姚正杰

在七年級(jí)下冊(cè)《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）》有這樣一道題：

（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)；

（2）如圖2，△A'B'C'的兩個(gè)外角（∠C'B'D，∠B'C'E）的角平分線相交于點(diǎn)O，∠A'=40°，求∠B'O'C'度數(shù)；

（3）由（1） （2），可以發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠B'O'C'有怎樣的關(guān)系？設(shè)∠A=A'=n°，∠BOC與∠B'O'C'之間是否還具有扎樣的關(guān)系？為什么？

課本讓我們探究的實(shí)際上是三角形2條內(nèi)角（或者外角）平分線的夾角與三角形第三個(gè)角的關(guān)系.相信大家對(duì)這個(gè)問題一定不會(huì)陌生.但是，三角形中的特殊線段，除了角平分線外、還有高和中線，由此，產(chǎn)生了下面的一種聯(lián)想：三角形的兩條邊上的高（或高的延長線）的夾角與三角形第三邊所對(duì)的角有什么關(guān)系呢？

大家看下面這個(gè)問題：如圖3，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，求高CD與BE的夾角∠BOC與∠A的關(guān)系.

由CD⊥AB，BE⊥AC得∠ADO=∠AEO=90°，再由四邊形內(nèi)角和等于360°，可得∠A+∠DOE=180°，不難發(fā)現(xiàn)∠DOE與∠BOC是對(duì)頂角，所以∠DOE =∠BOC，最后可知∠A=180°-∠BOC.

接著考慮三角形的高有一個(gè)特殊性，我們都學(xué)過，鈍角三角的高有2條在三角形外部，1條在內(nèi)部；直角三角形有2條高就是直角邊，1條是斜邊上的高，所以需要對(duì)下面的情形繼續(xù)進(jìn)行探索.

在鈍角三角形中

①鈍角△ABC的兩條外部的高的延長線的夾角.如圖4，在△ABC中，BF⊥AC，CE⊥AB，求∠P與∠BAC的關(guān)系.

類似銳角三角形形中的圖形，我們可以得到：∠BAC=180°-∠P.

②鈍角△ABC的一條內(nèi)部與一條外部高的延長線的夾角.如圖5，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，求∠P與∠B的關(guān)系.

由AD⊥BC，CE⊥AB得∠PEA=∠ADB=90°，∠PAE與∠BAD是對(duì)頂角，所以∠PAE=∠BAD，再由三角形內(nèi)角和可得∠P=∠B.

在直角三角形中

①兩條直角邊（高）的夾角.

如圖6，在△ABC中，AB⊥BC，那么兩高 AB、BC的夾角∠B與△ABC第三個(gè)銳角∠B為同一個(gè)角.

②一條直角邊（高）與斜邊上的高的夾角.在△ABC中，BD⊥AC，AB⊥BC，求BD與AB的夾角∠ABD與∠C的關(guān)系.

由BD⊥AC，AB⊥BC得∠ADB=∠ABC=90°，∠A是△ABD和△ABC的公共角，再由三角形內(nèi)角和可得∠ABD=∠C.

結(jié)合上面各種情形的分析，探究得出的結(jié)論是：三角形的兩條邊上的高的夾角與三角形第三邊所對(duì)的角相等或互補(bǔ).

（指導(dǎo)老師：浦長宇）