彭 超，程 林，王志海，吳文志，楊 靜

(中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所， 安徽 合肥 230088)

基于諧波平衡法的非線性低頻隔振系統(tǒng)振動特性研究*

彭 超，程 林，王志海，吳文志，楊 靜

(中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所， 安徽 合肥 230088)

針對非線性低頻隔振系統(tǒng)振動響應(yīng)和振動傳遞率進(jìn)行理論研究?；诜蔷€性彈性元件的載荷-位移試驗數(shù)據(jù)建立了非線性低頻隔振系統(tǒng)的動力學(xué)模型和動力學(xué)方程。借助諧波平衡法對該非線性動力學(xué)方程進(jìn)行近似求解，得到該非線性低頻振動系統(tǒng)的一次諧波位移響應(yīng)和振動傳遞率的近似表達(dá)式。分析了不同系統(tǒng)參數(shù)對振動傳遞率和曲線族骨架形狀的影響，并對這種影響產(chǎn)生的原因進(jìn)行了解釋。理論結(jié)果與試驗結(jié)果對比顯示，當(dāng)該非線性低頻隔振系統(tǒng)工作在有效隔振頻段內(nèi)時，兩者吻合良好。

非線性；低頻隔振；諧波平衡法；振動傳遞率

引 言

傳統(tǒng)的隔振系統(tǒng)能夠很好地對中高頻帶進(jìn)行隔離，但由于其在靜承載力和低剛度之間的矛盾，很難適用于低頻隔振。為了解決低頻隔振問題，一些研究者將非線性彈性元件引入到隔振系統(tǒng)中，設(shè)計出一些非線性隔振系統(tǒng)。例如文獻(xiàn)[1-2]將負(fù)剛度結(jié)構(gòu)引入到隔振器的設(shè)計中，通過正負(fù)剛度并聯(lián)的方式成功設(shè)計出了超低頻的非線性低頻隔振系統(tǒng)，表現(xiàn)出優(yōu)良的低頻隔振性能；文獻(xiàn)[3-4]利用大變形彈性元件的幾何非線性設(shè)計的非線性隔振器，在給定靜載條件及變形量約束下可達(dá)到設(shè)定的動剛度值；另外擺式結(jié)構(gòu)[5-7]、蝶形彈簧[8-9]、歐拉壓桿[10-12]、片彈簧[13-14]等構(gòu)件本身就可以實現(xiàn)高靜剛度和低動剛度的非線性特性，都被引入到了低頻隔振器的設(shè)計中。通過設(shè)計這些非線性隔振系統(tǒng)的參數(shù)，就可以使隔振系統(tǒng)能夠在保持較大承載力的前提下具有較低的動態(tài)剛度，從而實現(xiàn)低頻甚至超低頻隔振。應(yīng)用表明這類非線性低頻被動隔振系統(tǒng)具有承載力高、起始隔振頻率低的優(yōu)點，且工作時幾乎不需要消耗任何能量，是一種無源減振器件。也正是基于此，非線性隔振系統(tǒng)逐漸地被應(yīng)用到實際的工程減振應(yīng)用中。

由于非線性隔振理論還不完善以及非線性方程解的復(fù)雜性，長期以來都是將非線性系統(tǒng)簡化為與之等價的線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和計算。然而采用線性理論來進(jìn)行非線性系統(tǒng)的振動分析勢必會造成較大的誤差，對于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，甚至產(chǎn)生錯誤，不能解釋實際的非線性現(xiàn)象。非線性振動系統(tǒng)不像線性系統(tǒng)那樣有統(tǒng)一的解析求解方法，常用的分析方法有幾何方法、計算機(jī)仿真分析法和近似解析方法等。幾何方法與仿真分析法均不能直接反應(yīng)解與參數(shù)之間的直接關(guān)系。解析方法可以得到系統(tǒng)的響應(yīng)幅值、頻率和系統(tǒng)參數(shù)之間的閉合關(guān)系，以及響應(yīng)對系統(tǒng)參數(shù)和初始條件的依賴關(guān)系。然而由于非線性解析方法的復(fù)雜性，系統(tǒng)的精確解通常無法獲取，因此通常都是采用近似解析法來獲取系統(tǒng)的近似解。近似解析法有正規(guī)攝動法、林滋泰德-龐加萊法、多尺度法、平均法、漸進(jìn)法和諧波平衡法。其中諧波平衡法的概念和物理意義最為明確，實施操作最為簡單，且適用范圍不僅僅限于弱非線性系統(tǒng)，對強(qiáng)非線性系統(tǒng)同樣適用，因而被大量地用來求解非線性系統(tǒng)的近似解。

