic diagram of 2-dimentional FCS-MPC

1.3 2種電壓跟蹤預(yù)測模型及對應(yīng)價值函數(shù)

式（3）已給出了通過控制量T（n）計算輸出控制電壓U（n）的電壓跟蹤模型，因此可直接通過該模型對未來第n+1時刻的進(jìn)行預(yù)測，則可建立電壓跟蹤預(yù)測模型為：

其中，i=0，1，…，6。

同理，可由式（4）所示的優(yōu)化目標(biāo)建立對應(yīng)的價值函數(shù)：

其中，i=0，1，…，6；ΔE（n）為新引入的直接跟蹤誤差。

式（6）的物理含義很清楚：即在有限集條件下，通過直接合成關(guān)系來預(yù)測第n+1時刻電壓i（n+1），并使預(yù)測值i（n+1）盡可能地逼近期望控制電壓Uref（n+1），即使得對應(yīng)的直接跟蹤誤差 ΔEi（n+1）幅值最小。本文將式（5）建立的預(yù)測模型及對應(yīng)的價值函數(shù)稱為直接跟蹤預(yù)測控制。

直接跟蹤預(yù)測控制的優(yōu)點(diǎn)是預(yù)測模型比較直觀，物理含義清晰。但在有限控制集｛Ti｝6i=0條件下，直接跟蹤誤差ΔE（n）客觀存在且隨機(jī)分布。因此，即使任意時刻的實(shí)際輸出電壓U（n）都盡可能地逼近期望控制電壓 Uref（n），但 ΔE（n）的分布仍無法得到有效約束，勢必形成ΔE（n）的積累，最終使系統(tǒng)背離控制目標(biāo)。

顯然，新的有限集控制量T提出后，式（1）所示的控制輸出關(guān)系不再精確成立。因此，針對新的控制量T，并不能實(shí)施簡單的直接跟蹤預(yù)測控制。如何構(gòu)造新的、有效的跟蹤預(yù)測模型及對應(yīng)的價值函數(shù)，才是實(shí)現(xiàn)本文新思路的關(guān)鍵。

為解決上述問題，本文定義一個新的評價角度，即全局控制誤差。對式（3）等號兩邊從第1～n時刻進(jìn)行累加，則有如下關(guān)系：

同理可得：

則式（7）等號兩側(cè)與式（8）相減并整理，可得：

其中，Uout=TUbase／Ts為逆變器實(shí)際輸出電壓矢量；函數(shù)O｛·｝表示輸出電壓矢量的物理采樣值。

再將式（11）代入式（10）并整理，可得如下迭代關(guān)系：

為區(qū)分直接跟蹤預(yù)測模型，本文將式（12）建立的預(yù)測模型及對應(yīng)的價值函數(shù)稱為全局跟蹤預(yù)測控制。

1.4 全局跟蹤預(yù)測控制下調(diào)制過程的具體實(shí)現(xiàn)

根據(jù)上述分析和建模，針對新控制量T的全局跟蹤預(yù)測控制，可通過圖3所示方案具體實(shí)現(xiàn)。

圖3 新模型的具體實(shí)現(xiàn)方案Fig.3 Implementation scheme of new model

從圖3中也可以看出，該方案的技術(shù)本質(zhì)是對期望控制電壓Uref實(shí)施以控制量T為對象的FCSMPC。若Uref滿足連續(xù)的基準(zhǔn)矢量電壓圓分布，即圖3中所示的期望控制電壓生成器滿足：

其中，Ur為輸出相電壓的有效值；ω為角頻率。新模型跟蹤輸出的結(jié)果實(shí)際為一種新的PWM調(diào)制波。因此，本文方案亦可理解為一種PWM調(diào)制新方法，該方法中采用的控制流程圖如圖4所示（圖中虛線表示數(shù)據(jù)流）。

圖4 基于FCS-MPC策略的跟蹤調(diào)制流程Fig.4 Flowchart of tracking modulation based on FCS-MPC

