劉玉兵

在平時的學習過程中，我們要學會有效利用課本例題，適當拓展，及時歸納、提煉和強化。本文從教材中一道一元二次方程應用的例題出發(fā)并加以拓展，供同學們參考。

原題呈現(xiàn)：蘇科版《數(shù)學》九年級上冊第28頁

問題6 如圖1-5，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1 cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2 cm/s的速度向點C移動，幾秒鐘后△DPQ的面積等于28 cm2？

【分析】設x秒后△DPQ的面積為28cm2，則AP、PB、BQ、QC的長度分別可用含x的代數(shù)式表示，從而Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面積也可用含x的代數(shù)式表示，于是可以列出方程。

解：設x秒后△DPQ的面積為28cm2，則△DAP、△PBQ、△QCD的面積分別為 、 、 ，

根據(jù)題意得

- - - =28

即

解這個方程，得

X1=2，x2=4

答：2s或4s后的△DPQ面積等于28cm

拓展一：問題條件不變，△DPQ的面積能否等于5？

解：設x秒后△DPQ的面積為25cm2，

根據(jù)題意得

- - - =25

即 x -6x+11=0 ， △<0

所以，無解。

這就是說△DPQ的面積不可能等于25.

事實上，

△DPQ的面積

=6×12- ×12x- ×2x（6-x）- ×6（12-2x）

=x -6x+36=（x-3） +27

故其最小值是27，

當然不可能取小于27的數(shù)值。

拓展二： 設運動時間為x，試說明在P、Q運動進程中，四邊形PBQD的面積是一個定值

【分析】可以將四邊形PBQD的面積用含有x的式子表示出來，化簡后若式子中不含有字母x，則說明在p、Q運動過程中四邊形PBQD的面積保持不變，是一個定值

解： 由A P=x，所以QB=2x，CQ=12-2x

S四邊形PBQD=S -S△CDQ- S△APD= - - =72-36+6x-6x=36

【點評】解決此類圖形面積的問題的關鍵是用自變量表示相關線段的長，用面積計算公式代入，再進行化簡即可。

拓展三：設運動時間為x， 當x為何值時，△DPQ是等腰三角形；

【分析】題中沒有明確哪兩條邊相等，所以應該分三種情況，分別是①DP=PQ，②DP=DQ，③PQ=DQ，從而求出所需的時間.

解：①當DP=PQ時，由勾股定理可得：

122+x2=（6-x）2+（2x）2.

解這個方程得，x1= >6（舍去）， x2=

②當DP=DQ時，由勾股定理可得：122+x2=62+（12-2x）2.

解這個方程得，x1=8+ >6（舍去）， x2=8 -

③當DQ=PQ時，由勾股定理

可得：

62+（12—2x）2=（6一x）2+（2x）2.

解這個方程得：x1=-18+ x2=-18-

綜上可得：當x1=8 - 、x2=-18+ 時，△DPQ是等腰三角形.

拓展四：設運動時間為x， 當x為何值時，五邊形APQCD的面積最小，最小值是多少？

【分析】主要是先將△PBQ的面積用x的代數(shù)式表示，然后將五邊形APQCD的面積表示出來后再進行討論。

解： 由A P=x，所以PB=6-x， QB=2x，

S五邊形APQCD

=S矩形ABCD-S△PBQ = -

=72-（6x-x2）=x2-6x+72=（x-3）2+63 63

所以，當x=3時，五邊形APQCD的面積最小，最小面積是63 cm2.

【點評】解決圖形面積的最值問題，主要是將表示面積的代數(shù)式配方后求出最值。

拓展五：若點P從點A出發(fā)沿A-B-C以1 cm/s的速度移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿B-C-D以2 cm/s的速度向點D移動，如何表示△PDQ的面積，嘗試著提出上面類似問題。

提示：此時要分類討論。

總之，學好數(shù)學，需要我們根植于課本，著眼于提高，讓我們共同努力吧！。

（作者單位：南師大第二附屬初級中學）