何儒彬

1.問題的提出

2014年四川省高考理科第20題是這樣一道題：已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.

（?。┳C明：OT平分線段PQ（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（ⅱ）當(dāng)■最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo).

筆者在對(duì)該題中的第（2）小題進(jìn)行探討時(shí)，發(fā)現(xiàn)該結(jié)論可以推廣到更一般的情形.

2.問題的推廣與證明

由于第（2）小題結(jié)論（?。?duì)于橢圓來說是一個(gè)一般性結(jié)論，筆者認(rèn)為，該結(jié)論對(duì)于雙曲線也應(yīng)該成立，當(dāng)附加一定的條件時(shí)，結(jié)論（ⅱ）對(duì)于橢圓（或雙曲線）應(yīng)該有一般表達(dá)式.

筆者通過深入探究，發(fā)現(xiàn)如下一般性結(jié)論：

推廣一：如圖1橢圓C：■+■=1（a>b>0）的焦點(diǎn)為F，T為橢圓準(zhǔn)線上任一點(diǎn)（焦點(diǎn)和準(zhǔn)線在y軸同側(cè)），過F作TF的垂線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，則有：

（1）OT平分線段PQ（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（2）當(dāng)c>b時(shí)，■有最小值■，這時(shí)T點(diǎn)坐標(biāo)為（-■，-■或（-■，■）；

（3）當(dāng)T是非x軸上的點(diǎn)時(shí)，K■K■=-■；

（4）若P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為P′，則P′Q||OT.

證明：不妨設(shè)F（-c，0）為橢圓的左焦點(diǎn).橢圓左準(zhǔn)線：x=-■.

設(shè)T（-■，m），則K■=-■，當(dāng)m=0時(shí)，T為橢圓左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，這時(shí)PQ為橢圓的通徑，OT平分PQ.當(dāng)m≠0時(shí)，因?yàn)門F⊥PQ，由K■K■=-1得K■=■（1）

所以直線PQ的方程為y=■（x+c），設(shè)P（x■，y■），Q（x■，y■），

聯(lián)立■+■=1y=■（x+c）得（a■b■+c■m■）x■+2a■b■cx+a■c■（b■-m■）=0

因?yàn)椤?4a■b■c■-4a■c■（a■b■+c■m■）（b■-m■）=4a■c■m■（b■+c■m■）>0

所以x■+x■=-■（2）

x■x■=■（3）

由y■+y■=■（x■+x■+2c）=■（2c-■）=■

得PQ的中點(diǎn)G（-■，■）

計(jì)算K■=-■，K■=-■得K■=K■.

由此知O，G，T三點(diǎn)共線，即直線OT過線段PQ的中點(diǎn)G，所以O(shè)T平分線段PQ.

計(jì)算|TF|=■=■（4）

|PQ|=■■

（5）

把（1），（2），（3）式代入（5）式，整理得|PQ|=■（6）

由（4）式，（6）式計(jì)算得比值

■=■=■■=■=■

=■■

=■■

≥■■=■.

當(dāng)c>b時(shí)，解出m=±■■，此時(shí)■有最小值■，T為（-■，■■）或（-■，-■■）.

根據(jù)結(jié)論第（1），（2）題證明已計(jì)算出K■=■，K■=-■易得K■K■=-■.

點(diǎn)P（x■，y■）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為P′（-x■，-y■），P′Q的斜率K■=■=■/-■=-■，即直線P′Q與直線OT的斜率相等，所以P′Q||OT.

推廣二：如圖2，雙曲線C：■-■=1的焦點(diǎn)為F，T為雙曲線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)（焦點(diǎn)和準(zhǔn)線在y軸同側(cè)），且點(diǎn)T的縱坐標(biāo)m≠±■，過F作TF的垂線交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)，則有：

（1）直線OT平分線段PQ（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（2）■=■

=■■；

（3）當(dāng)T是非x軸上的點(diǎn)時(shí)，K■K■=■；

（4）若P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為P′，則P′Q||OT.

以上結(jié)論的證明與橢圓情形類似，這里不再贅述.

繼續(xù)探索.我們把橢圓更換為拋物線，這時(shí)結(jié)論將如何呢？請(qǐng)看下面的例子：

如圖，拋物線y■=4x的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)T（-1，m），過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，弦PQ的中點(diǎn)為N.

（1）證明：線段NT平行于x軸（或在x軸上）；

（2）若m>0且|NF|=|TF|，求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo).

解（1）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y■=2px及焦點(diǎn)F（■，0），準(zhǔn)線方程x=-■知，此拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程x=-1，動(dòng)點(diǎn)T（-1，m）在準(zhǔn)線上，由斜率公式得K■=-■.

當(dāng)m=0時(shí)，T為拋物線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，這時(shí)PQ為拋物線的通徑，點(diǎn)N與焦點(diǎn)F重合，易知線段NT在x軸上.

當(dāng)m≠0時(shí)，因?yàn)門F⊥PQ，所以K■K■=-1，解得K■=■，于是直線PQ的方程為y=■（x-1）代入y■=4x化簡(jiǎn)整理得x■-（2﹢m■）x﹢1=0，△=（2+m■）■-4=m■（4-m■）>0.設(shè)P（x■，y■），Q（x■，y■），由韋達(dá)定理可知x■+x■=2+m■，y■+y■=■（x■+x■-2）=2m，得弦PQ的中點(diǎn)N（■，2），結(jié)合T（-1，m），由斜率公式計(jì)算得K■=0，所以NT平行于x軸.

綜上可知，線段NT平行x軸（或在x軸上）.

（2）已知∣NF∣=∣TF∣，在△TFN中，tan∠NTF=■=1知∠NTF=45°，得△TFA是等腰直角三角形（A是準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)），所以∣TA∣=∣AF∣=2，動(dòng)點(diǎn)T（-1，m），得m=2.

因?yàn)椤螻TF=45°，所以K■=tan45°=1，又F（1，0），可得直線PQ的方程為y=x-1，由m=2得T（-1，2），由（1）知線段NT平行于x軸，設(shè)N（x■，y■），則y■=2代入y=x-1得x■=3，所以N（3，2）.

推廣3：拋物線y■=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，T為拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，過F作TF的垂線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，弦PQ的中點(diǎn)為N，則線段NT平行于x軸（或在x軸上）.