彭釗 陳志遙 呂品姬

中國地震局地震研究所(地震大地測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室)武漢市武昌區(qū)洪山側(cè)路40號(hào) 430071

0 引言

鉆孔連續(xù)應(yīng)變觀測(cè)兼具良好的高頻特性與高靈敏度，資料的連續(xù)性強(qiáng)，其中的信息十分豐富，涵蓋了從高頻到零頻的各種地殼運(yùn)動(dòng)信息，同時(shí)包含大量噪聲及干擾信息，噪聲中還包含著儀器隨機(jī)噪聲和各種環(huán)境影響周期成分，這些特性要求在進(jìn)行時(shí)序資料的處理時(shí)要做到:理論完備、計(jì)算穩(wěn)定簡便，以便快速處理大量的高頻時(shí)序數(shù)據(jù)且便于分析其地球物理內(nèi)涵;擬合及插值精度高，以免許多微弱的地殼運(yùn)動(dòng)信息被當(dāng)做噪聲處理;能夠有效進(jìn)行信息分離和特征提取，以分辨地殼信息及各種噪聲的特征和變化規(guī)律。目前觀測(cè)資料的處理方法有多項(xiàng)式擬合、切比雪夫曲線擬合等，隨著臺(tái)站數(shù)量的增多和觀測(cè)技術(shù)的進(jìn)步，這些方法逐漸顯得較為復(fù)雜，且分析得到的信息不夠充分。因此，很多學(xué)者在探討一種功能較完備且簡單易行的方法。本文介紹的多面函數(shù)擬合法是比較適合鉆孔連續(xù)應(yīng)變觀測(cè)資料處理的較優(yōu)秀的方法。

1 多核函數(shù)法

1.1 多核函數(shù)法的基本思想

多面函數(shù)擬合法由Hardy(1978)提出，基本思想是任何數(shù)學(xué)表面和任何不規(guī)則的圓滑表面，總可以通過一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的合成，以任意精度逼近。其二維數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中qj(x，y，xj，yj)為核函數(shù)，(xj，yj)為核點(diǎn)的坐標(biāo)，cj為待定系數(shù)。核函數(shù)在理論上可以任意選擇，但在地殼形變分析中，一般是一個(gè)非常簡單的曲面函數(shù)，通常是“鐘”形或“缽”形曲面函數(shù)，常用的“鐘”形核函數(shù)有倒雙曲函數(shù)、倒數(shù)型函數(shù)和高斯函數(shù)等，常用的“缽”形核函數(shù)有雙曲函數(shù)等。多面函數(shù)法最初用于地殼垂直形變分析，后廣泛應(yīng)用于大地測(cè)量各方面，國內(nèi)在20世紀(jì)90年代初就有學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了應(yīng)用和研究，陶本藻等(2003)研究了該方法的數(shù)學(xué)模型，劉經(jīng)南等(2001、2002)把該方法應(yīng)用于地殼水平運(yùn)動(dòng)和應(yīng)變場(chǎng)的描述。

1.2 核函數(shù)參數(shù)的選取

根據(jù)核函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)將其用于一維自變量的情況時(shí)(楊國華等，1990;楊博等，2010)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

多面函數(shù)的擬合效果與效用不僅取決于核函數(shù)的個(gè)數(shù)，還取決于核函數(shù)的選取與核函數(shù)點(diǎn)及其間隔的選取，需要根據(jù)處理數(shù)據(jù)的具體情況合理選擇。假如處理的是時(shí)序資料，其最優(yōu)模型為

式中qT=(q1，…，qm)為核函數(shù)系數(shù)，CT=(c1，…，cm)為待定參數(shù)，m為核函數(shù)個(gè)數(shù)。用最小二乘法求解待定參數(shù)。

由此可以列出誤差方程為

法方程為

因此待定參數(shù)c的求解表達(dá)式為

式中Q為根據(jù)核函數(shù)

