馬　俊，張　勇，鄧中民

（武漢紡織大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，湖北 武漢 430200）

基于MATLAB仿真的碳納米管建模分析

馬俊，張勇，鄧中民

（武漢紡織大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，湖北 武漢 430200）

碳納米管模型的建立是納米纖維研究的基礎(chǔ)。探討基于M ATLAB仿真的碳納米管建模的效果，主要從碳納米管中碳原子之間的幾何關(guān)系出發(fā)，確定最小重復(fù)單元中所有碳原子在直角坐標系下的幾何坐標，再利用坐標變換，得到滿足要求的碳納米管模型。結(jié)果表明：M ATLAB仿真效果良好，能得到滿足要求的碳納米管模型。

碳納米管；M ATLAB；幾何關(guān)系；重復(fù)單元；坐標變換

碳納米管自被發(fā)現(xiàn)以來，一直被公認為是人們所能制造出來的最強、最剛、最韌的分子，是最好的熱和電的分子導(dǎo)體，在諸多領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用背景[1]。為了更好地實現(xiàn)碳納米管的優(yōu)良性能和諸多實際應(yīng)用，可將碳納米管組裝成宏觀材料，如纖維。近年來已經(jīng)通過向合成纖維聚合物中添加某些亞微米級或納米級無機粉末的方法，經(jīng)過紡絲獲得具有某種特殊功能的纖維。隨著納米材料制備合成技術(shù)的不斷發(fā)展和納米材料基礎(chǔ)理論的日趨完善，納米纖維的應(yīng)用將遍及紡織等工業(yè)的各個領(lǐng)域，它對紡織品及其它領(lǐng)域的研究開發(fā)的促進作用將是無法估量的。同時，碳納米管獨特的光學(xué)、力學(xué)、電學(xué)和熱學(xué)特性吸引了物理、化學(xué)、材料、電子等多個領(lǐng)域?qū)＜业臉O大關(guān)注。但不管在哪個研究方向上，碳納米管模型的建立都是整個研究過程的基礎(chǔ)。

目前主要運用分子靜力學(xué)法建立了碳納米管模型，首先生成一個正六邊形，以六邊形為單位循環(huán)得到一層排列類似于石墨的晶格結(jié)構(gòu)，再在一定條件下對晶格點坐標進行截斷，最后利用投影法得到碳納米管，過程較為繁瑣[2]。本文按由淺入深的方式研究問題，先對平面碳納米管建模分析，然后將其思路遷移到空間碳納米管，主要從碳納米管各個點的幾何關(guān)系出發(fā)，詳細分析碳納米管中原子之間的關(guān)系，運用MATLAB仿真，建立碳納米管模型，方法簡單，易于理解。結(jié)果表明：MATLAB能夠?qū)⒖臻g碳納米管形象的展現(xiàn)出來。

1　平面碳納米管建模分析

1.1基本構(gòu)成單元

由于碳納米管的規(guī)則結(jié)構(gòu)，本文采用化整為零的思想，先研究構(gòu)成碳納米管的基本結(jié)構(gòu)單元。如圖 1所示為基于MATLAB的碳納米管的基本結(jié)構(gòu)單元的模擬圖。利用MATLAB構(gòu)造自定義函數(shù)cylinder2P.m來完成兩個已知點的連接，即仿真碳碳鍵。圖 1(a)為碳碳鍵的仿真圖，對于給定的兩個已知點，使用cylinder2P.m函數(shù)即可產(chǎn)生一根圓柱將兩點連接。同時，自定義函數(shù)draw_ball.m完成已知點的描述，圖1(b) 為A、B碳原子的仿真圖，故對于給定的點，即可利用draw_ball.m函數(shù)在該點處畫一個球表示該點。圖1(c)則為在圖1(a)和圖1(b)的基礎(chǔ)上，同時運用cylinder2P.m和draw_ball.m函數(shù)，將碳原子連接起來。

圖1　基本結(jié)構(gòu)單元模擬

1.2最小重復(fù)單元建模

圖2　最小重復(fù)單元模擬

考慮到碳納米管的規(guī)則分布，選擇其最小重復(fù)單元分析即可得到整個結(jié)構(gòu)?；谶@種思想建立如圖2平面直角坐標系，選取最小重復(fù)單元為8個碳原子，考慮后續(xù)依次連接問題及正六邊形的封閉性，將第1點同時標記為第7點。最小重復(fù)單元結(jié)構(gòu)如圖2所示，為一個正六邊形和一個碳碳鍵組成，加上一個碳碳鍵是為了方便前后兩個正六邊形的連接。設(shè)碳碳鍵的長度為ac- c, 對于空間正六邊形，則8個點的坐標如表1所示。

