吳玉，范愛華

（安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032）

關(guān)于可列非齊次馬氏鏈的若干極限定理

吳玉，范愛華

（安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032）

設(shè)｛Xn,n≥0｝是一列非齊次馬爾科夫鏈，｛an,n≥0｝是一列固定的非負(fù)整數(shù)序列.首先構(gòu)造了一個(gè)帶參數(shù)的廣義似然比函數(shù)，然后利用Borel-Cantelli引理證明隨機(jī)變量序列幾乎處處收斂性，得到了關(guān)于可列非齊次馬氏鏈序偶廣義平均的若干極限定理，推廣了已有的結(jié)果.

可列非齊次馬氏鏈；B-C引理；強(qiáng)大數(shù)定律

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.009

1 引言

許多學(xué)者已對(duì)可列非齊次離散時(shí)間馬爾科夫鏈的極限定理作了大量研究，取得了豐富的成果.自上世紀(jì)八十年代以來，劉文教授和楊衛(wèi)國教授及合作者在馬氏鏈場方面做了許多工作.如：文獻(xiàn)［1-2］利用分析方法研究了可列非齊次馬氏鏈關(guān)于狀態(tài)和狀態(tài)序偶出現(xiàn)頻率的強(qiáng)大數(shù)定律.文獻(xiàn) ［3］利用研究有限非齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定律，研究了有限非齊次馬氏鏈的Shannon-M cM illan定理.近年來，也有很多學(xué)者在這些方面做出了很多成果.如：文獻(xiàn)［4］給出了可列狀態(tài)下m重非齊次馬氏鏈的一個(gè)強(qiáng)大數(shù)定律.文獻(xiàn)［5］給出了一類對(duì)可列非齊次馬氏鏈普遍成立的強(qiáng)大數(shù)定理，并且在幾乎處處收斂的意義下，給出了任意非齊次馬氏鏈狀態(tài)序偶出現(xiàn)頻率和轉(zhuǎn)移概率的一種關(guān)系.文獻(xiàn)［6］通過構(gòu)造新的概率密度函數(shù)，在適當(dāng)?shù)南拗茥l件下建立了幾乎處處收斂鞅，得到了關(guān)于非負(fù)隨機(jī)序列和的強(qiáng)大數(shù)定律和一類隨機(jī)偏差定理.

本文證明了隨機(jī)變量幾乎處處收斂性，獲得了關(guān)于可列非齊次馬氏鏈序偶廣義平均的若干極限定理，進(jìn)一步得到了可列非齊次馬氏鏈M 元狀態(tài)序偶組出現(xiàn)頻率的一類強(qiáng)極限定理，所得結(jié)論對(duì)任意可列非齊次馬氏鏈普遍成立，推廣了若干已有的結(jié)果.在證明方法上，文獻(xiàn)［7］是利用傳統(tǒng)的區(qū)間分割來構(gòu)造單調(diào)函數(shù)，然后利用單調(diào)函數(shù)幾乎處處有導(dǎo)數(shù)的Lebesgue定理來證明隨機(jī)序列的幾乎處處收斂性，但對(duì)于本文研究的廣義平均來說，則無法運(yùn)用該方法獲得幾乎處處有導(dǎo)數(shù)的單調(diào)函數(shù)，因而區(qū)間分割法對(duì)于本文研究的問題就失效了.為此，本文采取了新的證明思路，即直接構(gòu)造帶參數(shù)的廣義似然函數(shù)，然后運(yùn)用Borel-Cantelli引理，獲得隨機(jī)序列的幾乎處處收斂性.

2 主要結(jié)論

定理2.1 設(shè)｛Xn,n≥0｝是以S=｛1,2,3,···｝為狀態(tài)空間的Markov鏈，其初始分布與轉(zhuǎn)移概率矩陣列分別為：

其中

又設(shè)k,l∈S是兩個(gè)固定的狀態(tài)，｛wm,m≥0｝是一列實(shí)數(shù)，且

設(shè)｛an,n≥0｝是一列固定的正整數(shù).令D1為滿足下列條件的點(diǎn)ω的全體.