文獻(xiàn)[4]中針對低頻隔振的需要設(shè)計出了一種非線性低頻隔振系統(tǒng)，試驗分析結(jié)果顯示其具有明顯的高靜剛度和低動剛度特性，是一個典型的非線性隔振系統(tǒng)，是不能進(jìn)行線性化的。本文將利用諧波平衡法對該非線性低頻隔振系統(tǒng)的振動響應(yīng)和振動傳遞率進(jìn)行具體的分析。首先基于非線性彈性元件的試驗數(shù)據(jù)建立隔振系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型。其次運(yùn)用諧波平衡法對該非線性動力學(xué)模型求解；最后將理論結(jié)果和試驗結(jié)果進(jìn)行對比，以檢驗理論分析的正確性。

1 非線性低頻隔振系統(tǒng)的動力學(xué)建模

圖1 非線性低頻隔振系統(tǒng)的力學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[4]中試驗數(shù)據(jù)，將該非線性低頻隔振系統(tǒng)彈性元件的恢復(fù)力fk在平衡點位置(工作點位置)擬合為位移的多項式。結(jié)合位移-載荷曲線的形狀和彈性元件的實際物理意義，取位移的三次項和一次項，即該非線性系統(tǒng)彈性元件的恢復(fù)力-位移曲線(圖2)可以表示為如下三次多項式：

fk=k1x+k3x3=11 378.6x+37 877 573.9x3

(1)

式中：k1為線性項系數(shù)；k3為非線性項系數(shù)。

圖2 恢復(fù)力-位移曲線

由圖2可見，擬合后的曲線和實測數(shù)據(jù)非常接近，其精度完全滿足工程應(yīng)用需要。

在非線性低頻隔振系統(tǒng)的實際應(yīng)用中，引起阻尼的原因有很多。根據(jù)文獻(xiàn)[4]中試驗平臺的實際情況，這里除了考慮系統(tǒng)的粘性阻尼外，還引入摩擦阻尼，其他類型的阻尼，例如結(jié)構(gòu)阻尼等，都可以通過一定的形式轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)的粘性阻尼。粘性阻尼和摩擦阻尼都具有成熟的數(shù)學(xué)模型，可以表達(dá)為如下形式：

(2)

式中：fc為粘性阻尼力，與速度成正比；c為比例系數(shù)；fμ為摩擦阻尼力，為常數(shù)μFN，方向與相對運(yùn)動方向相反；μ為摩擦系數(shù)；FN為摩擦接觸面的正壓力。

根據(jù)以上的分析和數(shù)學(xué)描述，該非線性低頻隔振系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以表示為如下形式：

(3)

(4)

式(3)為積極隔振模型的動力學(xué)方程；式(4)為消極隔振模型的動力學(xué)方程，可見這2個方程都是典型的二階非線性非奇次微分方程。

對于上述二階非線性非奇次微分方程，其解的表達(dá)式包含大量的非初等函數(shù)，很難獲得精確的解析式。鑒于諧波平衡法適用范圍廣、物理意義明確和操作簡單等優(yōu)越性，采用諧波平衡法來對上述二階非線性非奇次微分方程求解。諧波平衡法的基本思想為：將振動系統(tǒng)激勵項和最終響應(yīng)都展開為傅立葉級數(shù)，然后代入到振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程中，再令同階諧波項的系數(shù)相等就能得到一系列的代數(shù)方程，通過代數(shù)方程就能確定傅立葉級數(shù)的系數(shù)，從而獲得振動系統(tǒng)的解。其中令同階諧波項系數(shù)相等的物理意義是保證系統(tǒng)的激勵力和慣性力的各階諧波分量能夠自相平衡。

2 動力學(xué)方程求解

考慮到實際工程應(yīng)用中針對基礎(chǔ)振動進(jìn)行的消極隔振的應(yīng)用較為多見，且相對于式(3)，對式(4)求解要稍許復(fù)雜，因此這里以消極隔振模型的動力學(xué)方程式(4)為求解對象，采用諧波平衡法來獲取其近似解析解。由式(4)可以將消極隔振模型的運(yùn)動方程改寫為由相對位移響應(yīng)表示的形式：

(5)

式中，z=x-u即為非線性低頻隔振系統(tǒng)的相對位移響應(yīng)，即隔振對象相對基礎(chǔ)的位移響應(yīng)。

在實際工程應(yīng)用中，很難直接采集基礎(chǔ)的位移，或者采集的位移數(shù)據(jù)都不太準(zhǔn)確，而測量基礎(chǔ)的加速度相比而言要簡單許多，例如大部分地震儀記錄的都是地面的加速度響應(yīng)，因此在消極隔振模型中，基礎(chǔ)激勵的輸入條件一般都是以加速度的形式給出。為了與實際工程應(yīng)用一致，直接假設(shè)基礎(chǔ)簡諧運(yùn)動的加速度響應(yīng)為：

