徐茜，崔菊連，戈西元

（北京聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)部，北京 100101）

一個(gè)趨化性模型非常數(shù)平衡解的存在性

徐茜，崔菊連，戈西元

（北京聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)部，北京 100101）

對(duì)帶兩個(gè)趨化性參數(shù)的趨化性模型平衡解的存在性問(wèn)題進(jìn)行研究.在參數(shù)滿足特定的條件下，應(yīng)用局部分岔理論得到非常數(shù)平衡解的局部分岔結(jié)構(gòu)，從而證明了該趨化性模型存在無(wú)窮多個(gè)非常數(shù)正平衡解.

趨化性模型；平衡解；局部分岔

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.002

1 引言

趨化性是指細(xì)胞的隨機(jī)擴(kuò)散，運(yùn)動(dòng)性和趨化性不僅僅影響細(xì)胞的分布而且影響細(xì)胞的增長(zhǎng)率.文獻(xiàn)［1］提出了一個(gè)帶兩個(gè)化學(xué)物質(zhì)的趨化性模型：

其中w是細(xì)胞的濃度，u,v為化學(xué)物質(zhì)濃度，χ1,χ2表示趨化（敏感度）參數(shù)，Dw,Du和Dv分別是細(xì)胞和化學(xué)物質(zhì)的隨機(jī)擴(kuò)散率；f（u,v）和g（u,v）代表化學(xué)物質(zhì)的產(chǎn)生和消耗.當(dāng)

時(shí)，文獻(xiàn)［2］研究了方程組（1）關(guān)于時(shí)間整體解的一致有界性.近年來(lái)，帶一個(gè)趨化參數(shù)的趨化性模型，得到眾多學(xué)者的廣泛研究，并取得了豐富的研究成果.比如非常數(shù)平衡解的整體分岔結(jié)構(gòu)、分岔解的局部漸近穩(wěn)定性、解的整體存在性等［3-6］.

基于方程組（1），本文研究以下趨化性模型：

目前對(duì)于帶兩個(gè)趨化參數(shù)的趨化性模型，現(xiàn)有的研究結(jié)果還比較少，因此研究方程組（2）的非常數(shù)平衡解的存在性具有一定的理論意義.本文將證明當(dāng)方程組（2）的參數(shù)在一定的條件下，對(duì)于任意給定的常數(shù)平衡解（w?,u?,v?），以χ1作為分岔參數(shù)，方程組（2）存在無(wú)窮多個(gè)非常數(shù)正平衡解.

2 平衡解的局部分岔

本文主要考慮方程組（2）在一維空間的平衡解問(wèn)題，即下列方程組：

由方程組（3）的第一個(gè)方程及邊界條件知，w的總體數(shù)量是守恒的，即

定義 u?=v?=w?，則易知 （w?,u?,v?）是方程組 （3）的一個(gè)常數(shù)平衡解.本節(jié)將應(yīng)用局部分叉理論［7］證明對(duì)于任意給定的 w?＞0，當(dāng) χ1在適當(dāng)范圍內(nèi)取值時(shí)，方程組 （3）有從（w?,u?,v?）分岔出來(lái)的無(wú)窮多個(gè)非常數(shù)的正平衡解.

令

定義映射G：X×X×X×R→Y0×Y×Y×R為：

易知G（w?,u?,v?,χ1）=0，從而方程組（3）等價(jià)于G（w,u,v,χ1）=0.對(duì)任意固定的

其Frechet導(dǎo)數(shù)為：

引理2.1 對(duì)任意固定的（w1,u1,v1）∈X×X×X，

是一個(gè)指標(biāo)為零的Fredholm算子.

證明 D（w，u，v）G（w1,u1,v1,χ1）（w,u,v）=G1（w,u,v）+G2（w,u,v），其中

定義為：

G2：X×X×X→Y0×Y×Y×R定義為：顯然G2：X×X×X→Y0×Y×Y×R是線性的且緊的.由文獻(xiàn)［8］中的注2.5情況3可知，G1是橢圓的并且滿足 Agmon條件.因此由文獻(xiàn) ［8］中的定理 3.3及評(píng)注 3.4可知，G1：X×X×X→Y0×Y×Y×｛0｝是一個(gè)指標(biāo)為零的Fredholm算子，因此

其中R（G1）是算子G1的值域，W 是Y×Y×Y×｛0｝的一個(gè)閉的子空間滿足

其中N（G1）是算子G1的核空間.因此，可得到

因?yàn)镚1（w,u,v）的第一部分在Y0中，可推知

因?yàn)閃=W0⊕span｛（1,0,0,0）｝，并且dim W=dim W0+1，R（G1）在Y0×Y×Y×R中的余維數(shù)等于dim W=dim N（G1）.因此G1：X×X×X→Y0×Y×Y×R是指標(biāo)為零的Fredholm算子.由緊擾動(dòng)不改變算子的Fredholm性及算子的Fredholm指標(biāo)，以及算子G2是緊算子，可證明D（w，u，v）G（w1,u1,v1,χ1）：X×X×X→Y0×Y×Y×R是指標(biāo)為零的Fredholm算子.

顯然，對(duì)所有的χ1∈R，（w?,u?,v?）是方程組（3）的常數(shù)平衡解.方程組（3）在（w?,u?,v?）處分岔的必要條件是

易知核空間由滿足下面的方程組的解組成：

令

把（5）式代入（4）式，可得

和

其中

令

把（10）式代入（9）式，可得

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得

所以方程組（11）無(wú)解，矛盾.

3 結(jié)論

由引理2.1，（8）式，引理2.2及文獻(xiàn)［7］中的定理1.7可知如下定理成立.

時(shí)，存在區(qū)間（?δ,δ）和連續(xù)函數(shù)使得

注3.1（w1（s,x）,u1（s,x）,v1（s,x））是（3）的單調(diào)解；當(dāng)k≥2時(shí)，（wk（s,x）,uk（s,x）,vk（s,x））是非單調(diào)的.

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2010 M SC：35B32

The ex istence o f non-constan t steady states of a chem otaxism odel

Xu Qian，Cui Julian，Ge Xiyuan
（Department of basic courses，Beijing Union University，Beijing 100101，China）

The existence of non-constant steady states of a chem otaxism odel w ith two chem icals is studied. The local bifurcation structure of the non-constant steady states are obtained by local bifurcation theory when the parameters satisfy some certain conditions.Thus it is proved that there exist many non-constant positive steady states of this chem otaxism odel.

chem otaxism odel，steady state，local bifurcation

O175.2

A

1008-5513（2015）02-0122-07

2014-09-08.

國(guó)家自然科學(xué)基金（11471221）；北京市自然科學(xué)基金（1132003）；北京市教委科技計(jì)劃項(xiàng)目（KZ201310028030）.

徐茜（1982-），博士，講師，研究方向：反應(yīng)擴(kuò)散方程.