2 新方法的性能分析

2.1 全局控制（調(diào)制）誤差及其范圍

由式（13）可知，本文中所設(shè)定的FCS-MPC價值函數(shù)gi實(shí)際為全局控制誤差E（n）的二次范數(shù)，即有：

則由式（9）可給出控制誤差E（n）的顯式表達(dá)：

3個橋臂電壓矢量Ua、Ub和Uc“撐”起的空間關(guān)系如圖5所示。

圖5 控制誤差與橋臂電壓矢量的空間關(guān)系示意Fig.5 Schematic diagram of spacial relationship between control error and bridge-arm voltage vector

在圖5中，6個時域控制量 Ti（i=1，2，…，6）對應(yīng)的輸出控制矢量為正六邊形的頂點(diǎn)，T0Ubase為中心，則不妨記該正六邊形的外接圓半徑為R。由式（14）可知，對于六邊形范圍內(nèi)的任意參考電壓矢量ref，離其二次范式距離最近的六邊形頂點(diǎn)或中心將被選擇作為FCS-MPC的控制量。因此，時域控制量Ti的作用范圍為圖5所示的六邊形“蜂巢”狀分布，不妨記該六邊形“蜂巢”的外接圓半徑為r。如圖5中所示，ref處于控制量T2的六邊形“蜂巢”中，即控制量T2具有最小的代價函數(shù)，對應(yīng)的控制誤差為 E（n）。

通過Clark變換，可得外接圓半徑R的表達(dá)式：

其中，Ud為逆變器直流側(cè)母線電壓。

對于確定的逆變系統(tǒng)而言，Emax為恒量。因此新方法的全局控制誤差E存在恒定的上、下限閾值±Emax，即其跟蹤控制（調(diào)制）過程的誤差能始終被約束在有限范圍內(nèi)而不發(fā)散。

2.2 調(diào)制波的電壓利用率

為便于分析，假設(shè)當(dāng)前時刻連續(xù)的期望控制電壓即跟蹤目標(biāo) Uref（n）的相角在[0，π／3）范圍內(nèi)，如圖6所示，對于其他范圍相角的分析類似。

圖6 針對控制量T的控制誤差示意Fig.6 Schematic diagram of control error for control variable T

對Uref（n）進(jìn)行空間分解，記其在Ua和Ub方向上的投影坐標(biāo)分別為ta和tb，則有：

由于 Uref（n）相角在[0，π ／3）范圍內(nèi)，即有 ta＞tb，因此在FCS-MPC策略中主要實(shí)施時域控制量T0、T1和T2。若選用控制量T1來實(shí)施控制，則直接跟蹤誤差為：

而選用控制量T2實(shí)施控制，則直接跟蹤誤差為：

顯然，若在T1、T22個控制方向的誤差之和為負(fù)，則可進(jìn)一步實(shí)施控制量T0來消除；反之，勢必會造成誤差的累加，不再滿足式（18）所示的誤差上限Emax。因此線性跟蹤過程需滿足如下關(guān)系：

再將上式代入式（19），可得期望控制電壓Uref的幅度約束：

式（23）右側(cè)存在極大值，即有：

由上式可以看出，利用FCS-MPC策略實(shí)現(xiàn)PWM的最大電壓幅值為，即如圖6中所示的內(nèi)切圓范圍。根據(jù)電壓幅度調(diào)制度m的定義[17]，有下式成立：

因此，新方法進(jìn)行電壓跟蹤的線性幅度調(diào)制度可達(dá)到1，與SVPWM方法理論電壓利用率相同，比SPWM提高15.47%。

3 仿真與實(shí)驗

3.1 仿真

為驗證所提新方法的可行性，在Simulink環(huán)境下編寫新電壓跟蹤方法的實(shí)現(xiàn)模塊，并與現(xiàn)有的SVPWM方法進(jìn)行對比[18]。仿真時，設(shè)置二電平電壓源逆變器（2L-VSI）母線電壓Ud為540 V。