(6)

式中：Y為基礎(chǔ)加速度幅值；ω為加速度。

將式(6)代入式(5)，就可以將式(5)改寫為如下的形式：

(7)

假設(shè)非線性低頻隔振系統(tǒng)的一次諧波相對位移響應(yīng)為：

z=Zcos(ωt-φ)

(8)

式中：Z為一次諧波相對位移響應(yīng)的幅值；φ為一次諧波相對位移響應(yīng)與基礎(chǔ)激勵之間的相位差。

為了得到Z和φ的表達(dá)式，將式(8)代入式(7)可得：

εZ3cos3(ωt-φ)]-2ξωω0Zsin(ωt-φ)-

(9)

式(9)中左端最后一項(摩擦阻尼項)展開成傅立葉級數(shù)有：

(10)

式中，an為傅立葉級數(shù)的各項系數(shù)。

將式(10)代入式(9)，化簡過程中利用變換公式 4cos3α=(3cosα+cos3α)，最后得到

(11)

式中：Ω=ω/ω0為無量綱激勵頻率。

令式(11)中兩端一次諧波項sinωt和cosωt的系數(shù)對應(yīng)相等，得到：

(12)

將式(12)中兩式平方相加消去φ得到：

(13)

式(13)即為非線性低頻隔振系統(tǒng)的一次諧波位移響應(yīng)的幅頻特性表達(dá)式。進(jìn)一步根據(jù)式(12)可以得到相頻特性的表達(dá)式：

(14)

式(14)表示的是消極隔振模型中隔振對象相對于基礎(chǔ)的相對位移響應(yīng)，其與積極隔振模型的絕對位移響應(yīng)具有相同的表達(dá)式。

將式(14)代入z=x-u可以得到消極隔振模型下非線性低頻隔振系統(tǒng)的絕對位移響應(yīng)為：

(15)

式中：

(16)

消極隔振模型下，系統(tǒng)的振動傳遞率定義為系統(tǒng)絕對位移響應(yīng)和基礎(chǔ)位移響應(yīng)的幅值比，則由式(15)可以得到系統(tǒng)的位移傳遞率為：

(17)

又由式(14)可得：

(18)

將式(18)代入式(17)并化簡可得：

(19)

式(19)為根據(jù)動力學(xué)方程(4)求解獲得的振動傳遞率，即為該非線性低頻隔振系統(tǒng)在消極隔振模型下的位移傳遞率。同理求解動力學(xué)方程(3)將得到該非線性低頻隔振系統(tǒng)在積極隔振模型下的力傳遞率，可得與式(19)完全相同的表達(dá)式。

3 系統(tǒng)參數(shù)對振動傳遞率的影響

根據(jù)上式可以得到非線性低頻隔振系統(tǒng)在不同系統(tǒng)參數(shù)下的傳遞率曲線，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)參數(shù)對振動傳遞率的影響

圖3(a)和(b)分別為不同粘性阻尼比ξ和摩擦阻尼比υ下的隔振系統(tǒng)傳遞率曲線。由圖可見，隨著激勵頻率的增大，傳遞率先增大后減小，當(dāng)激勵頻率大于某一頻率值時傳遞率小于1，該值即為隔振系統(tǒng)的起始隔振頻率。在起始隔振頻率的左右區(qū)間內(nèi)，非線性低頻隔振系統(tǒng)的ξ和υ對傳遞率曲線的影響與線性系統(tǒng)相似：在固有頻率附近的共振區(qū)間內(nèi)，阻尼比越小，振動傳遞率越大；在有效隔振區(qū)間內(nèi)(傳遞率小于1的區(qū)間)，阻尼比越小，振動傳遞率越小，并且在此區(qū)間內(nèi)υ比ξ對傳遞率的影響更為明顯。但與線性系統(tǒng)不同的是，非線性低頻隔振系統(tǒng)的無量綱起始隔振頻率并不是固定不變的，而是隨著阻尼比的變化而變化。這是因為阻尼比的變化會影響到系統(tǒng)的振動幅值，而非線性低頻隔振系統(tǒng)的固有頻率與系統(tǒng)振動幅值相關(guān)，進(jìn)而就會影響到起始隔振頻率。

