楊 鑫

（西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院 陜西 西安 710075）

盧文全

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司34所 廣西 桂林 541004）

1 引言

眾所周知，黑體熱輻射規(guī)律遵循如下普朗克定律［1］

其中C1，C2為常量

函數(shù)eb（λ，T）是黑體在溫度T（K）時(shí)的單色輻出度，λ（μm）是熱輻射出的電磁波波長(zhǎng).在確定溫度下，eb（λ，T）與λ 的關(guān)系曲線即如圖1（a）或 （b）所示的傳統(tǒng)黑體熱輻射光譜圖.

圖1 國(guó)內(nèi)外使用的黑體熱輻射光譜圖

從圖1可見(jiàn)，由于溫度變化使這種光譜圖縱向與橫向坐標(biāo)的數(shù)值跨度非常之大，無(wú)論是圖（a）的橫向用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，還是圖（b）用的等分坐標(biāo)，在溫度范圍300～6 000K內(nèi)，都難以顯示曲線的整體形態(tài)；維恩位移定律的表達(dá)也顯模糊.

在文獻(xiàn)［4］分析的基礎(chǔ)上，本文延伸給出了一種比圖1更加清晰的歸一化黑體熱輻射光譜圖，對(duì)該圖加以進(jìn)一步分析和描述，可望構(gòu)成一種新的測(cè)溫方法和新的溫度標(biāo)準(zhǔn).下面將依次敘述其原理與結(jié)果.

2 歸一化黑體熱輻射光譜圖的特性

2.1 理論分析

在任何溫度下，引入一個(gè)與λ和T無(wú)關(guān)，取值范圍在0～1之間的歸一化系數(shù)η.這樣，式（1）可以化為

式（2）右邊是η與輻出度峰值之積.再令

經(jīng)簡(jiǎn)單變換即可將式（2）演化為

式（5）中的xm應(yīng)該是式（3）中與峰值波長(zhǎng)λm對(duì)應(yīng)的x值，需要按照微分學(xué)中求極值原理，由式（1）導(dǎo)出的如下超越方程獲得［3］

經(jīng)編程計(jì)算求解方程式（6），精度保持與前述C2一致，取到小數(shù)點(diǎn)后4位得xm＝4.965 1.把此值代入式（5）得到A（xm）＝21.201 4，再把該A（xm）值代入式（4），便獲得一個(gè)關(guān)于x的如下歸一化普朗克方程

在式（7）中，對(duì)η取不同的值便可得到一系列超越方程.通過(guò)求解這些方程，即可以畫(huà)出一種歸一化黑體熱輻射光譜曲線圖.

2.2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

為了判斷方程（7）根的數(shù)目，首先繪制η取如圖2所示3個(gè)值時(shí)的函數(shù)曲線圖.圖中顯示，對(duì)于每一個(gè)η值，曲線與x軸都有兩個(gè)交點(diǎn)，這表明超越方程（7）有兩個(gè)根.

圖2 方程（7）中η ＝0.8，0.85和0.9的圖解結(jié)果

把方程（7）里每一個(gè)η值對(duì)應(yīng)的兩個(gè)根記為xηs和xηl（xηl＜xηs）.依照式（3），這兩個(gè)根分別對(duì)應(yīng)著給定η值時(shí)，光譜曲線峰值左右短波邊與長(zhǎng)波邊的波長(zhǎng)ληs和ληl.經(jīng)過(guò)編程求解方程（7），得到了表1中所列各η值對(duì)應(yīng)的xηs與xηl及xm.如有必要，可以針對(duì)任意給定的η值求解式（7），以獲得相應(yīng)的xηs與xηl及xm值.表1里的RWηt與RSFηt是后面2.3小節(jié)定義相對(duì)寬度和對(duì)稱性因子的理論結(jié)果.圖3（a）和（b）是把表1中的xηs和xηl，RWηt和RSFηt與η的關(guān)系分別繪制成曲線的結(jié)果.顯然，這都是一些簡(jiǎn)單的單調(diào)函數(shù)關(guān)系.

表1 由式（7）解出不同η值所對(duì)應(yīng)的xηs與xηl數(shù)據(jù)

圖3 方程（7）的解與η的關(guān)系曲線

圖4 歸一化黑體熱輻射光譜曲線

根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)即可繪制出一種全新的黑體輻射光譜圖.事實(shí)上，把表里各個(gè)η值對(duì)應(yīng)的xηl和xηs和xm代入式（4），對(duì)于給定的溫度，可以計(jì)算出η與λ的數(shù)據(jù)關(guān)系，由此即可繪制出不同溫度下如圖4所示的η－λ關(guān)系曲線，這些曲線可以被定義為歸一化黑體熱輻射光譜圖.利用圖中曲線上的各個(gè)η及λm與前述C1和C2值，通過(guò)式（3）右端即可計(jì)算出任意溫度所對(duì)應(yīng)單色輻出度的值.

2.3 光譜曲線的寬度和對(duì)稱性描述

為了描述黑體熱輻射歸一化光譜的特性，取圖4中的任一曲線，用測(cè)量出的波長(zhǎng)ληs，λm和ληl，可以定義曲線的相對(duì)寬度RWηm和對(duì)稱性因子RSFηm為

另一方面，根據(jù)式（3），又可以依照下面式（10）和式（11）來(lái)表述純理論的光譜相對(duì)寬度RWηt和對(duì)稱性因子RSFηt

表1中的RWηt與RSFηt便是利用表中相應(yīng)xηs與xηl和xm數(shù)據(jù)，按照式（10）和式（11）計(jì)算得出的理論結(jié)果.

