姜啟芳，崔仁浩，劉萍

（哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150025）

一類具有保護(hù)區(qū)域的Leslie-Gow er捕食-食餌模型的分歧分析

姜啟芳，崔仁浩，劉萍

（哈爾濱師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150025）

研究了一類Neumann邊界條件下帶有保護(hù)區(qū)域的Leslie-Gower捕食-食餌模型，分析穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)從半平凡解處發(fā)生分歧的條件，得到了分歧方向及分歧值的唯一性，得到了在確定參數(shù)范圍內(nèi)，從半平凡解出發(fā)的分支解曲線的穩(wěn)定性.

保護(hù)區(qū)域；捕食-食餌模型；分歧；唯一性；穩(wěn)定性

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.004

1 引言

捕食-食餌模型是用來(lái)描述兩物種之間相互作用關(guān)系的微分方程模型.最早由美國(guó)的化學(xué)生物學(xué)家Lotka［1］和意大利的數(shù)學(xué)家Volterra［2］提出.其形式為：

其中λ,μ,b,c＞0.考慮到捕食者捕食食餌的能力是有限的，Solomon［3］和Holling［4］引進(jìn)了捕食者的響應(yīng)函數(shù)，其中帶有Holling II型響應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型具有如下形式：

反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)也被稱為擴(kuò)散種群系統(tǒng)，其形式為：

在捕食-食餌型的反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中，為食餌建立一個(gè)保護(hù)區(qū)域是指食餌可以自由進(jìn)出保護(hù)區(qū)域，而捕食者只能生活在保護(hù)區(qū)域以外.文獻(xiàn)［5］考慮了保護(hù)區(qū)域?qū)в袕?qiáng)A llee效應(yīng)的捕食-食餌型反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的影響.文獻(xiàn)［6］應(yīng)用穩(wěn)態(tài)分歧和Hope分歧理論研究了帶有Holling II型響應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解和周期解的存在性和穩(wěn)定性.文獻(xiàn)［7］研究了帶有Holling II型響應(yīng)函數(shù)的擴(kuò)散Leslie-Gower捕食-食餌模型的正穩(wěn)態(tài)解的存在性、多解性、唯一性及分歧結(jié)構(gòu).

繼續(xù)文獻(xiàn)［7］的研究工作，本文研究Neumann邊界條件下帶有保護(hù)區(qū)域的Leslie-Gower捕食-食餌模型：

2 預(yù)備知識(shí)

首先介紹本文的主要工具-著名的Crandall-Rabinow itz單參數(shù)分歧定理.

引理 2.1［8］若U是（λ0,u0）∈R×X的一個(gè)鄰域，F(xiàn)：U→Y是一個(gè)二次連續(xù)可微映射，對(duì)于任何（λ,u0）∈U，F(xiàn)（λ,u0）=0，在（λ0,u0）處F滿足

和

其中N（Fu（λ0,u0））=span｛ω0｝.設(shè)Z是span｛ω0｝在X中的一個(gè)補(bǔ)空間，則F（λ,u）=0的解集在（λ0,u0）附近為一條連續(xù)可微的曲線

其中λ（0）=λ0,z（0）=z′（0）=0.進(jìn)一步地可知，

如果λ′（0）=0,且F在（λ0,u0）附近是三次連續(xù)可微的，則

其中θ滿足

引理 2.2［9］令F,Z,λ0,ω0如引理2.1定義，且（λ（s）,u（s））是引理2.1定義的解曲線.假設(shè)對(duì)任意K∈B（X,Y）,μ=0是 Fu（λ0,u0）的K-單特征值.那么存在ε＞0,γ∈C1, γ：（λ0?ε,λ0+ε）→R,μ：（?ε,ε）→R,v：（λ0?ε,λ0+ε）→X,ω：（?ε,ε）→X使得

3 從半平凡解出發(fā)的分歧

考慮模型（1）的穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)：

應(yīng)用引理2.1，以a1為分歧參數(shù)，考慮穩(wěn)態(tài)方程組（2）從半平凡解Γ處分支出來(lái)正解的解曲線，其中

對(duì)任意p＞N，定義

以及

（a1（s）,u（s）,v（s））是關(guān)于s的光滑函數(shù)，并且滿足

其中?＞0是

證明 定義映射F：R×X1×X2→Y1×Y2,

首先給出F在（a1,u,v）處的Frchet導(dǎo)數(shù)

將（5）式的第一個(gè)式子乘以ξ1，（6）式的第一個(gè)式子乘以?，兩式積分相減得到

這樣

即

又因?yàn)?/p>

所以

進(jìn)一步，有

故

且滿足

其中l(wèi)定義為：

將（a1n,un,vn）代入系統(tǒng)（2）的第一個(gè)式子并在等式兩端同時(shí)除以∥un∥Lp（?）.對(duì)任意n≥1,有

等價(jià)于

這樣，當(dāng)n→∞時(shí)，

對(duì)（10）式兩端取極限，則有

等價(jià)于

將（5）式的第一個(gè)式子乘以φ,（11）式的第一個(gè)式子乘以?,兩式在?上積分相減得

4 分歧解支的穩(wěn)定性

最后討論從半平凡解發(fā)生分歧解支的穩(wěn)定性.

