楊敏

數(shù)學(xué)本身是一種語(yǔ)言，一種簡(jiǎn)約的科學(xué)語(yǔ)言.語(yǔ)言活動(dòng)是一項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)活動(dòng).數(shù)學(xué)教學(xué)要同語(yǔ)言打交道，以語(yǔ)言為媒介，借助書畫或口頭的表述學(xué)會(huì)原理、概念、公式和方法.在這個(gè)過(guò)程中，語(yǔ)言有著不容忽視的功能.

在文科班學(xué)生的眼中，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是非?？菰餆o(wú)味的，沒(méi)有了新課的新鮮感，只有不停重復(fù)的知識(shí)點(diǎn)和變化多端的題型，自覺(jué)性差一點(diǎn)的學(xué)生很有可能在課堂上睡著.我的想法是以語(yǔ)言的方式驅(qū)動(dòng)教學(xué)，努力調(diào)動(dòng)學(xué)生活躍的數(shù)學(xué)思維，盡可能地讓學(xué)生多說(shuō)，營(yíng)造活躍的課堂氛圍.

請(qǐng)教了幾位同事之后，我在自己的教案里設(shè)置了十幾個(gè)小問(wèn)題，以提問(wèn)的形式進(jìn)行，由于較簡(jiǎn)單，學(xué)生配合得還不錯(cuò).對(duì)于這樣一道題“已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，求滿足f（2x-）

-<2x-<，

得到0

解題完全正確，但是我希望他可以解說(shuō)一下解題過(guò)程，他卻臉漲得通紅，非常尷尬.我?guī)退治隽藞D像的由來(lái)，由偶函數(shù)的對(duì)稱性知函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的單調(diào)性，可以畫出形如二次函數(shù)的草圖，結(jié)合圖像可得以上不等式.其實(shí)，整個(gè)過(guò)程并不復(fù)雜，只要點(diǎn)一下圖像即可，但他那通紅的臉卻讓我不是滋味.

課后，這位同學(xué)找到我，他說(shuō)：老師，我沒(méi)想到你會(huì)讓我講，這讓我很緊張，我只會(huì)寫，以后能不能不要讓我講呢？我沒(méi)想到他竟然這么排斥用語(yǔ)言解釋他的思路.他走后，師父在一旁看出我的困惑，指點(diǎn)說(shuō)：他們不知道“說(shuō)思路”的好處，當(dāng)然不愿意講.你如果讓他們感覺(jué)到這個(gè)好處，就能慢慢接受了.師父的一番話點(diǎn)醒了我，我只求自己的課堂活躍，讓自己感覺(jué)很好，對(duì)學(xué)生而言，似乎沒(méi)什么幫助，他們當(dāng)然不樂(lè)意改變了.看來(lái)接下來(lái)我要讓他們體會(huì)到“說(shuō)數(shù)學(xué)”的好處了.

一、“說(shuō)過(guò)程”能讓思路更清楚

在接下來(lái)的課中，遇到這樣一道題：

在△ABC中，AB=2，=，求S的最大值.

解：設(shè)BC=a

cosC==

∴S=AC·BcsinC=a=

令y=-a+24a-16=-（a-12）+128，故y=128

∴S=×=2

這個(gè)方法，學(xué)生比較容易想到，但具體操作起來(lái)卻是相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)求最值的問(wèn)題，對(duì)函數(shù)掌握要求較高，于是我提問(wèn)有沒(méi)有其他解法.一位成績(jī)較好的同學(xué)給出了如下解答.

解：以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0），設(shè)C（x，y）到AB的距離為|y|

由題意==，化簡(jiǎn)得（x-3）+y=8

∴y=2

∴S=×AB×|y|=2

他在解答過(guò)程中，基本就是直接讀出過(guò)程，我并沒(méi)有著急評(píng)講，而是問(wèn)他為什么會(huì)想到用建系來(lái)做？他竟然告訴我不記得當(dāng)時(shí)是怎么想的了，其他學(xué)生大笑.于是我趕緊抓住機(jī)會(huì)，對(duì)他們說(shuō)：很多同學(xué)做題會(huì)有這樣的感覺(jué)，狀態(tài)好的話能靈光一閃想到好點(diǎn)子，但有時(shí)候卻怎么也想不到，特別在考試時(shí)好像是在碰運(yùn)氣.立即很多同學(xué)附和說(shuō)：是的，經(jīng)常有這樣的情況發(fā)生.然后我就問(wèn)他們：你們真覺(jué)得這是碰運(yùn)氣嗎？學(xué)生不語(yǔ).答案當(dāng)然不是，那么怎么樣才能讓自己保持良好的狀態(tài)呢？這需要我們形成良好的思維方式.以這道題來(lái)說(shuō)，條件沒(méi)什么可挖掘的，必須從結(jié)論出發(fā)，求面積一般哪些方法？學(xué)生答：S=absinC（公式一），或者S=ah（公式二）.正好發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的解答就是這兩種不同的出發(fā)點(diǎn).方法一就是根據(jù)公式一，需要求出sinC，于是轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值.而方法二呢？學(xué)生開始回答，底是定值，求面積的最大值就是求高的最大值，就需要求點(diǎn)的軌跡.經(jīng)過(guò)這樣分析，學(xué)生覺(jué)得本以為很難的題目也是水到渠成.那么我剛才講的思維方式就是，從條件入手，看看能否繼續(xù)挖掘出其他有價(jià)值的條件，然后再?gòu)慕Y(jié)論入手，知道自己的目標(biāo)在哪？這個(gè)目標(biāo)能不能簡(jiǎn)化點(diǎn)，將條件結(jié)論結(jié)合，基本都能得到.所以在以后的解題過(guò)程中，多問(wèn)問(wèn)自己這幾個(gè)問(wèn)題就是思維的形成過(guò)程.這就是讓大家“說(shuō)過(guò)程”的目的，不僅可以讓你自己目標(biāo)明確，而且可以和大家分享你精彩的思維過(guò)程.說(shuō)完這些，我看到不少同學(xué)都默默地點(diǎn)了點(diǎn)頭.

