金少華，任夢(mèng)，孫賽賽，韓瑞澤

（河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300401）

非齊次樹(shù)上非齊次馬氏鏈的若干強(qiáng)大數(shù)定律

金少華，任夢(mèng)，孫賽賽，韓瑞澤

（河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津 300401）

通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅，將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究，給出了一類(lèi)非齊次樹(shù)上m重連續(xù)狀態(tài)非齊次馬氏鏈的若干強(qiáng)大數(shù)定律，推廣了相關(guān)結(jié)果.

非齊次樹(shù)；鞅；馬氏鏈；強(qiáng)大數(shù)定律

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2015.02.001

1 引言

樹(shù)指標(biāo)隨機(jī)過(guò)程已成為近年發(fā)展起來(lái)的概率論的研究方向之一.強(qiáng)大數(shù)定律一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一.文獻(xiàn)［1］給出了Bethe樹(shù)上非齊次馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理.文獻(xiàn)［2］給出了一類(lèi)非齊次樹(shù)上連續(xù)狀態(tài)馬氏泛函的若干強(qiáng)大數(shù)定律.文獻(xiàn)［3］給出了非齊次樹(shù)上馬氏信源的一類(lèi)Shannon-M cM illan定理.文獻(xiàn)［4］研究了Cayley樹(shù)指標(biāo)有限狀態(tài)非齊次Markov鏈的強(qiáng)大數(shù)定律和漸近均分割性（AEP）.文獻(xiàn)［5］首先給出了在可列狀態(tài)空間取值的二叉樹(shù)上分枝馬氏鏈定義的離散形式，然后建立了二叉樹(shù)上分枝馬氏鏈的若干強(qiáng)極限定理，最后研究了二叉樹(shù)上有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理.文獻(xiàn)［6］研究了m根Cayley樹(shù)指標(biāo)m階有限狀態(tài)非齊次M arkov鏈的一些極限性質(zhì).本文通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅，將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究，給出了一類(lèi)m重連續(xù)狀態(tài)非齊次馬氏鏈的若干強(qiáng)大數(shù)定律.

2 定義

設(shè)T是一個(gè)具有根頂點(diǎn)o的無(wú)限樹(shù)，｛Nn,n≥1｝是一列正整數(shù)集，如果第n（n≥0）層上的每個(gè)頂點(diǎn)均與第n+1層上的Nn+1個(gè)頂點(diǎn)相鄰，則稱(chēng)T為廣義Bethe樹(shù)或廣義Cayley樹(shù).特別地，若對(duì)非負(fù)整數(shù)集N，用模m的同余關(guān)系對(duì)其分類(lèi)得到模m的剩余類(lèi)，

當(dāng)n∈（i）時(shí)，令Nn+1=αi（αi均為正整數(shù)且不同時(shí)為1），i=0,1,2,···,m?1，就得到了一類(lèi)特殊的非齊次樹(shù)Tα0，α1，··，αm-1.

以下恒以T表示樹(shù)Tα0，α1，··，αm-1，以Ln表示第n（n≥0）層上所有頂點(diǎn)的子圖，Tn表示含有從頂點(diǎn)o到第n層上所有頂點(diǎn)的子圖.S（t）表示頂點(diǎn)t的所有子代的子圖.

是｛Xσ,σ∈T｝的初始分布，并有正則條件概率族：

則稱(chēng)｛Xσ,σ∈T｝為具有初始分布（1）與正則條件概率族（2）的在S上取值的連續(xù)狀態(tài)樹(shù)指標(biāo)m重非齊次馬爾可夫鏈.若

則

令

也即

由定義2.1知，上述樹(shù)T上的m重非齊次馬爾可夫鏈的聯(lián)合分布密度為：

設(shè)Q為F上的另一概率測(cè)度，設(shè)｛Xσ,σ∈T｝在Q下的聯(lián)合分布密度為：

令

稱(chēng)rn（ω）為似然比，其中ω為樣本點(diǎn).令

（約定ln 0=?∞），r（ω）稱(chēng)為漸近對(duì)數(shù)似然比.易知，如果

則r（ω）≡0.故r（ω）可以作為n→∞時(shí)，｛Xσ,σ∈T｝在P測(cè)度下的聯(lián)合分布密度f(wàn)(XTn)與Q測(cè)度下的聯(lián)合分布密度g(XTn)之間偏差的一種度量，r（ω）越小，偏差越小.