所組成的誤差方程系數(shù)矩陣，(4)式中的L為由觀測(cè)數(shù)據(jù)所組成的觀測(cè)量值矩陣，N=QTQ，W=QTL，只要QTQ滿足非奇，根據(jù)以上各式可以計(jì)算得到待定參數(shù)c以及擬合值中誤差

由中誤差M的大小來衡量擬合的效果。

就核函數(shù)的選擇而言，選擇形態(tài)較簡單“鐘”形或“缽”形函數(shù)較為可靠，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)較為密集時(shí)，選擇“鐘”形函數(shù)較為實(shí)用(楊國華等，1990)，由于鉆孔應(yīng)變觀測(cè)時(shí)序資料采樣率高，時(shí)間連續(xù)性好，因此本文采用“鐘”形高斯型核函數(shù)

式中a為冪次值，k為平滑因子。影響擬合效果的主要是核函數(shù)點(diǎn)和冪次a的選擇，若核函數(shù)的形式一旦選定，則平滑因子k的改變也將影響擬合效果，不過一般來講影響較小。

現(xiàn)利用實(shí)際觀測(cè)資料討論核函數(shù)參數(shù)的選取，選擇云南省昭通臺(tái)分量式鉆孔應(yīng)變儀2014年1月1～3日的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)算，且年初臺(tái)站儀器經(jīng)過調(diào)零，數(shù)據(jù)可靠性提高。通過對(duì)原始觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)定和換算(邱澤華等，2009)，得到EW和NS分量應(yīng)變變化分鐘值時(shí)間序列(圖1)。

圖1 昭通臺(tái)EW分量、NS分量應(yīng)變的時(shí)序變化曲線

平滑因子k越大，核函數(shù)越平緩，單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)擬合的影響越小(齊娜等，2010)，由圖1可知時(shí)序數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)密集，曲線較平滑，故k取較大值為宜，本文取10000;核函數(shù)點(diǎn)的選擇從觀測(cè)時(shí)間開始按等間隔確定，分別取60、90、120、180、240、300min作為時(shí)間間隔;冪次a的初始值設(shè)定為0.8，增量為0.05，逐漸累加并逐一計(jì)算相應(yīng)的中誤差，得到的結(jié)果如圖2和圖3，并以中誤差的大小作為衡量與選擇的標(biāo)準(zhǔn)。

圖2、3表明濾波結(jié)果與核函數(shù)點(diǎn)的間隔、冪次值大小密切相關(guān)。當(dāng)冪次值為0.5～3.5、核點(diǎn)間隔小于240min(4h)時(shí)，同一冪次值下，中誤差隨著核點(diǎn)間隔的增大而增大，同一核點(diǎn)間隔下，大部分區(qū)間內(nèi)中誤差隨著冪次的增大而減小，但在冪次值約等于整數(shù)2、3的小范圍區(qū)間內(nèi)結(jié)果不穩(wěn)定，中誤差增大，這表明當(dāng)冪次a取近似整數(shù)時(shí)結(jié)果常不穩(wěn)定，應(yīng)該盡量避免，這與楊國華等(1990)的研究結(jié)果一致;當(dāng)冪次超過3.5并逐漸增大時(shí)，擬合精度逐漸降低，計(jì)算結(jié)果趨于不穩(wěn)定，核點(diǎn)間隔越小，趨于不穩(wěn)定的臨界冪次值越小，核點(diǎn)間隔大于180min(3h)的情況下，冪次小于3.5時(shí)擬合結(jié)果都是穩(wěn)定的;但當(dāng)核點(diǎn)間隔小于3h的情況下，臨界冪次都小于3.5。核點(diǎn)間隔90～120min時(shí)，臨界冪次大約為3;而當(dāng)核點(diǎn)間隔減小到60min時(shí)，臨界冪次降到約2.5。表明雖然擬合中誤差大致隨著核點(diǎn)間隔的較小而降低，其計(jì)算穩(wěn)定性也隨之降低，因此核點(diǎn)間隔并不是越小越好，應(yīng)根據(jù)具體情況加以選擇。綜合來看，核點(diǎn)間隔取90min，冪次取2.6是一個(gè)較優(yōu)的選擇，此時(shí)中誤差為0.0039(EW分量)和0.0036(NS分量)。