證明 令（a1,u,v）=（a1（s）,u（s）,v（s））.那么系統(tǒng)（2）在（u,v）處的線性化可表示為：

其中

令s→0+,有

由線性算子的小擾動(dòng)理論［10］，對(duì)充分小的s＞0,F（u，v）（a1（s）,u（s）,v（s））有唯一特征值μ（s）,滿足當(dāng)s→0+時(shí)，μ（s）→0,F（u，v）（a1（s）,u（s）,v（s））的所有其他特征值的實(shí)部是正的.記

對(duì)任意s＞0,確定Re（μ）的符號(hào).令（ξ,η）為特征值μ所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，使得當(dāng)s→0+時(shí)，（ξ,η）→（?,ψ）,那么（ξ,η）滿足：

將（12）式的第一個(gè)式子兩端同時(shí)乘以u(píng),然后在?上積分，得到

在系統(tǒng)（2）的第一個(gè)式子兩端乘以ξ,然后在?上積分且由（u,v）=（u（s）,v（s）），得到

兩式相減得

即

因?yàn)楫?dāng)s→0+時(shí)，（ξ,η）→（?,ψ）,由（7）式

可得

在（15）式中取實(shí)部，同時(shí)除以s2,令s→0+,由（8）式，有

且（u（s）,v（s））是穩(wěn)定的.

［1］Lotka A J.Analytical note on certain rhythm ic relations in organic system s［J］.Proc.Natl.Acad.Sci.，1920，6：410-415.

［2］Volterra V.Fluctuations in the abundance of species，considered m athem atically［J］.Nature，1926，118：558 -560.

［3］Solom on M E.The natural control of anim al popu lations［J］.J.Anim.Ecol.，1949，18：1-35.

［4］Holling C S.Some characteristics of sim p le types of predation and parasitism［J］.Canadian Entomologist，1959，91：385-398.

［5］CuiR H，Shi JP，Wu B Y.Strong A llee ef ect in a dif usive predator-prey system w ith a protection zone［J］. J.D if erential Equations，2014，256：108-129.

［6］Yi F Q，Wei J J，Shi J P.Bifurcation analysis of a dif usive predator-prey system w ith Holling type-II funcation response［J］.J.Dif erential Equations，2009，246：1944-1977.

［7］Zhou J，Shi JP.The existence，bifurcation and stability of positive stationary solutions of a dif usive Leslie-Gower predator-prey m odelw ith Holling-type II function responses［J］.J.M ath.Anal.App l.，2013，405：618-630.

［8］Crandall M G，Rabinow itz P H.Bifurcation from sim p le eigenvalues［J］.J.Funct.Anal.，1971，8：321-340.

［9］Crandall M G，Rabinow itz P H.Bifurcation，perturbation of sim p le eigenvalues and linearized stability［J］. Aech.Rational M ech.Anal.，1973，52：161-180.

［10］Kato T.Perturbation Theory for Linear Operators［M］.New York：Springer，1996.

2010 M SC：35B32

B ifu rcation analysis in a class of Leslie-Gow er p redator-p rey m odel w ith a p rotection zone

Jiang Qifang，Cui Renhao，Liu Ping
（School of Mathematical Science，Harbin Normal University，Harbin 150025，China）

In this paper，we consider a class of Leslie-Gower predator-prey system w ith p rotection zone for the prey under Neum ann boundary condition.The bifurcation condition and direction from the sem i-trivial solution are analyzed and the uniqueness of the bifurcation value is obtained.Moreover，we show the stability of the positive solutions bifurcating from the sem i-trivial solution under certain conditions.

protection zone，predator-prey m odel，bifurcation，uniqueness，stability

O175.23

A

1008-5513（2015）02-0136-10

2014-11-04.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11401144）；黑龍江省留學(xué)歸國(guó)人員科學(xué)基金（LC2013C01）.

姜啟芳（1989-），碩士生，研究方向：偏微分方程.

劉萍（1977-），博士，教授，研究方向：偏微分方程.