宋健泳

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》首次提出了“幾何直觀”這一核心概念，并指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題?！边@里的解釋并非嚴格的概念界定，但我們也可以從中把握幾個關鍵特征：其一，幾何直觀是一種描述和解決數(shù)學問題的方法，它與“直觀幾何”的區(qū)別在于，后者是指幾何學中的一個研究領域，主要研究包括認識圖形、進行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換等內(nèi)容。其二，“幾何”可以理解為研究工具，即“幾何直觀”是借助幾何圖形的形象關系來研究問題的，這就體現(xiàn)了與實物直觀（以實物為直觀工具，如小棒等）的差異。需要特別指出的是，幾何直觀研究的對象并不局限于幾何學范圍，更多的是研究數(shù)量之間的關系。其三，“直觀”是指研究問題的方式和手段，是指對事物進行的不經(jīng)過邏輯分析的直接判斷。這里包含了兩層意思：一是通過對事物的直接接觸而獲得的感性認識;二是通過直觀感知而對事物本質(zhì)的直接洞察和直接把握。有了以上認識，我們可以進一步分析“幾何直觀”的能力結構，如下圖：

其中，空間想象能力和數(shù)形轉(zhuǎn)換能力是“幾何直觀”的基礎層面?！皫缀沃庇^”以幾何圖形為研究問題的工具，這就需要對幾何圖形的特點有準確的認識，并具有較強的空間想象能力。此外，數(shù)形轉(zhuǎn)換能力也是幾何直觀的重要內(nèi)容，即在符號語言（數(shù)）與圖式語言（形）之間建立聯(lián)系，能熟練地進行互譯。讀圖分析能力和畫圖思考能力是幾何直觀的表現(xiàn)形式。前者主要體現(xiàn)了借助圖形描述數(shù)學問題，后前則是借助圖形分析和思考數(shù)學問題。因而，小學生的幾何直觀能力必然有一個發(fā)生發(fā)展的過程。筆者將其大致分為四個階段：孕育階段→過渡階段→萌發(fā)階段→生長階段，各個階段培養(yǎng)的側(cè)重點應有所不同。本文試就此問題結合教學實踐作一些探討。

一、孕育階段——關注直觀載體的逐步抽象

“幾何直觀”能力發(fā)展的孕育階段主要是指小學一、二年級時期。這個階段的學生以動作思維、形象思維為主，數(shù)學學習很大程度上依賴直觀教學。但這里的直觀教學主要借助實物、圖片、符號等直觀載體，從嚴格意義講還不能稱之為幾何直觀（以幾何圖形的形象關系為直觀載體）。因而適當進行抽象和提煉，由實物、符號直觀逐步向圖形直觀過渡是很有必要的。如人教版一下“100以內(nèi)數(shù)的認識”教學中，教材上借助回形針、小棒、第納斯木塊等實物幫助學生認識數(shù)的組成、理解計數(shù)單位（圖1）。

圖1

這是以實物為直觀載體來認識數(shù)學對象，我們可以稱之為實物直觀。從幾何直觀的角度看，這三種實物中哪一種最具價值？我們不妨做一個比較：用回形針計數(shù)，“10個回形針一小堆”“100個回形針一大堆”分別對應計數(shù)單位“十”和“百”;用小棒計數(shù)，則是“10根一小捆” “100根一大捆”;用第納斯木塊計數(shù)， 1個小木塊對應“一”，10個小方塊排成一行對應“十”，而10行拼成一片對應“百”。如果僅從促進本課時知識內(nèi)容的理解來看，三者差異并不大，但是從后續(xù)發(fā)展來看顯然第納斯木塊更有價值。因為盡管在這里小木塊只是作為實物呈現(xiàn)，但它的構建方式具備了“點—線—面”的幾何圖形特征，并為進一步認識“千”（體）積累了直觀經(jīng)驗（如圖2）。這樣的構造系列更有利于幫助學生建立計數(shù)單位與幾何模型之間的關聯(lián)，從而促進學生幾何直觀能力的發(fā)展。

圖2

二、過渡階段——關注幾何活動經(jīng)驗的積累

直觀是對事物的直接判斷，是屬于經(jīng)驗層面的。從某種意義上說，“幾何直觀”就是數(shù)學活動經(jīng)驗不斷積累所形成的數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)學基本活動經(jīng)驗主要包括兩個方面，即實踐的經(jīng)驗和思維的經(jīng)驗，兩者均有賴于學生參與數(shù)學活動，獲得切身的過程性體驗。小學階段的幾何課程以直觀幾何、實驗幾何為主，包括通過直觀感知認識各種圖形的特征，進行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換等。其中，平面圖形的認識大部分編排在三、四年級，如線段、直線、射線、角、多邊形（正方形、長方形、平行四邊形、梯形、三角形等），我們將這一階段稱之為幾何直觀能力發(fā)展的過渡階段。教學中，一方面要重視開展“看一看、做一做、拼一拼、搭一搭、折一折、畫一畫”等實踐活動，積累實踐經(jīng)驗，另一方面更要重視反思和提煉，逐步將實踐經(jīng)驗上升為思維經(jīng)驗。以“三角形的內(nèi)角和”教學為例：

一般來說，探究三角形內(nèi)角和的方法有以下幾種：

（1）度量三個內(nèi)角的度數(shù)，求和;

（2）把三個內(nèi)角撕下來再拼成一個平角（圖3）;