圖2 核函數(shù)間隔與中誤差變化關(guān)系(EW分量)

圖3 核函數(shù)間隔與中誤差變化關(guān)系(NS分量)

2 結(jié)果分析

2.1 擬合結(jié)果分析

圖2和圖3的擬合結(jié)果清楚地說明擬合效果受控于核函數(shù)點(diǎn)的間隔大小，實(shí)際上核函數(shù)點(diǎn)間隔的長短主要體現(xiàn)了信息的不同頻域，當(dāng)核函數(shù)點(diǎn)的間隔越長，所顯現(xiàn)的信息越趨于低頻，反之亦然。冪次則影響同一信息頻域的擬合效果，冪次越大，單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)擬合結(jié)果的影響就越大，鉆孔應(yīng)變儀置于鉆洞中進(jìn)行觀測(cè)，隔絕了地表諸多自然與人類的干擾，但是由于鉆孔應(yīng)變儀觀測(cè)精度高，而且時(shí)間連續(xù)性好，故觀測(cè)數(shù)據(jù)除了應(yīng)變固體潮和各頻段的地殼應(yīng)變信息外，還夾雜有大量的大小不一、頻段各異的干擾和噪聲信息，因此擬合函數(shù)的冪次不宜過大。

圖4 核點(diǎn)間隔與擬合中誤差的關(guān)系

圖4給出的核點(diǎn)間隔與擬合中誤差的關(guān)系表明誤差在不同頻譜范圍所占的比重:EW分量和NS分量總體趨勢(shì)上中誤差隨著核點(diǎn)間隔的增大而增大，體現(xiàn)出鉆孔應(yīng)變時(shí)序觀測(cè)數(shù)據(jù)中信息豐富，頻域分布廣，符合鉆孔應(yīng)變觀測(cè)本身的特點(diǎn);核點(diǎn)間隔小于90min(1.5h)時(shí)，中誤差變化小，在90～240min內(nèi)中誤差明顯增大，它表明時(shí)序觀測(cè)數(shù)據(jù)中的干擾和噪聲信息主要集中在90～240min(1.5～4.0h)的周期內(nèi)，由臺(tái)站觀測(cè)日志的記載可知該時(shí)期基本沒有大的地震或人為干擾，因此該時(shí)期的干擾和噪聲信息應(yīng)該是主要來自周圍短期環(huán)境變化，核點(diǎn)間隔在240min以上時(shí)，EW分量中誤差較穩(wěn)定，變化率較小，而NS分量240min以上區(qū)間的中誤差變化率明顯大于60～90min區(qū)間，這可能反映了NS方分量上某種低頻長周期的地殼運(yùn)動(dòng)趨勢(shì);而NS分量中誤差的平均值比EW分量略小，這可能表明NS分量的觀測(cè)環(huán)境較EW方向的好，也可能反映了NS方向上某種低頻長周期的地殼運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)代表了該方向的應(yīng)變變化的主要影響因素，而EW方向沒有整體的應(yīng)變變化趨勢(shì)，故而背景中誤差略大。

圖5 昭通臺(tái)EW分量時(shí)序數(shù)據(jù)擬合結(jié)果和殘差

圖5和圖6選擇的核點(diǎn)間隔為90min，核函數(shù)選擇的是高斯核函數(shù)，冪次c和平滑系數(shù)k分別為2.6與10000時(shí)昭通臺(tái)時(shí)序資料的擬合結(jié)果和相應(yīng)的殘差，由圖可知EW向和NS向平均殘差都在±0.01以內(nèi)，擬合結(jié)果較好，僅兩側(cè)端點(diǎn)處殘差較大，是端點(diǎn)效應(yīng)所致，要消除端點(diǎn)效應(yīng)，可多取邊界外一段數(shù)據(jù)參與擬合計(jì)算。該方法可用于時(shí)序數(shù)據(jù)的插值、預(yù)處理等，并可以擬合殘差為判斷因子，以數(shù)倍中誤差或合適值為閥值，應(yīng)用于異常識(shí)別及自動(dòng)報(bào)警系統(tǒng)，另外，由于得到了時(shí)序數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)解析式，方便了進(jìn)一步的信息分離、趨勢(shì)分析等計(jì)算。

