元志芳，王連堂

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127）

一些特殊函數(shù)的完全單調(diào)性

元志芳，王連堂

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710127）

歐拉Gamma函數(shù)是一種非常重要的函數(shù)，在數(shù)學(xué)的許多分支以及物理、工程等學(xué)科中都有著十分重要的作用.而完全單調(diào)性以及對(duì)數(shù)完全單調(diào)性是Gamma函數(shù)的重要性質(zhì).主要證明了一些包含Gamma函數(shù)和Psi函數(shù)在內(nèi)的特殊函數(shù)的完全單調(diào)性和對(duì)數(shù)完全單調(diào)性，并由此推出了一些重要的不等式.

完全單調(diào)性；對(duì)數(shù)完全單調(diào)性；Gamma函數(shù)；Psi函數(shù)；充分必要條件

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.003

1 引言

函數(shù)f被稱(chēng)作是區(qū)間I上的完全單調(diào)函數(shù)，如果f在區(qū)間I上的各階導(dǎo)數(shù)都存在，且滿足

如果此不等式嚴(yán)格大于零，則稱(chēng)函數(shù)f在區(qū)間I上是嚴(yán)格完全單調(diào)的［1］.

正函數(shù)f被稱(chēng)作是區(qū)間I上的對(duì)數(shù)完全單調(diào)函數(shù)，如果它的對(duì)數(shù)ln f滿足

如果此不等式嚴(yán)格大于零，則稱(chēng)f在I上是嚴(yán)格對(duì)數(shù)完全單調(diào)的［2］.

區(qū)間I上的對(duì)數(shù)完全單調(diào)函數(shù)，也是區(qū)間I上的完全單調(diào)函數(shù)［3］.

著名的歐拉Gamma函數(shù)的定義為：

2 引理

為了證明本文的主要結(jié)論，先給出下面的引理.

引理 2.1［5-6］對(duì)任意的正整數(shù)n和正實(shí)數(shù)x，下列結(jié)論成立：

引理 2.2［6］當(dāng)x→∞時(shí)，下列結(jié)論成立：

3 主要結(jié)論及證明

文獻(xiàn)［7］中，提出函數(shù)

證明 由引理2.1，得

其中p（t）=（αt+1）et?（αt+t+1）（t≥0）.通過(guò)計(jì)算得

所以當(dāng)α≥0時(shí)，函數(shù)fα（x）在區(qū)間（0,∞）上是完全單調(diào)函數(shù).

同理，由引理2.1得

其中p（t）是前文定義過(guò)的函數(shù).

為對(duì)數(shù)完全單調(diào)函數(shù).

證明 函數(shù)gβ（x）的對(duì)數(shù)函數(shù)為：

由引理2.1，通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得

其中q（t）=（1?βt）et+（βt?t?1）（t＞0），對(duì)其求導(dǎo)數(shù)得

時(shí)，函數(shù)gβ（x）在區(qū)間（0,∞）上是對(duì)數(shù)完全單調(diào)函數(shù).

若函數(shù)gβ（x）在區(qū)間（0,∞）上是對(duì)數(shù)完全單調(diào)的，則

推論3.1 對(duì)任意的正整數(shù)n，雙向不等式

成立.

由不等式

整理即可得推論3.1的結(jié)論.

文獻(xiàn)［8］中提出函數(shù)

是區(qū)間（?γ,∞）上的完全單調(diào)函數(shù).

證明 函數(shù)hγ（x）的對(duì)數(shù)函數(shù)為：

由引理2.1通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算得

令

若函數(shù)hγ（x）在區(qū)間（?γ,∞）上是對(duì)數(shù)完全單調(diào)的，則［ln hγ（x）］′≤0,即

從而γ≤eψ（x+1）?x,由文獻(xiàn)［9］中的不等式

得

再利用洛必達(dá)法則可計(jì)算得，

證明 由引理2.1得，

且F（0）=F′（0）=F′（0）=0.因?yàn)?/p>

所以

從而函數(shù)F′（t）在區(qū)間（0,∞）上單調(diào)遞增，故F′（t）≥F′（0）=0.所以F′（t）在區(qū)間（0,∞）上也單調(diào)遞增，從而有F′（t）≥F′（0）=0.進(jìn)一步可得，函數(shù)F（t）在區(qū)間（0,∞）上也單調(diào)遞增，所以F（t）≥F（0）=0，從而

且

4 結(jié)束語(yǔ)

Gamma函數(shù)和Psi函數(shù)的完全單調(diào)性對(duì)一些重要不等式的證明、加強(qiáng)與推廣有十分重要的作用.近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多著名的學(xué)者都在從事這方面的研究，對(duì)Gamma函數(shù)和Psi函數(shù)完全單調(diào)性的研究已成為數(shù)學(xué)知識(shí)的新增點(diǎn).

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2010 M SC：33B15

Com p lete m onoton icity of som e specif c functions

Yuan Zhifang，Wang Liantang
（College of M athem atics，Northwest University，X i′an 710127，China）

The classical Euler gamm a function is one of the m ost im portant special functions and hasm any extensive app lications in many branches，for exam p le，statistics，physics，engineering and so on.The comp lete m onotonicity p lay a central role in studying the special functions.In this paper，som e com p letem onotonicity and logarithm ically com p lete m onotonicity of som e functions involving gamm a functions is p roved and som e suf cient and necessary conditions for some special functions to be com p letely monotonic or logarithm ically com p letely m onotonic are proposed.

com p letem onotonicity，logarithm ically com p letely m onotonicity，gamm a function，Psi function，suf cient and necessary conditions

O 174.6

A

1008-5513（2015）02-0129-07

2014-11-17.

陜西省自然科學(xué)基金（2010JM 1017）.

元志芳（1988-），碩士生，研究方向：特殊函數(shù)論.