圖3(c)和(d)分別為基礎(chǔ)激勵系數(shù)B和非線性剛度系數(shù)ε對隔振系統(tǒng)傳遞率曲線的影響。由圖可見，隨著B和ε的增大，傳遞率峰值逐漸增大。隨著激勵頻率的增大，傳遞率先增大后減小，最后趨于小于1的值。在有效隔振區(qū)間內(nèi)，B對傳遞率的影響較為明顯，并且B值越大，隔振效果越好。這說明在有效隔振區(qū)間內(nèi)，當(dāng)外界振動的頻率成分相同時，振動量級越大減振效果越好，但是起始隔振頻率也越大。在有效隔振區(qū)間內(nèi)，ε對隔振頻率的影響較小，隨著激勵頻率的增大，不同ε的傳遞率逐漸趨于相等的值。由于ε和B的大小直接影響著系統(tǒng)固有頻率的大小，因此起始隔振頻率也隨著參數(shù)的變化而變化。

由圖可見，除圖3(d)中ε=0外，所有傳遞率曲線都向著頻率增大的方向傾斜，并且逐漸表現(xiàn)出多值特性，即在某一頻率區(qū)間內(nèi)同一頻率對應(yīng)的振動幅值有3個不同的值。當(dāng)隔振系統(tǒng)工作在此頻率區(qū)間內(nèi)時，其幅值就會發(fā)生突變，這就是非線性系統(tǒng)特有的跳躍現(xiàn)象。對于隔振系統(tǒng)來說，這種跳躍現(xiàn)象會導(dǎo)致隔振對象產(chǎn)生較大的加速度，甚至造成系統(tǒng)的破壞，因此在非線性低頻隔振系統(tǒng)的設(shè)計和實際使用中一定要避免這種跳躍現(xiàn)象的發(fā)生，例如設(shè)置合理的剛度系數(shù)、增加系統(tǒng)阻尼等。另外對比圖中幾組曲線族，圖3(a)和(b)中，不管ξ和υ如何變化，曲線族的骨架不變。然而圖3(c)和(d)中曲線骨架隨著ε和B的增加逐漸傾斜，不穩(wěn)定性逐漸增加。這是因為該曲線族骨架的形狀與非線性低頻隔振系統(tǒng)的無阻尼自由振動相關(guān)。令式(12)和式(19)中的阻尼系數(shù)和外激勵力為0，就可以得到曲線骨架的表達(dá)式：

(20)

由式(20)可見，曲線族骨架的形狀只與系統(tǒng)的ε和B的大小相關(guān)。其中ε=0時對應(yīng)著線性系統(tǒng)，幅頻特性曲線的骨架是一條垂直直線，且與橫軸垂直相交于系統(tǒng)的固有頻率處。

4 理論結(jié)果與試驗結(jié)果對比

為了進(jìn)一步檢驗理論分析結(jié)果的正確性，基于文獻(xiàn)[4]中設(shè)計的非線性低頻隔振系統(tǒng)和隔振試驗平臺，進(jìn)行傳遞率的理論值和試驗值的對比分析。隔振試驗平臺如圖4所示。

圖4 隔振性能試驗評估系統(tǒng)[4]

該平臺為一個兩自由度系統(tǒng)，主要由基礎(chǔ)質(zhì)量塊、載荷質(zhì)量塊、導(dǎo)桿、彈簧等構(gòu)成。在基礎(chǔ)質(zhì)量塊下面安裝了激勵器，通過激勵器激勵基礎(chǔ)質(zhì)量塊來產(chǎn)生振動；激勵器和基礎(chǔ)質(zhì)量塊之間安裝了阻抗頭；在基礎(chǔ)質(zhì)量塊和載荷質(zhì)量塊之間安裝了非線性低頻隔振系統(tǒng)的原理樣機(jī)；基礎(chǔ)質(zhì)量塊和載荷質(zhì)量塊在導(dǎo)桿的限制下只能在垂直方向上運(yùn)動，并且分別在基礎(chǔ)質(zhì)量塊和導(dǎo)桿、載荷質(zhì)量塊和導(dǎo)桿之間安裝了直線軸承，以保證垂向運(yùn)動的流暢性。

由于在簡諧激勵下，隔振對象的位移響應(yīng)和基礎(chǔ)位移響應(yīng)的幅值比與兩者的加速度幅值比相等。因此為了方便試驗操作，在振動傳遞率的試驗中直接采集載荷質(zhì)量塊和基礎(chǔ)質(zhì)量塊的加速度響應(yīng)，通過加速度響應(yīng)的幅值比間接求出隔振系統(tǒng)的振動傳遞率。試驗中頻率為2 Hz～8 Hz，基礎(chǔ)質(zhì)量為120 kg，載荷質(zhì)量為95kg。根據(jù)試驗平臺參數(shù)，設(shè)置計算參數(shù)ε=3300、ξ=0.08、υ=0.05，理論值與試驗值的比較結(jié)果如圖5所示。