果然，在接下來(lái)的課堂上，越來(lái)越多的同學(xué)愿意“說(shuō)過(guò)程”了，課堂氣氛更活躍了.學(xué)生為了能在課堂上更好地發(fā)揮，課后也做了充分準(zhǔn)備，調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)的積極性.

二、“說(shuō)知識(shí)”能更好地串聯(lián)知識(shí)結(jié)構(gòu)

“說(shuō)數(shù)學(xué)”不僅是“說(shuō)過(guò)程”，還包括“說(shuō)知識(shí)”和“說(shuō)體會(huì)”，給學(xué)生“說(shuō)數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生可以與他人分享自己的思維成果，不斷走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功，激發(fā)他們用一顆執(zhí)著的心開拓自己的數(shù)學(xué)新天地.學(xué)生的解題透露了老師所需的重要信息，根據(jù)他們的解答可預(yù)測(cè)他以后的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和行為，此時(shí)老師就可以因材施教了.

以下面這道題為例，由于解法較多，學(xué)生回答很踴躍，我將之歸納如下.

例：{a}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為S，且S=100，S=10，則求S.

方法一：基本量思想.

方法二：S，S-S，S-S，…，S-S成等差，公差為d，

故S-10=S+10d=100+10d.

S=S+（S-S）+…+（S-S）=×11

∴d=-22即S=-110

方法三：S-S=a+a+a+…+a=×90=-90

∴a+a=-2

S=×110=×110=-110

這三種方法都是數(shù)列中常見的找基本量的關(guān)系，整體代換，學(xué)生較容易想到.當(dāng)我再次詢問(wèn)有沒(méi)有其他解法的時(shí)候，一個(gè)學(xué)生高高地舉起手來(lái)，解答如下.

方法四：根據(jù)等差前n項(xiàng)和，可看成關(guān)于n的二次函數(shù)，設(shè)S=An+Bn，

則S=100A+10BS=10000A+100B，得S=-110.

這是結(jié)合數(shù)列是一種特殊函數(shù)，用待定系數(shù)解決問(wèn)題.經(jīng)過(guò)比較，函數(shù)的方法運(yùn)算相對(duì)較簡(jiǎn)單，也體現(xiàn)了知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.學(xué)生的興趣一下子被激發(fā)出來(lái)，大家議論紛紛.沒(méi)多久，又有學(xué)生提出有更好的方法.

方法五：由上面的方法四，可知為等差數(shù)列，故=+90d，

得d=-，∴=+10d=-1，則S=-110.

能根據(jù)等差前n項(xiàng)和，可看成關(guān)于n的二次函數(shù)，推出為等差數(shù)列，這是非常漂亮的發(fā)現(xiàn)，說(shuō)明大家把數(shù)列與函數(shù)相互結(jié)合得非常好了.我和學(xué)生都很開心，回顧整個(gè)過(guò)程，總結(jié)一下，a與n，S與n都是函數(shù)關(guān)系，題目中若研究這兩者可適當(dāng)考慮以上解法.為了加強(qiáng)這方面的運(yùn)用，我決定讓他們解決下面這個(gè)問(wèn)題：“等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S，若Sn=（S）對(duì)一切n恒成立，求{a}的通項(xiàng)公式.”

學(xué)生有如下兩種解法：

方法一：S =（S）即na+d=na++n（n-1）ad

即n+（a-）n=n+（ad-）n+（-ad+a）n

得=ad-=0a-=-ad+a=0

∴d=0a=0或d=0a=1或d=2a=1

∴a=0或a=1或a=2n-1

方法二：設(shè)S=An+Bn

S =（S）即An+Bn=An+Bn+2ABn

得A=AB=BAB=0

∴A=0B=0或A=0B=1或A=1B=0

∴a=0或a=1或a=2n-1

從運(yùn)算上，學(xué)生自己可以體會(huì)出方法二更簡(jiǎn)便.雖然學(xué)生“說(shuō)數(shù)學(xué)”花了不少課堂時(shí)間，但通過(guò)他們說(shuō)知識(shí)，我能較清楚地了解他們的“原知識(shí)水平”，思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的方式，以及自主思考、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，發(fā)現(xiàn)他們的不足之處和閃光點(diǎn).學(xué)生通過(guò)積極發(fā)言，體會(huì)到了成功的喜悅，更重要的是我期待的良好的學(xué)習(xí)氛圍形成了.