李妮，王連堂

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127）

混合邊界下開(kāi)弧外區(qū)域聲波散射問(wèn)題的數(shù)值解法

李妮，王連堂

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127）

關(guān)于時(shí)間調(diào)和聲波在一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)體上的散射，可以轉(zhuǎn)化為R2中一段光滑開(kāi)弧上的散射問(wèn)題.利用單雙層位勢(shì)來(lái)逼近散射波，通過(guò)單雙層位勢(shì)在開(kāi)弧兩側(cè)的跳躍關(guān)系建立了混合邊界的積分方程組，然后對(duì)此方程組進(jìn)行參數(shù)化和離散化，最終得到離散化后的積分方程組.此邊界積分方程組的解是存在唯一的.

開(kāi)弧；混合邊界；積分方程組

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.007

1 引言

關(guān)于時(shí)間調(diào)和的聲波在一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)圓柱形導(dǎo)體上的散射問(wèn)題（此圓柱形導(dǎo)體的截面為一段開(kāi)區(qū)域），可以歸結(jié)為R2中一段開(kāi)弧上的散射問(wèn)題.對(duì)于此類問(wèn)題的研究不是特別多.開(kāi)弧上的正、反散射問(wèn)題最早是由K ress在1995年開(kāi)始研究的，在文獻(xiàn)［1］中K ress考慮了一段兩邊均滿足Dirichlet邊界條件下開(kāi)弧上的正反散射問(wèn)題.1997年，文獻(xiàn)［2］對(duì)同樣的散射問(wèn)題考慮了開(kāi)弧兩邊均滿足Neumann邊界的情況.2011年，文獻(xiàn)［3］對(duì)具有混合邊界的開(kāi)弧問(wèn)題解的存在性和唯一性進(jìn)行了證明.本文對(duì)一段開(kāi)弧的兩側(cè)分別滿足Dirichelt和Neumann邊界條件下開(kāi)弧散射問(wèn)題進(jìn)行研究，將開(kāi)弧上的時(shí)間調(diào)和聲波的散射問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下的Helmholtz方程混合邊值問(wèn)題.假設(shè)Γ?R2是光滑開(kāi)弧，它可以參數(shù)化表示為：

Z：［?1,1］→R2是單射且是二次連續(xù)可微函數(shù).開(kāi)弧的兩個(gè)端點(diǎn)分別為：

以及混合邊界條件

全場(chǎng)u=ui+us，入射波ui=eikx·d，未知散射波us滿足Sommerfeld輻射條件：

其中

文獻(xiàn)［4］中已經(jīng)證明了問(wèn)題（1）-問(wèn)題（3）至多只有一個(gè)解.

為了后續(xù)研究，本文把開(kāi)弧Γ擴(kuò)展成任意一個(gè)按段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線?D，它所包圍的有界區(qū)域記為D，這樣Γ上的單位法向量就與邊界?D上的單位法向量重合.本文采用單雙層混合位勢(shì)逼近散射波，利用單雙層位勢(shì)的跳躍關(guān)系導(dǎo)出邊界積分方程組，然后對(duì)該方程組進(jìn)行參數(shù)化和離散化.

2 數(shù)值求解方法

2.1 邊界積分方程組

利用單雙層混合位勢(shì)

逼近散射波，其中

這里

2.2 積分方程組的參數(shù)化

假設(shè)?？梢杂脜?shù)方程表示為：

則邊界積分方程組可以表示為如下參數(shù)方程形式：

其中

特別當(dāng)t=τ時(shí)，

C是歐拉常數(shù).令t=cos（s）,τ=cos（σ），并且給第一個(gè)方程乘以sin（s）|z′（cos（s））|，根據(jù)恒等式

積分方程組變成

2.3 積分方程組的離散化

數(shù)值求解方程組（6），選取等距節(jié)點(diǎn)

根據(jù)如下積分公式：

積分方程組離散化的方程組為：

其中

根據(jù)遠(yuǎn)程模式與散射場(chǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

以及利用Hankel函數(shù)的漸進(jìn)性得：

其所對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程形式為：

這樣把用（7）式解出來(lái)的ψ1（τ）,ψ2（τ）代入到上式就可以得到給定的邊界所對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)模式.

［1］K ress R.Inverse scattering from an open arc［J］.M ath.M ethods App l.Sci.，1995，18（26）：267-293.

［2］M onch L.On the inverse acoustic scattering p roblem by an open arc：on the sound-hard case［J］.Inverse Problem s，1997，17（13）：1379-1392.

［3］梁國(guó)政.具有混合裂縫散射問(wèn)題的邊界積分方程方法［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)：A輯，2011，31（5）：1167-1175.

［4］Cloton D，K ress R.Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory［J］.Inverse Prob lem s，2003，47（15）：68-109.

［5］Cloton D，K ress R.Intergral Equation Methods in Scattering Theory［M］.New York：W iley Springer Verlag，1993.

2010 M SC：35B32

The num erical solu tion ofm ixed borders acoustic scattering p rob lem s on open arc area

Li Ni，Wang Liantang
（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an 710127，China）

The acoustic scattering on an in fnitely long cylind rical conductor can be converted tom ixed bound ry value problem of Helm holtz functions for som e sm ooth open the arc.In this paper，using a single double-potential to approxim ate scattering waves and according to potential theory and jum p relations we establish the m ixed boundary integral equations.Then this system of equations is discreted and parametered.The existence and uniqueness of solution to the boundary integral equations can be proved.

open arc，m ixed boundary，integral equations

O175.23

A

1008-5513（2015）02-0164-07

2014-05-17.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11401144）.

李妮（1987-），碩士生，研究方向：數(shù)學(xué)物理方程.