（3）通過折紙，把三個內(nèi)角向內(nèi)折疊拼成一個平角（圖4）;

圖3

圖4

顯然，這三種探索的方法都是基于實踐操作的，探究過程遠不如幾何推理那么嚴密（存在操作的誤差性）。但就小學階段而言，筆者認為還是應該強調(diào)動手實踐。它的價值不在于結果，而在于過程，在于實踐活動中所積累的活動經(jīng)驗和獲得的直觀體驗。在此基礎上，我們可以進一步對這三種方法的思維方式進行溝通，即想方設法將三個內(nèi)角拼起來，體現(xiàn)出“求和”的思想。這樣，實踐的經(jīng)驗上升為思維的經(jīng)驗，為初中階段的演繹幾何（圖5）奠定基礎。

圖5

三、萌發(fā)階段——關注幾何直觀意識的培養(yǎng)

一般來說進入第二學段——小學四年級，小學生的幾何直觀能力進入了萌發(fā)階段。這是因為一方面學生開始具備一定的幾何知識基礎;另一方面數(shù)學學習內(nèi)容的抽象程度逐步提升，越來越需要借助直觀形象的手段來提供支撐。由于簡潔表達的需要，這時的直觀載體逐步由實物變?yōu)閳D形，初步呈現(xiàn)出幾何直觀的特點。這個階段尤其要注重培養(yǎng)學生幾何直觀的意識，也就是說要促使學生在理解數(shù)學知識和解決數(shù)學問題時主動地與幾何圖形建立聯(lián)系。意識的培養(yǎng)取決于價值的認同。教學中教師可以積極引導，讓學生不斷體驗幾何直觀的價值和作用。

如“異分母分數(shù)加、減法”教學中，計算“+”，一般會出現(xiàn)以下情況：

（1）+=;（2）+=+=;（3）+=0.5+0.4=0.9。

在這里，理解為什么必須先通分才能相加是教學的關鍵，直指分數(shù)加、減法也是“相同計數(shù)單位累加”的數(shù)學本質(zhì)。我們可以借助“分數(shù)墻”（圖6）這一幾何模型進行解釋。

從圖中我們可以很明顯地看出，由于每一份大小不同，不同的分數(shù)單位是不能直接累加的。進一步引導學生從圖上尋找與和相等的分數(shù)（等價類分數(shù)），發(fā)現(xiàn)1個相當于5個，2個相當于4個，由于每一份的大小相同，相同的分數(shù)單位可以進行累加，得到9個。而轉(zhuǎn)化為小數(shù)進行計算，其原理是與通分一致的。

圖6

四、生長階段——關注數(shù)形之間的轉(zhuǎn)換訓練

五、六年級學生幾何直觀能力的發(fā)展進入了生長期。幾何直觀能力的發(fā)展要求學生具備較強的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。數(shù)形轉(zhuǎn)換，也就是數(shù)與形之間的互譯，即能從數(shù)（式）想到圖式，能從圖式想到數(shù)（式）。教學中一方面教師可以針對具體的教學內(nèi)容加強圖式表征的訓練，如“看圖寫數(shù)（式）”“看數(shù)（式）畫圖”等;另一方面也可以開展綜合實踐活動，培養(yǎng)學生數(shù)形轉(zhuǎn)換的能力，感悟數(shù)與形的互助性。如“正方形數(shù)”的認識：

呈現(xiàn)圖7，首先引導學生觀察并思考：這些點子圖分別表示哪些數(shù)？點子圖的排列有什么特征？通過討論和交流，揭示像這樣的數(shù)叫“正方形數(shù)”。進一步，通過圖形操作（分一分、連一連）尋找“正方形數(shù)”的數(shù)學模型，如表示為“完全平方數(shù)n2”;可以表示為從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和：1+3+5+……+n;也可以“回”形構造：例如4+3+3+2+2+1+1;甚至可以表示為兩個“三角形數(shù)”之和：1+2+3+……+n +……+3+2+1（圖8）。

圖7

圖8

像“三角形數(shù)”“正方形數(shù)”等都是比較特殊的數(shù)，具有明顯的圖形特征。運用這樣的教學素材引導學生感悟數(shù)的幾何特征，反復進行數(shù)（式）與形（構造方式）之間的轉(zhuǎn)換訓練，對于發(fā)展學生的幾何直覺、感悟數(shù)形之間的密切關聯(lián)都是很有價值的。

必須指出，就整體而言，小學生幾何直觀能力的發(fā)展是不平衡的，甚至表現(xiàn)出很大的差異性;就個體而言，其發(fā)展過程也不是直線型的。因此，很難作嚴格意義上的劃分。本文所闡述的四個不同的發(fā)展階段也是相對的，沒有一個絕對意義上的時間分割點。但是其發(fā)生發(fā)展的一般規(guī)律性還是存在的，針對不同階段的特點采取相應的培養(yǎng)策略才能事半功倍，這正是本文的用意所在。事實上，基于小學階段學生的年齡特點和教學內(nèi)容的局限，幾何直觀能力在小學階段還不能完全顯現(xiàn)（特別是直觀洞察性），但幾何基礎知識的掌握、幾何活動經(jīng)驗的積累、幾何直觀意識的培養(yǎng)必然能為幾何直觀水平的發(fā)展奠定良好的基礎。

（浙江省湖州市鳳凰小學 ? 313000）