夏映雪 嚴(yán)育洪

“望”：病例觀察

在一節(jié)“釘子板上的多邊形”課上，教師發(fā)給每人一個釘子板作學(xué)具。一位學(xué)生在釘子板上圍出了這樣一個多邊形（如圖1）。

多邊形邊上的釘子數(shù)是9，多邊形內(nèi)的釘子數(shù)是18，代入皮克公式計算得到：9÷2+18-1=21.5。

而用長和寬分別是8、7的長方形面積減去三個外面的三角形的面積和，求得的實際面積是：8×7=56，8×6÷2+3×7÷2+0.5=35，56-35=21。

結(jié)果發(fā)生矛盾，相差0.5。上課教師看不出問題出在哪里，只能尷尬地不了了之。

無獨有偶，又有一位學(xué)生找到了這樣一個反例（如圖2）：用皮克公式算得面積是5，而用數(shù)格法數(shù)得的實際面積是4.5。

對此，教師作了這樣的解釋：“這是凹多邊形，不適用這個規(guī)律?！?/p>

過了一會，有一位學(xué)生舉著自己的作業(yè)紙（如圖3），打斷教師接下來組織的教學(xué)活動：“老師，您看這個凹多邊形是符合規(guī)律的?！?/p>

教師一看，果然如此，無言以對，只好說：“凹多邊形不屬于我們要研究的，我們研究的是像這樣的凸多邊形?！苯處燀樖职堰@位學(xué)生畫的凹多邊形改成了凸多邊形（如圖4）。

在這節(jié)課接近尾聲時，教師出示多邊形（如圖5），讓學(xué)生用皮克定理計算面積后總結(jié)：“用皮克定理計算釘子板上的多邊形，比較方便?！边@時，筆者聽到旁邊一位學(xué)生小聲嘀咕：“數(shù)方格也很方便?！?/p>

要下課了，教師問學(xué)生是否有什么問題。有一位學(xué)生提出：“當(dāng)a=1，S=n÷2；當(dāng)a=2，S=n÷2+1；當(dāng)a=3，S=n÷2+2……為什么多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1，多邊形的面積也會多1？”教師沒料到學(xué)生會問這個問題，愣了一會答道：“這個，不是大家發(fā)現(xiàn)的規(guī)律么？！”

……

“問”：病歷記錄

課后，上課教師對“結(jié)果相差0.5”始終感到不解：“這個0.5相差在哪里呢？”

其他教師也看不出所以然來，有的教師說：“是不是哪里少算了??？”

有的教師說：“換一種方法，用數(shù)格法數(shù)數(shù)看?！弊罱K發(fā)現(xiàn)很難數(shù)出精確的結(jié)果。

還有的教師說：“是不是這個釘子板做得有問題，質(zhì)量不過關(guān)，不精細(xì)？”……

在一籌莫展中，筆者問了上課教師另外一個問題：“圖5的目的是什么？”

她胸有成竹地答道：“一是讓學(xué)生用一用規(guī)律，二是讓學(xué)生體會到皮克公式的優(yōu)越性?！?/p>

當(dāng)筆者把學(xué)生的嘀咕“數(shù)方格也很方便”告訴她時，她想一想后說：“嗯，是感覺數(shù)方格也很方便，那為何還要搞一個皮克公式呢？”

筆者最后又問了一個問題：“多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1，多邊形的面積也會多1，兩個‘1’意義相同嗎？”

她答道：“當(dāng)然不同，前一個‘1’表示一個釘子，后一個‘1’表示一個面積單位?！?/p>

“那為什么多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1，多邊形的面積也會多1，你用‘這個，不是大家發(fā)現(xiàn)的規(guī)律么’來回答合適么？”筆者追問。

“是啊，它只是數(shù)字比出來的，我也看不出來后一個‘1’多在哪里?！彼钣型?。

……

“切”：病理診治

在2015年第5期《教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》中已經(jīng)說過，“釘子板上的多邊形”是蘇教版教材修訂后新放入的規(guī)律探索類教學(xué)內(nèi)容，加上它找的規(guī)律屬于事物本身存在的規(guī)律，有別于一些“人造”的“找規(guī)律”，更能引起學(xué)生的探究興趣，當(dāng)然也引起了許多教師研究課的興趣。在一個學(xué)期中，聽了幾節(jié)這樣的課，產(chǎn)生了眾多如上述課例中的生成性問題，讓教師不知所措。盤根究底，教師“不知所措”的背后是“不知所以”，“不知所以”的背后則暴露了教師對相關(guān)本體性知識的匱乏。所以，要讓教學(xué)服人，首先要知識尋根。

