馬云峰，高發(fā)玲

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院)

0 引言

Klein－Gordon方程出現(xiàn)在相對論、量子力學(xué)、旋轉(zhuǎn)波及非線性光學(xué)等理論中.它描寫自旋為零的標(biāo)量粒子的相對性，由于粒子沒有自旋、只有一個分量，描述spinless顆粒.若u代表相對論的自由粒子能量，則Klein－Gordon方程可以從相對論性質(zhì)能關(guān)系和薛定諤方程中得到［1］.

研究非線性偏微分方程中精確解問題的方法甚多，如齊次平衡法、擴(kuò)展的(G'/G)展開法、雙曲函數(shù)法、擴(kuò)展的F－展開法、擴(kuò)展的輔助方程法等［2－6］，通常采用的輔助方程法為三角函數(shù)型，橢圓型，Bernoulli輔助方程法等［7－10］.非線性方程具有特殊性，不可能用一種方法求出所有方程的精確解，所以對特定方程選擇合適的方法求精確解顯得尤為重要.

考慮推廣的Klein－Gordon方程為

其中α為實常數(shù);β，γ＞0為實常數(shù);n1，n2為正整數(shù)且u=u(x，t):R×R→R是未知函數(shù).方程(1)中，當(dāng)n1=1，n2=3時整體解的存在性、精確解的求法及解的性質(zhì)已有較完善的結(jié)論［11－13］.但對推廣的 Klein－Gordon方程(1)的精確解求法的研究，還未得到展開.該文嘗試用擴(kuò)展的橢圓型輔助方程法求精確行波解，因n1=2，n2=1時的精確解已解決，在此不予討論.

1 擴(kuò)展的橢圓型輔助方程法［14］

該文利用輔助常微分方程來構(gòu)造推廣的Klein－Gordon方程精確行波解，主要步驟如下:

非線性發(fā)展方程的一般形式可以寫為其中，N是關(guān)于變元u，ut，ux，utt，uxt，uxx，… 的多項式.

引入行波變換

其中ω是非零的待定常數(shù)，可將(2)式方程轉(zhuǎn)換為僅關(guān)于變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程

為了得到方程的精確解析解引入z(ξ)，z(ξ)滿足

該常微分方程有以下解:

引入兩個基本函數(shù)f和g，其中r為待定常數(shù)，

顯然，函數(shù)f和g滿足以下關(guān)系

假設(shè)常微分方程的解u(ξ)是一個關(guān)于f和g的n階多項式，即

其中，系數(shù)ak和bk為待定常數(shù)，且ak+bk≠0，n由齊次平衡法來確定.

將(3)式中構(gòu)造的n階多項式代入(1)式的常微分方程，結(jié)合(6)式使得所得方程的各項中只有f和g的冪次項，合并f和g的同次冪項并取系數(shù)為零，就可以得到一個包含所有待定系數(shù)的非線性代數(shù)方程組.并對該方程組，用吳文俊消元法確定所有的待定系數(shù)，最終可得到非線性波動方程的精確行波解.

2 求精確行波解

根據(jù)以上介紹的擴(kuò)展橢圓型輔助方程法，對推廣的Klein－Gordon方程進(jìn)行求解.(1)式對應(yīng)的常微分方程為:

平衡方程(8)的最高階導(dǎo)數(shù)項和具有支配地位的非線性項中，不妨設(shè)n1≥n2，則根據(jù)平衡原理知又n1和n1均為正整數(shù)，其中一種情形為:

此時方程形式為:

其對應(yīng)的常微分方程為

因為n=1，所以上式解的形式可以寫為

將(5)、(11)式代入方程(10)，令多項式

fj(ξ)gk(ξ)的系數(shù)為零，可得一個包含所有待定系數(shù)的非線性代數(shù)方程組，求解得:

3 具體精確解

對解(17)進(jìn)行數(shù)值模擬得圖1.

圖1 數(shù)值模擬圖

4 結(jié)束語

該文通過推廣的橢圓型輔助方程法，求推廣的Klein－Gordon方程:utt－α2utt+βun1－γun2=0(1)的精確行波解，通過應(yīng)用齊次平衡原理確定n1，n2的取值，進(jìn)而對不同取值進(jìn)行求解，對所求解代入特定值畫圖，進(jìn)一步明確解的性質(zhì).橢圓型輔助方程法可以對推廣的Klein－Gordon的各種形式進(jìn)行求解，并且能夠?qū)(ξ)和g(ξ)取一般形式的解進(jìn)行討論，具有一般性，該文的方法也適用于其他方程求精確行波解.

［1］張春華.再論Klein－Gordon方程解的物理意義［J］.渤海學(xué)刊，1988(4).

［2］Fan Engui.Two new applications of the homogeneous balance method［J］.Phys Lett A，2000，265(2000):353–357.

［3］Ismail Aslan，Yurhut Qzis.Analytic study on two nonlinear evolution equations by using the(G’/G)－expansion method［J］.Comput Math Appl，2009，209:425–429.

［4］Shang Yadong，Huang Yong，Yuan Wenjun.The extended hyperbolic functions and new exact solutions to the Zakharov equations［J］.Comput Math Appl，2008，200:110–122.

［5］Abdou M A.An improved generalized F－expansion method and its applications［J］.Comput Math Appl，2008，214:202－208.

［6］Guo Shimin，Zhou Yubin.Auxiliary equation method for the mkdv equation with variable coefficients［J］.Comput Math Appl，2010，217:1476–1483.

［7］Eric Sweet，Robert A.Van Gorder.Trigonometric and hyperbolic type solutions to a generalized Drinfel’d－Sokolov equa-tion［J］.Comput Math Appl，2010，217:4147–4166.

［8］Guellal S，Cherruault Y.Application of the Decomposition Method to identify of the Distributed Parameters of an Elliptical Equation［J］.Comput Math Appl，1995:51－55.

［9］沈水金.擴(kuò)展的F展開法及Klein－Gordon方程的精確解［J］.紹興文理學(xué)院學(xué)報，2010，30(7).

［10］Arash Yavari，Shahram Sarkani.On applications of generalized functions to the analysis of Euler－Bernoulli beam－columns with jump discontinuities［J］.International Journal of Mechanical Science，2001，43:1543–1562.

［11］Gan Zaihui，Guo Boling.Sharp threshold of global existence for the coupled nonlinear Klein－Gordon equations in three space dimensions Advance in Mathematics［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2009，38(6).

［12］Sun Qiang.Solving the Klein－Gordon equation by means of the homotopy analysis method［J］.Comput Math Appl，2005，169:355–365.

［13］Fabio M.amorin Natali，Ademir Pastor Ferreira.Stability and Instability of periodic standing wave solutions for some Klein－ Gordon equations［J］.Math Anal Appl，2008，347:428–441.

［14］信春剛，王軍帽，張睿，等.擴(kuò)展橢圓型輔助方程法與Klein－Gordon方程新解析解［J］.安徽大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010(3).