則

其中1A（·）是示性函數(shù)，即

由馬氏性，有

其中

注意到

有

于是，歸納地有

?ε＞0，由M arkov不等式有

則

由Borel-Cantelli引理，有

即

當(dāng)λ＞1時(shí)，將（19）式兩邊同時(shí)除以lnλ，可得

故

取λ＞1，使λ→1，則由（21）式，有

由（22）式有

同理可得

由（23）式和（24）式有

定理2.2 在定理2.1的假設(shè)條件下，令

則

證明 令

由

注意到

由此，歸納地有

類似定理2.1的證明，得

于是

取λ＞1，將（35）式兩邊同除以λ，得

由上極限的性質(zhì)

并且利用不等式0≤ln（1+x）≤x（x≥0）及（26）式，（35）式，得

取λ＞1使λ→1，則由（38）式得

同理，有

由（36）式、（39）式，得

由此可知，（27）式成立.

推論2.1 令

則

證明 在定理2.2的證明中，取

及wl≡1，即可.

推論2.2 設(shè)

則

證明 在定理2.2中取

由推論2.1可知，若ω∈（［0,1）?D3）∩E，則

由推論2.1，可知

故由（46）式、（48）式可得

設(shè)U是E中使（49）式中的不等式成立的點(diǎn)ω的全體，則由（41）式、（49）式與定理2.2有

由于U?E且μ（U）=μ（E），故由（50）式可知推論2.2成立.

定理2.3 在定理2.1的假設(shè)條件下，則

在幾乎處處的意義下成立的充要條件為：

在幾乎處處的意義下成立.

證明 由定理2.2的推論2.1、推論2.2即得.

注 2.1 在定理2.1，定理2.2以及定理2.3中分別令an≡0即得參考文獻(xiàn)［1-2］，［4］，［7-8］中的相應(yīng)的結(jié)果.

因此，本文所得的結(jié)果是已有結(jié)論的推廣.

［1］劉文，楊衛(wèi)國.可列非齊次馬氏鏈的若干極限定理［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1992，15（4）：479-489.

［2］劉文，楊衛(wèi)國.一類對(duì)可列非齊次M arkov鏈普遍成立的強(qiáng)大數(shù)定律［J］.科學(xué)通報(bào)，1992，37（16）：1448-1451.

［3］楊衛(wèi)國，劉文.關(guān)于Bethe樹上二值馬氏鏈場漸近均分割性［J］.江蘇理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，22（4）：1-6.

［4］楊衛(wèi)國，姜蕾.關(guān)于可列m重非齊次馬氏鏈的一個(gè)強(qiáng)大數(shù)定律［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，28（5）：17-21.

［5］汪忠志，楊衛(wèi)國.關(guān)于相依離散隨機(jī)序列的若干強(qiáng)偏差定理［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2011，31（8）：932-942.

［6］Wang Zhongzhi.A class of random strong deviation theorem s for sum s of nonnegative stochastic sequences and strong law of large numbers［J］.Stat.Probab.Letts.，2006，78：3281-3287.

［7］金少華.可列非齊次馬氏鏈的一個(gè)強(qiáng)極限定理［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，1997，10（1）：42-45.

［8］金少華，蘭景濤，張會(huì)鵬.關(guān)于可列非齊次馬爾科夫鏈的一個(gè)強(qiáng)極限定理及其推廣［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（4）：21-29.

2010 M SC：60F15

Som e lim it theorem s for non-hom ogeneous M arkov chains

Wu Yu，F(xiàn)an Aihua

（School of M athem atics&Physics Science and Engineering，Anhui University of Technology，M a′anshan 243032，China）

Let｛Xn，n≥0｝be a sequence of nonhom ogeneous M arkov chains and｛an，n≥0｝be a f xed sequence of non-negative integers.In this paper，we f rst construct a generalized likelihood ratio function w ith a parameter，then by using the Borel-Cantelli Lemma to prove the almost everywhere convergence of random variab les，we obtain som e lim it theorem s for countable nonhom ogeneous M arkov chains of ordered coup le of generalized m ean，which generalize som e existing results.

nonhomogeneous Markov chain，B-C Lemma，strong law of large numbers

O 211.62

A

1008-5513（2015）02-0182-12

2014-09-17.

安徽工業(yè)大學(xué)青年教師科研基金（QZ201314）；安徽省自然科學(xué)基金（1408085M A 04）；安徽工業(yè)大學(xué)研究生創(chuàng)新基金（2013093）.

吳玉（1991-），碩士生，研究方向：概率論及其應(yīng)用.

范愛華（1964-），碩士，教授，研究方向：概率極限理論.