圖5 理論計算結(jié)果與試驗結(jié)果對比

由圖5可見，試驗結(jié)果和計算結(jié)果雖然在共振頻率區(qū)間內(nèi)有一定的偏差，但在有效隔振頻段內(nèi)，試驗結(jié)果和理論計算結(jié)果吻合良好。鑒于隔振系統(tǒng)正常工作時都應(yīng)該處于有效隔振區(qū)間內(nèi)，因此計算結(jié)果和試驗結(jié)果之間的這種偏差在工程上是可以被接受的。造成共振區(qū)間內(nèi)偏差的原因主要有：

1)計算采用的方法為諧波平衡法，僅僅考慮了一次諧波的影響，本身就是一個近似計算過程；

2)計算中表現(xiàn)出的非線性的多值特性，是由于非線性低頻隔振系統(tǒng)在共振區(qū)內(nèi)的不穩(wěn)定性引起的，這種不穩(wěn)定性在試驗中不能體現(xiàn)出來；

3)計算參數(shù)的選取、試驗樣機(jī)加工精度、測試系統(tǒng)的精度等等也會帶入一定的誤差。

5 結(jié)束語

在載荷-位移試驗曲線的基礎(chǔ)上，將非線性低頻隔振系統(tǒng)彈性元件的剛度在平衡位置處擬合為位移的線性項和三次項之和，并且結(jié)合粘性阻尼和摩擦阻尼建立了非線性低頻隔振系統(tǒng)的動力學(xué)模型和非線性動力學(xué)方程。

利用諧波平衡法對非線性動力學(xué)方程進(jìn)行了近似的理論分析，得到該非線性低頻隔振系統(tǒng)的一次諧波位移響應(yīng)和振動傳遞率的近似表達(dá)式?？疾炝讼到y(tǒng)參數(shù)對振動傳遞率和曲線族骨架形狀的影響，并且對此影響進(jìn)行了解釋。結(jié)果表明，阻尼系數(shù)對非線性低頻隔振系統(tǒng)的傳遞率的影響與線性系統(tǒng)相似，但是與線性系統(tǒng)不同的是非線性低頻隔振系統(tǒng)的振動傳遞率曲線隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化逐漸向頻率增大的一方偏移，表現(xiàn)出多值特性，且系統(tǒng)的無量綱起始隔振頻率隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化；粘性阻尼比與摩擦阻尼比對曲線骨架沒有影響，隨著非線性剛度系數(shù)和基礎(chǔ)激勵系數(shù)變大，曲線骨架逐漸向頻率較大的方向傾斜，系統(tǒng)不穩(wěn)定性逐漸增加。

將理論結(jié)果與試驗結(jié)果進(jìn)行了對比，并分析了兩者間略有偏差的原因。對比結(jié)果表明，雖然在共振頻率區(qū)間內(nèi)兩者有一定的偏差，但是當(dāng)該非線性低頻隔振系統(tǒng)工作在有效隔振頻段內(nèi)時，理論結(jié)果和試驗吻合良好。

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彭 超(1984-), 男, 博士, 工程師, 主要從事雷達(dá)結(jié)構(gòu)設(shè)計、振動控制及力學(xué)仿真相關(guān)工作。

Vibration Characteristics Analysis of Nonlinear Low-frequency Vibration Isolation System Based on Harmonic Balance Method

PENG Chao，CHENG Lin，WANG Zhi-hai，WU Wen-zhi，YANG Jing

(The38thResearchInstituteofCETC,Hefei230088,China)

The theoretical research on the vibration response and vibration transmissibility of low-frequency nonlinear vibration isolation system is carried out in this paper. Based on the load-displacement experimental data of nonlinear elastic components, a dynamic model of low-frequency nonlinear vibration isolation system is developed and the nonlinear dynamic governing equations are proposed. The harmonic balance method is used to solve the nonlinear equations and approximate expressions of linear harmonic displacement response and vibration transmissibility of the vibration isolation system are derived. In addition, the effect of system parameters on the vibration transmissibility and the shape of curve family is studied, and the reason is interpreted. Comparison of theoretical results and experimental data shows that when the vibration isolation system works in low frequency range, they are well consistent.

nonlinear; low-frequency vibration isolation; harmonic balance method; vibration transmissibility

2015-01-05

O328

A

1008-5300(2015)03-0001-06