一是找到知識之源，解決學(xué)生關(guān)于“是什么”的困惑。在2015年第5期《教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)）》中，我們已經(jīng)知道“釘子板上的多邊形”的知識之源是“格點圖上的多邊形”，知道了這一知識原型，圖1中的“0.5之謎”也就昭然若揭：只需要把釘子板上圍的多邊形畫到點子圖上（如圖6），“相差的0.5” 一下子“原形畢露”——中間紅圈內(nèi)的點并不在多邊形邊上，多邊形邊上的釘子數(shù)是8而不是9。之所以會產(chǎn)生“一點之差”，就因為在釘子板上用皮筋或毛線圍多邊形的不精確（圍在釘子旁而非壓在釘子上）誤導(dǎo)了學(xué)生。

那么，在教學(xué)中，“學(xué)科的數(shù)學(xué)”與“科學(xué)的數(shù)學(xué)”如何做到兩全其美，既能照顧到學(xué)生興趣又能照顧到知識本質(zhì)？有一種解決策略是注意研究背景的及時轉(zhuǎn)換：一是在課始，教師在將用釘子板圍多邊形引入后，及時把“釘子板”轉(zhuǎn)換成“點子圖”；二是在課終，教師介紹皮克定理的時候，及時把“點子圖”轉(zhuǎn)換成“格點圖”。

圖1的問題解決了，圖2的問題——“這是凹多邊形，不適用這個規(guī)律”，事實真的如那位教師所說的嗎？盤根究底，這一問題依然是關(guān)于“是什么”的問題。

本課教學(xué)確實如教師所說不研究凹多邊形，所以教師在提供研究素材時應(yīng)選擇凸多邊形。但是，在教師讓學(xué)生自主研究的過程中，學(xué)生思想并不會受教師意志而轉(zhuǎn)移，完全有可能畫出凹多邊形，甚至畫出像圖2這樣的“凹多邊形”。

根據(jù)凹多邊形的定義“把一個各邊不自交的多邊形任意一邊向兩方無限延長成為一直線，如果多邊形的其他各邊不在此直線的同旁，那么這個多邊形就叫作凹多邊形”中的“各邊不自交”這一要求，不難看出，圖2并非我們所研究的凹多邊形，我們一般把它看作是組合圖形。

根據(jù)北京大學(xué)出版社出版的亨斯貝爾格所著《數(shù)學(xué)中的智巧》一書中對皮克公式的表述——“設(shè)Y是一個簡單多邊形（即不自交的多邊形，又稱佐敦多邊形，因為佐敦曲線定理可以用來證明這樣的多邊形能將平面分成兩個區(qū)域，即區(qū)內(nèi)和區(qū)外），其頂點均在格點上。若q為多邊形Y內(nèi)的格點數(shù)，p為多邊形Y邊上的格點數(shù)，則Y的面積=q+-1”。我們不難發(fā)現(xiàn)，皮克公式適用于簡單多邊形（按凹凸性區(qū)分，簡單多邊形分凸多邊形和凹多邊形），那也就是它不僅適用于凸多邊形，也適用于像圖3那樣的凹多邊形。

二是找到知識之理，解決學(xué)生關(guān)于“為什么”的困惑。上述課例中，學(xué)生的質(zhì)疑“為什么多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1，多邊形的面積也會多1”，涉及知識“為什么是這樣”的問題，只不過教師沒有意識到，或者意識到但因為也不知道，或者知道但考慮到無法跟小學(xué)生講清楚而故意回避。然而，現(xiàn)在學(xué)生提出了，教師也就回避不了這一關(guān)鍵性問題。實際上，這個問題是許多學(xué)生都能想到的，只是沒有機會或沒有勇氣提出來罷了，因為每一個知識的學(xué)習(xí)都會圍繞“是什么”“為什么”“有什么用”這三大問題，所以教師在備課的時候應(yīng)該想到這一問題。

盡管這節(jié)課的教學(xué)要求只需要引導(dǎo)學(xué)生運用不完全歸納法“找”規(guī)律，充分經(jīng)歷“找”的過程，但因為“找”到的規(guī)律更多的是基于現(xiàn)象“看”到的數(shù)字變化——“多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1，多邊形也就多1個面積單位”，至于“為什么會這樣”，學(xué)生沒能“看”到，心存困惑也很自然。

那么，限于學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，在還無法證明給學(xué)生“看”的情況下，特別在有學(xué)生質(zhì)疑的時候，教師可以做些什么？