在本實(shí)驗中，SVPWM方法采用七段式編碼，即每個調(diào)制周期TSVPWM內(nèi)固定開關(guān)7次，因此實(shí)驗中SVPWM方法的調(diào)制載波頻率設(shè)置較低，為1 kHz。采用SVPWM方法調(diào)制的輸出為標(biāo)準(zhǔn)三相工頻電壓（380 V ／50 Hz），其線電壓 Uab波形如圖7（a）所示。

而基于全局跟蹤預(yù)測模型的FCS-MPC，存在最小時間分辨率Ts，因此其載波頻率可以設(shè)置得較高，在本實(shí)驗中設(shè)為10 kHz，即Ts=100 μs。新方法跟蹤的電壓對象為三相380 V／50 Hz正弦電壓，其跟蹤結(jié)果中線電壓Uab波形如圖7（b）所示。

從圖7中可以看出，2種方法輸出的線電壓波形整體輪廓相似，客觀驗證了新方法通過實(shí)施對連續(xù)電壓目標(biāo)跟蹤的FCS-MPC策略來實(shí)現(xiàn)調(diào)制的可行性。但從微觀細(xì)節(jié)上看，2種方法也存在一定的差別。SVPWM方法調(diào)制的脈寬并沒有約束，可以連續(xù)變化，但在時間軸上開關(guān)比較頻繁。而新方法跟蹤輸出的脈寬為最小時間分辨率Ts的整數(shù)倍，因此可形成長脈寬，特別是在峰值調(diào)制時幾乎不進(jìn)行開關(guān)切換。

圖7 2種方法輸出的線電壓波形Fig.7 Waveform of line voltage output for two methods

從直觀上看，新方法是通過全局預(yù)測模型實(shí)施電壓跟蹤，其價值函數(shù)亦是建立在全局電壓跟蹤誤差最小化基礎(chǔ)上。因此，該方法并非在一個固定的調(diào)制周期（局部）內(nèi)調(diào)整占空比，而是從整個輸出電壓時間軸（全局）的宏觀范圍來實(shí)施占空比調(diào)整，且調(diào)整結(jié)果為Ts的整數(shù)倍。

再分別對圖7中所示2種PWM波形進(jìn)行頻譜分析，分析其在 0～1 kHz低頻段的諧波特性。SVPWM方法調(diào)制波10次諧波（500 Hz以內(nèi)）的總諧波畸變率THD（Total Harmonic Distortion）為9.13%，而新方法跟蹤結(jié)果的THD僅為1.35%。客觀而言，新方法10次諧波以內(nèi)的雜波成分非常小，該特性相對于現(xiàn)有調(diào)制方法，更有利于進(jìn)行后續(xù)的低通濾波處理。

3.2 實(shí)驗

筆者基于2812 DSP開發(fā)平臺搭建了一臺4.0 kW電壓跟蹤逆變系統(tǒng)樣機(jī)開展物理試驗，以驗證新方法利用連續(xù)電壓跟蹤實(shí)現(xiàn)調(diào)制的有效性?；贔CS-MPC策略的跟蹤模塊編程后嵌入DSP芯片內(nèi)部存儲器，驅(qū)動模塊采用2電平三相逆變橋式拓?fù)?，三相橋選用獨(dú)立功率控制器件IKW40T120自行搭建，并通過高速光耦隔離后驅(qū)動三相IGBT管的控制芯片。

物理試驗時選用三相異步電機(jī)作為實(shí)際負(fù)載，并用4路數(shù)字示波器TPS2014對逆變系統(tǒng)工作狀態(tài)及其輸出電壓進(jìn)行觀測。具體實(shí)驗參數(shù)如下：逆變系統(tǒng)中，直流母線電壓542 V，輸出頻率50 Hz，載波頻率 9 kHz，調(diào)制度0.93，采樣周期 0.02 ms，采樣長度50 ms；控制電機(jī)中，額定功率4.0 kW，額定電壓400 V，額定轉(zhuǎn)速 1440 r／min，極對數(shù) 2，定子電阻0.52 Ω，定子電感135 mH。