3 主要結(jié)果及證明

引理 3.1 設(shè)｛Xσ,σ∈T｝為如前定義的樹(shù)T上的m重連續(xù)狀態(tài)非齊次馬爾可夫鏈.設(shè)

設(shè)

則{tn（λ,ω）,σ(XTn),n≥1}在測(cè)度Q下是一非負(fù)鞅.

證明 由

又因?yàn)?/p>

令

則

（13）式成為

（13）式成為

故

因此

定理 3.1 設(shè) ｛Xσ,σ∈T｝為如前定義的樹(shù) T上的 m重連續(xù)狀態(tài)非齊次馬爾可夫鏈，rn（ω）和r（ω）均如前定義.設(shè)

則當(dāng)0≤c≤1時(shí)，有

證明 由引理3.1及Doob鞅收斂定理知，存在A（λ）∈F，P（A（λ））=1，使得

由（9）式，有

由（10）式、（19）式與（20）式，有

取λ＞1，將（21）式兩端同除以lnλ，有

由（8）式與（22）式，有

由（16）式與（23）式，有

由（15）式、（24）式及上極限的性質(zhì)，可得

與不等式

因?yàn)镻（A?）=1，故由（27）式及（28）式知（17）式成立.

當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，將（21）式兩端同除以lnλ，有

由（8）式、（16）式與（29）式，有

由（15）式、（30）式與下極限的性質(zhì)，有

及不等式

則

又因?yàn)镻（A?）=1，則由（33）式及（34）式知（18）式成立.

在A1,···,Am+1中出現(xiàn)的次數(shù)，即

則

證明 在定理3.1中，令

即得推論3.1成立.

［1］Yang W G.A class of deviation theorem s for the random felds associated w ith non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree［J］.Stochastic Analysis and App lications，2012，30（2）：220-237.

［2］金少華，王東，王永生，等.關(guān)于樹(shù)上連續(xù)狀態(tài)馬氏泛函的一類(lèi)強(qiáng)偏差定理［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2014，44（1）：212 -217.

［3］金少華，盧芳，陳秀引，等.非齊次樹(shù)上馬氏信源的一類(lèi)Shannon-M cM illan定理［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2014，30（4）：331-340.

［4］Dong Y，Yang W G，Bai J F.The strong law of large numbers and the Shannon-M cM illan theorem for non-homogeneous Markov chains indexed by a Cayley tree［J］.Statist Probab.Lett.，2011，81：1883-1890.

［5］黨慧，楊衛(wèi)國(guó)，高榮，等.二叉樹(shù)上分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2013，29（5）：529-535.

［6］Shi Z Y，Yang W G.Som e lim it p roperties for them-th-order non-hom ogeneous M arkov chains indexed by an m rooted Cayley tree［J］.Statist Probab.Lett.，2010，80（15）：1223-1233.

2010 M SC：60B12

A class o f strong law s o f large num bers of non-hom ogeneous M arkov chain on a non-hom ogeneous tree

Jin Shaohua，Ren Meng，Sun Saisai，Han Ruize
（College of Science，Hebei University of Technology，Tian jin 300401，China）

In this paper，through constructing a non-negative martingale and app llying Doob′s martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence，a class of strong law s of large numbers ofm-ordered continuous state non-hom ogeneous M arkov chain on a non-hom ogeneous tree are given.We prom ote the relative resu lts.

non-hom ogeneous tree，m artingale，M arkov chain，strong law of large numbers

O 211.4

A

1008-5513（2015）02-0111-11

2014-10-29.

河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（ZD 2014051）.

金少華（1965-），博士，教授，研究方向：概率極限理論.