筆者認(rèn)為，教師可以在知識的關(guān)鍵處進(jìn)行啟發(fā)，一方面通過多媒體的動態(tài)同步演示（如圖7），進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑蟹c滲透，讓學(xué)生“看”到隨著多邊形內(nèi)釘子數(shù)多1之后，多邊形多的1個面積單位在哪里，從而明白其中的奧秘，消除心頭的疑惑；另一方面，教師正好通過這一教學(xué)細(xì)節(jié)的變化設(shè)計，潤物細(xì)無聲地由“a=1”這一教學(xué)環(huán)節(jié)過渡到“a=2、a=3……”等教學(xué)環(huán)節(jié)。

三是找到知識之用，解決學(xué)生關(guān)于“為了什么”的困惑。上述課例中，教師讓學(xué)生用皮克定理計算釘子板上的多邊形面積后的總結(jié)，其用意是想揭示皮克公式的優(yōu)越性，體現(xiàn)知識的“有什么用”。在與學(xué)生交談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍存在知識學(xué)習(xí)之后的困惑：以前已經(jīng)學(xué)過一般平面圖形的常用面積公式，也掌握了割補法、數(shù)格法，為何還要學(xué)皮克公式？

確實，雖然本節(jié)課的定位是“找”規(guī)律，但找到規(guī)律后學(xué)生自然會想到“用”規(guī)律，即皮克公式有什么用？上述課例中，教師想到了這一點，但沒有講到點子上，學(xué)生的嘀咕“數(shù)方格也很方便”說明教師所用例子并不典型，我們應(yīng)該呈現(xiàn)一個用常用面積公式計算且用數(shù)格法都顯得困難的格點多邊形（如圖8），讓學(xué)生真正體會到皮克公式的“有用”。

當(dāng)然，皮克定理作為格點幾何中的一條基本定理，更大的用途是用來證明以及解決用格點法處理的某些數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)問題，這些學(xué)生以后自會明白。

皮克定理給出了格點多邊形的面積與格點數(shù)之間的精密公式（即皮克公式），由它可直接用于計算多邊形的面積。其實，皮克公式與數(shù)格法之間以及與一般平面圖形常用面積公式之間的聯(lián)系也是“緊密”的：如果讓格點之間的間隔越來越小，也就是使離散的格點連續(xù)化，也就是面積單位越來越小，也就是“微分”，則利用皮克公式就可以求出一般平面圖形的面積。

在眾多研究課中，教師存在這樣的困惑：學(xué)生只盯著多邊形邊上的釘子數(shù)，不看多邊形內(nèi)的釘子數(shù)。其實，這種學(xué)情很正常，因為學(xué)生熟記的一般平面圖形面積公式中的要素都是邊長，例如，長方形面積=長×寬、平行四邊形面積=底×高。教學(xué)對策是回到知識的原點——“面積”——把多邊形涂色，這樣學(xué)生就可以清楚地“看”到格點多邊形內(nèi)一個個面積單位（格子），而一個個“格子”與多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。

至此，學(xué)生明白了皮克定理的知識應(yīng)用之后，還可能會繼續(xù)另一個困惑：皮克定理在生活中有什么用？對此，教師可以跟學(xué)生講這樣的事例，作為課外閱讀——

數(shù)年前，國外某次數(shù)學(xué)會議的主辦者，為了增添地方特色，特地邀請了當(dāng)?shù)氐囊晃涣謽I(yè)官員，向與會者介紹一系列有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用在森林工業(yè)中的突出例子。其中有一個例子，就是關(guān)于如何用森林巡航車從樹木的位置確定的地域范圍來計算含在其中的多邊形的面積。其具體方法是用一張畫有由樹木構(gòu)成點陣的透明薄膜覆蓋在多邊形地域圖上，再根據(jù)多邊形邊界上點數(shù)的一半加上多邊形內(nèi)部的點數(shù)，從而得出多邊形的面積。

講完這個故事，教師可以讓學(xué)生思考這樣一個數(shù)學(xué)問題：這位林業(yè)官員的計算方法會存在誤差嗎？為什么？

綜上所述，雖然“釘子板上的多邊形”的教學(xué)內(nèi)容只需要“找規(guī)律”，教學(xué)形式也比較有趣，但深處隱藏的“釘子”很多，時不時在課中冒出。此處借用毛澤東說過的一句話——“碰了釘子時，就向釘子學(xué)習(xí)”，引申為教師碰到問題時，就要向問題學(xué)習(xí)，了解問題的本質(zhì)，這樣才能正確、輕松地應(yīng)對課中學(xué)生的意外生成。

（江蘇省無錫市蕩口實驗小學(xué) 214116

江蘇省無錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校 214196）