圖6 昭通臺(tái)NS分量時(shí)序數(shù)據(jù)擬合結(jié)果和殘差

2.2 與多項(xiàng)式擬合結(jié)果的對(duì)比

使用多項(xiàng)式擬合法對(duì)昭通臺(tái)該段時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，采用21階多項(xiàng)式擬合結(jié)果如圖7，擬合中誤差分別為0.0062(EW分量)和0.0076(NS分量)，將該結(jié)果與多面函數(shù)擬合法進(jìn)行比較，可知:

圖7 昭通臺(tái)時(shí)序資料多項(xiàng)式擬合結(jié)果及殘差

(1)多面函數(shù)法擬合結(jié)果精度較高，中誤差大約是多項(xiàng)式擬合法的50%，且多項(xiàng)式擬合法的擬合精度隨著階數(shù)的下降而快速下降，當(dāng)階數(shù)為10時(shí)，擬合中誤差增大到0.08左右，而多面函數(shù)法擬合精度受核點(diǎn)間隔與冪次的改變影響較小，核點(diǎn)間隔60～180min，冪次在2～3.5變化時(shí)，擬合中誤差都在0.02以下，計(jì)算穩(wěn)定性和可靠性也高于多項(xiàng)式擬合法。

(2)多項(xiàng)式擬合殘差曲線與原始數(shù)據(jù)曲線相似，原始數(shù)據(jù)變化大的時(shí)段擬合殘差也大，說明多項(xiàng)式擬合精度受圖形形狀影響較大，而多面函數(shù)擬合殘差在整個(gè)時(shí)段上分布比較均勻，受圖形形狀影響較小，可靠性比多項(xiàng)式擬合要高。

(3)兩種方法都有較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)，同時(shí)計(jì)算也比較簡單，適于計(jì)算機(jī)自動(dòng)處理，但都存在端點(diǎn)效應(yīng)，需注意避免。

3 結(jié)語

本文利用多面函數(shù)法擬合昭通臺(tái)分量式鉆孔應(yīng)變儀2014年1月1～3日EW向和NS向時(shí)序觀測(cè)數(shù)據(jù)，得到了擬合函數(shù)解析式，通過對(duì)誤差的比較分析討論了參數(shù)選擇，討論了其物理內(nèi)涵并與多項(xiàng)式擬合的結(jié)果進(jìn)行了簡要對(duì)比。

分析表明，昭通臺(tái)的鉆孔應(yīng)變儀觀測(cè)環(huán)境穩(wěn)定，信息豐富，頻域分布廣，人為干擾少，數(shù)據(jù)質(zhì)量好;環(huán)境干擾噪聲周期主要集中在90～240min(1.5～4h)內(nèi);NS方向上可能存在某種低頻長周期的地殼運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。綜上所述，多核函數(shù)法在鉆孔應(yīng)變時(shí)序資料的擬合、信息分離等處理上有精度高、計(jì)算簡單可靠性好、功能完備等鉆孔應(yīng)變數(shù)據(jù)處理要求的特點(diǎn)，同時(shí)相對(duì)于多項(xiàng)式擬合等方法它還兼有如下優(yōu)點(diǎn):①時(shí)序資料處理中很容易完成不同頻段信息的提取與分離;②能得到數(shù)學(xué)解析式，參數(shù)及擬合值精度評(píng)定嚴(yán)謹(jǐn)，可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步分析;③計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定，擬合殘差分布不受圖形形狀影響。因此，多面函數(shù)法不失為一種處理鉆孔應(yīng)變連續(xù)觀測(cè)時(shí)序資料較優(yōu)秀的方法。