田獻(xiàn)增

題目 如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，請(qǐng)畫(huà)出以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且含邊長(zhǎng)為3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要畫(huà)出示意圖，并在所畫(huà)等腰三角形長(zhǎng)為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3）

1 忘卻的記憶

筆者當(dāng)看到南京試題的25題時(shí)，想起了2005年參加日照市中考試題命題時(shí)出的一道題：

一位園藝設(shè)計(jì)師計(jì)劃在一塊形狀為直角三角形且有一個(gè)內(nèi)角為60°的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形狀完全相同的圖形圖案.某同學(xué)為此提供了如圖2所示的五種設(shè)計(jì)方案.其中可以滿(mǎn)足園藝設(shè)計(jì)師要求的有（ ）.

A.2種 B.3種 C.4種 D.5種

本題設(shè)計(jì)意圖是借助學(xué)生熟悉30°直角三角板，在考察30°角直角三角形、等邊三角形、矩形以及三角形中位線等知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，還考察了學(xué)生綜合探究能力或分類(lèi)思想.題外之意是引導(dǎo)教師在教學(xué)或?qū)W生在學(xué)習(xí)時(shí)，要注意用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思考.（解法略）

在命題過(guò)程中，原本想命制一道具有探究性的開(kāi)放題，并以填空題或解答（畫(huà)圖）題形式展示.例如填空題形式：

一位園藝設(shè)計(jì)師計(jì)劃在一塊形狀為直角三角形且有一個(gè)內(nèi)角為60°的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形狀完全相同的幾何圖案，其中可行的設(shè)計(jì)方案有 種.

本題從數(shù)學(xué)的角度考慮，若已經(jīng)找到n種方案，但沒(méi)找到第（n+1）種方案，又不能證明多于n（如n+1）種方案不存在.因此就改為試卷中的選擇題.

本題與南京中考試題第25題比較，筆者認(rèn)為無(wú)論從數(shù)學(xué)素材的選擇，還是命題角度、意圖以及題目分析方法，都有相似之處.

2 題目解答過(guò)程中分類(lèi)方法的探討

因?yàn)楸绢}要求所畫(huà)出的三角形滿(mǎn)足以下條件：A為一個(gè)頂點(diǎn)；另外兩個(gè)頂點(diǎn)（不妨設(shè)為E，F(xiàn)）在正方形ABCD的邊上；一邊長(zhǎng)為3；所有大小不同的等腰三角形.因此應(yīng)先以等腰三角形的“頂點(diǎn)”（注：與三角形頂點(diǎn)含義不同）為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論.

（1）當(dāng)AE=AF時(shí)，此時(shí)

①若AE=AF=3，有如圖3（1）一個(gè)等腰三角形.

②若EF=3，有如圖3（2）（5）兩個(gè)等腰三角形.

（2）當(dāng)EA=EF時(shí)，此時(shí)

①若EA=EF=3，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，有如圖3（3）一個(gè)等腰三角形；當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，有大小相等、形狀相同的三角形，同圖3（3）.

②若AF=3，當(dāng)點(diǎn)F在AB上時(shí)，有如圖3（4）一個(gè)等腰三角形；當(dāng)點(diǎn)F在AD上時(shí)，有大小相等、形狀相同的三角形，同圖3（4）.

（3）當(dāng)FA=FE時(shí)，討論方法同（2）.因此本題滿(mǎn)足條件的所有等腰三角形如圖3所示.

3 對(duì)南京第25題設(shè)計(jì)意圖以及價(jià)值分析

（1）從本題考察的數(shù)學(xué)知識(shí)角度上看，解答本題用到的知識(shí)比較淺顯，如正方形、等腰三角形和線段中垂線”等性質(zhì)以及全等三角形直觀判定.

（2）從本題命題目的角度上看，因?yàn)樵擃}背景對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)特別熟悉.因此有“出其不意，攻其不備”之效.從學(xué)生最熟悉的“生活情境”中提出問(wèn)題，并且用最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，這應(yīng)是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的方向，也是課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.“繁、難、偏”或數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的疊加組合，無(wú)益于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力，探究問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力，深入挖掘日常生活中數(shù)學(xué)素材，同樣可以達(dá)到目的.

（3）從本題對(duì)教師學(xué)生心理影響上看，這樣的題目即使學(xué)生得分率很低，我想命題者也不會(huì)被學(xué)生、學(xué)生家長(zhǎng)以及老師怨為“數(shù)學(xué)帝”.留給教師和學(xué)生的是自身的“反思”和“責(zé)備”.倘若是這樣，不正是“中考指揮棒”想達(dá)到的目的嗎？

（4）從本題解題的思想方法上看，除了考察運(yùn)用“尺規(guī)作圖”思考問(wèn)題的意識(shí)外，主要考察分類(lèi)思想和方法.分類(lèi)思想是數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法.我曾經(jīng)和“當(dāng)代教育家”雜志社主任王湘蓉“開(kāi)過(guò)玩笑”——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵在于“分類(lèi)”，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，要加強(qiáng)分類(lèi)意識(shí)的培養(yǎng)和分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)教學(xué).學(xué)生分類(lèi)意識(shí)薄弱，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不清，難以學(xué)好數(shù)學(xué).從這個(gè)意義上講，分類(lèi)或許是數(shù)學(xué)思維的“核心”，數(shù)學(xué)能力的“基礎(chǔ)”.

事實(shí)上，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的多與寡，走向社會(huì)后（培養(yǎng)數(shù)學(xué)精英除外）對(duì)于自身發(fā)展影響不大.日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏說(shuō)過(guò)：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門(mén)不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使人終身受益.學(xué)生將知識(shí)忘卻了以后剩下的東西，這其中核心的成分是數(shù)學(xué)思維.”本題的價(jià)值正是在于留給學(xué)生的“分類(lèi)”數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)的意識(shí)與數(shù)學(xué)的思考.也正是這種數(shù)學(xué)思想是學(xué)生走向社會(huì)或繼續(xù)學(xué)習(xí)必備的素質(zhì).