逆變系統(tǒng)樣機(jī)的輸出為三相電壓，因此若不特別說明，本文使用示波器主要觀測a、b相之間的線電壓。將示波器第1路接系統(tǒng)的期望控制電壓Uref，第2路接系統(tǒng)實(shí)際輸出電壓Uout，2路波形采樣的瞬時值如圖8（a）中 uref、uout所示。

圖8 物理試驗中實(shí)際輸出電壓／電流波形（調(diào)制度 m=0.93）Fig.8 Experimental waveform of voltage and current（modulation index m=0.93）

從圖中可看出，系統(tǒng)的期望控制電壓即被跟蹤對象Uref為連續(xù)正弦信號，而跟蹤結(jié)果Uout卻是以Ts為最小分辨率的PWM波。雖然實(shí)驗系統(tǒng)中實(shí)測的跟蹤對象Uref和跟蹤結(jié)果Uout兩波形存在較大差異，但兩者的總體輪廓相似。

當(dāng)然，逆變系統(tǒng)的實(shí)際輸出Uout為PWM波，在對連續(xù)電壓進(jìn)行跟蹤過程中，不可避免存在較大的跟蹤誤差E。為分析跟蹤誤差的特性，再將跟蹤對象Uref和跟蹤結(jié)果Uout同時接入差分電路，并用示波器第3路觀測跟蹤誤差E的時間分布（差分電路輸出），其波形采樣的瞬時值如圖8（a）中e所示。

從實(shí)際測試結(jié)果來看，跟蹤誤差E的幅值波動較大，但其正誤差和負(fù)誤差呈周期性對稱分布。不妨將跟蹤誤差E接入由電阻、電容構(gòu)成的一階濾波電路中，去除其高頻噪聲，取其穩(wěn)定的平均信號，記作。再將接入示波器第4路端口進(jìn)行在線觀測，其波形采樣的瞬時值如圖8（a）中e所示。從該曲線可看出，新方法的跟蹤結(jié)果Uout與跟蹤對象Uref之間的誤差E是收斂的，其平均值的波動很小，幅值基本為0。因此，該測試結(jié)果有效說明了跟蹤結(jié)果Uout與Uref的伏秒特性或低頻成分相當(dāng)。

最后，將三相異步電機(jī)負(fù)載接入實(shí)驗室所構(gòu)建的電壓跟蹤逆變系統(tǒng)樣機(jī)中，電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)正常。用示波器同時觀測 a、b、c 三相定子電流 ia、ib和 ic， 其結(jié)果如圖8（b）所示。從圖中可以看出，實(shí)測的定子電流波形均呈現(xiàn)了較好的正弦特性，其開關(guān)諧波噪聲含量也較低；用示波器實(shí)際分析ia、ib和ic的THD僅為1.03%。

本文所提方法有效地實(shí)現(xiàn)利用PWM開關(guān)量對連續(xù)變化電壓的FCS-MPC跟蹤，電壓跟蹤效果良好。新方法雖然是基于2電平電壓源逆變器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行理論推導(dǎo)和物理試驗，但該原理亦可應(yīng)用于其他多電平調(diào)制的情況。

4 結(jié)論

a.直接利用功率器件的開關(guān)時間T代替常規(guī)的基本電壓矢量作為新的控制量是可行的，可通過對新控制量T施加約束，達(dá)到有限控制集的目標(biāo)。

b.利用全局控制誤差代替局部誤差，構(gòu)造了一種特殊的全局跟蹤預(yù)測模型及其價值函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，利用FCS-MPC策略實(shí)現(xiàn)了PWM波對連續(xù)變化電壓的跟蹤控制，并使電壓跟蹤過程的誤差始終被約束在有限的范圍內(nèi)。

c.若控制對象Uref滿足基準(zhǔn)矢量電壓圓分布，則新方法等效于對輸出電壓進(jìn)行PWM波調(diào)制。該方法的線性電壓幅度調(diào)制度可達(dá)到1，而調(diào)制波低頻段所含雜波成分較低，有利于進(jìn)行后續(xù)的低通濾波處理。