3 應(yīng)用分析

3.1 原理說(shuō)明

前面式（8）和式（9）定義的光譜相對(duì)寬度與對(duì)稱性因子，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量出ληs與λm和ληl計(jì)算出來(lái)；另一方面，式（10）和式（11）完全是由黑體熱輻射理論導(dǎo)出的結(jié)果.這樣，當(dāng)實(shí)驗(yàn)與理論一致時(shí)，在規(guī)定相對(duì)誤差r和k范圍內(nèi)，光譜的相對(duì)寬度RWη和對(duì)稱性因子RSFη便可以用以下式（12）和式（13）來(lái)表示

只要式（12）與（13）里的r與k的大小滿足一定要求，就可說(shuō)明實(shí)驗(yàn)所用載體符合黑體要求且實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)可靠.因此，把實(shí)驗(yàn)獲得的ληl與ληs及λm和相應(yīng)的xηs與xηl和xm以及C2值代入式（3），即可以依照下列式（3a）、式（3b）和式（3c）計(jì)算出實(shí)驗(yàn)中黑體的實(shí)際溫度.

因?yàn)槭菍?duì)同一對(duì)象進(jìn)行的測(cè)量，只要在規(guī)定相對(duì)誤差g范圍之內(nèi)，由式（3a）～（3c）計(jì)算出的溫度應(yīng)該就是待測(cè)體的溫度T

公式（14）說(shuō)明，利用黑體與寬帶光譜儀組成實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，可以建立一種波長(zhǎng)測(cè)溫方法.而且，取不同η值進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，可以對(duì)式（14）進(jìn)行充分驗(yàn)證.所以，如果實(shí)驗(yàn)誤差g足夠小，由式（14）確認(rèn)的溫度可望作為溫度標(biāo)準(zhǔn)來(lái)使用.

3.2 實(shí)際驗(yàn)算

考慮到光譜儀的帶寬限制，僅以η＝0.9為例進(jìn)行計(jì)算.實(shí)驗(yàn)中，首先是用光譜儀掃描測(cè)量出被測(cè)體輻射的峰值點(diǎn)功率ebm和波長(zhǎng)λm，其次是把光譜儀調(diào)到λm左右，當(dāng)功率降至0.9 ebm時(shí)，讀取λ0.9s和λ0.9l，實(shí)際觀測(cè)獲得的數(shù)據(jù)列于表2.表2中的相對(duì)寬度、對(duì)稱性因子和溫度，是按照式（8）～（11）和式（3a）～（3c）計(jì)算獲得的；r，k和g則是根據(jù)一般誤差處理方法，由平均差值除以平均值而得出.表2里的數(shù)據(jù)說(shuō)明，實(shí)驗(yàn)與理論符合得很好.

表2 驗(yàn)算實(shí)例數(shù)據(jù)

4 討論與結(jié)論

在導(dǎo)出歸一化普朗克方程（7）并由此獲得圖4所示歸一化黑體熱輻射光譜圖的基礎(chǔ)上，本文首次定義了光譜相對(duì)寬度和對(duì)稱性因子這樣兩個(gè)參數(shù)來(lái)對(duì)光譜特征加以定量描述.由于這兩個(gè)參數(shù)既可以從實(shí)驗(yàn)上加以測(cè)量，又有表1中列出純理論結(jié)果，因此，文中表2里的參數(shù)r與k越小，說(shuō)明被觀測(cè)對(duì)象越接近于黑體，這比早年的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法［5］要更加簡(jiǎn)潔.

在r與k達(dá)到一定值，即滿足黑體要求的前提下，本文提出了一種波長(zhǎng)測(cè)溫方法.從表2里列出的例子可見(jiàn)，這一方法的測(cè)量精度可以達(dá)到萬(wàn)分之幾.由普朗克定律式（1）中溫度的物理本質(zhì)可以認(rèn)為，只要表2里的g值足夠小，例如達(dá)到萬(wàn)分之一，這一溫度應(yīng)該可以作為溫度標(biāo)準(zhǔn)來(lái)使用.

此外，波長(zhǎng)測(cè)溫法涉及的關(guān)鍵設(shè)備是寬帶光譜儀，由于熱輻射的波譜范圍極為寬廣，因此，研究開(kāi)發(fā)波帶盡可能寬的光譜儀，對(duì)推動(dòng)熱輻射科技發(fā)展具有十分重要的意義.

最后，必須指出的是，本文所有結(jié)果與結(jié)論，僅實(shí)用于理想黑體或近似性很好的實(shí)際黑體，而對(duì)于非黑體熱輻射特性的認(rèn)識(shí)，就必須從基爾霍夫定律［3，5］出發(fā)進(jìn)行更深入廣泛地研究了.

1 安毓英，劉繼芳，李慶輝.光電子技術(shù).北京：電子工業(yè)出版社，2002

2 大越孝敬.光纖傳感器.東京（日）：歐姆株式會(huì)社，昭和61年7月

3 程守洙，江之永.普通物理學(xué)（第五版）（第三冊(cè)）.北京：高等教育出版社，1998

4 陳廣生，盧文全，蔡如華，丁渲浩.黑體熱輻射的光波長(zhǎng)定義域研究.大學(xué)物理，2004，23（11）：58～60

5 王少杰，顧牡.大學(xué)物理學(xué)（下冊(cè)）（第二版）.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2003