表1　最小重復(fù)單元各點坐標

1.3平面碳納米管的連接次序

在最小重復(fù)單元的8個點坐標確定以后，下面關(guān)鍵的就是將點的坐標依次連接起來。連接次序如圖2所示，由連接次序可知，第1點和第7點重合。

1.4最小重復(fù)單元延拓成完整碳納米管

平面碳納米管呈網(wǎng)狀分布，因此在獲得最小重復(fù)單元的基礎(chǔ)上，通過坐標的平移變換，將最小重復(fù)單元進行延拓，從而獲得整個平面上的碳納米管。坐標平移公式如(1)所示。

其中a，b分別為x和y方向上的平移增量。

故為了獲得平面碳納米管網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，可在最小重復(fù)單元的基礎(chǔ)上運用坐標平移變換，在x正方向上每一次延拓，橫坐標都要增加3ac- c，在y正方向上每一次延拓，縱坐標都要增加3ac- c。圖3所示為坐標平移變換后得到的平面碳納米管的模擬示意圖。

圖3　平面碳納米管的模擬

2　空間碳納米管建模分析

2.1空間最小重復(fù)單元建模

完成了平面碳納米管的模擬，進一步的研究重點將是空間碳納米管的建模。目前已有研究認為，可在平面碳納米管的基礎(chǔ)上，利用投影法將平面碳納米管映射到半圓柱面上，然后利用對稱變換得到完整的空間碳納米管，但過程較為繁瑣，且邊界縫合情況存在不足[3]?？臻g碳納米管建模與平面碳納米管建模有一定的聯(lián)系，將平面碳納米管的建模思路遷移到空間碳納米管建模將是一個很好的選擇，依然選擇對最小重復(fù)單元建模的方式。

圖4　碳納米管的一個最小重復(fù)單元

如圖4所示本文選取的碳納米管一個最小重復(fù)單元，該重復(fù)單元可分為上下兩層，記為A層和B層。各層都是由碳原子按一定規(guī)律分布在圓環(huán)上，觀察圖4可發(fā)現(xiàn)規(guī)律為，對于每一層，記碳碳鍵的長度為 ac- c，相鄰碳原子之間的距離依次為 ac- c和2ac- c循環(huán)交替出現(xiàn)，即可對每一層建立如下數(shù)學(xué)模型。如圖5所示，先對第一層碳原子建模，確定其坐標關(guān)系[4]。

圖5　第一層碳原子建模

第一層碳原子的圓心O為坐標原點，過原點和鍵A2n—A1的中點C的直線為X軸，垂直于第一層碳原子所在平而的軸線方向為Z軸，建立相互垂直的三維坐標體系XYZ，見圖5。

設(shè)碳納米管的半徑為R，L為圓周長， ac- c為碳碳鍵長度。為了簡化計算，本文近似的以所有連接2n個點的線段作為圓周的長度，即。由求得

在△COA1中，設(shè)∠COA1=α，由于，，可求得

在△A1OA2中，由于，設(shè)，則。

則A1點的坐標值為。

則A2點的坐標為=0

A3的坐標為，所以

A4點的坐標

式中：INT()為求整函數(shù)。由式(2),(3),(4)知，當(dāng)（n, n）型碳納米管的n值確定后，R，β，α 都為確定的常數(shù)值，從而 Ai的坐標值得以確定。

2.2空間碳原子連接次序分析

圖6　空間碳原子連接次序示意圖

由坐標公式(5)-(10),可以確定最小重復(fù)單元中A層和B層碳原子的坐標，坐標確定后各點間的連接次序是又一關(guān)鍵問題。為了便于觀察，取n=10,如圖6所示，先依次將A層和B層中坐標點標號，紅色表示A層，藍色表示B層。根據(jù)圖4中碳納米管的最小重復(fù)單元仿真圖，同時為了方便MATLAB的程序編寫，本文選取A層和B層的連接次序示意圖如圖6所示，具體的如表2所示。運用MATLAB,構(gòu)造自定義函數(shù)linka_b.m，將A層和B層中的點按表2的順序構(gòu)造成一個聯(lián)合矩陣，然后運用自定義的cylinder2P.m函數(shù)循環(huán)將聯(lián)合矩陣中所有的點連接起來即可，效果如圖4。

表2　空間碳原子依次連接順序

2.3最小重復(fù)單元延拓成完整碳納米管

在建立最小重復(fù)單元模型的基礎(chǔ)，利用坐標的對稱和平移變換來得到整個空間的碳納米管的結(jié)構(gòu)，空間坐標變換公式與平面坐標變換公式相似[5,6]。實驗結(jié)果如圖7所示。

圖7　逐層模擬碳納米管

3　結(jié)束語

建立碳納米管模型是模擬研究碳納米管結(jié)構(gòu)、性能及各種應(yīng)用的基礎(chǔ)。本文按由淺入深的方式研究問題，先對平面碳納米管建模分析，然后將其思路遷移到空間碳納米管。具體建模過程中，主要根據(jù)碳納米管自身的結(jié)構(gòu)特點，首先確定一個最小重復(fù)單元中碳原子的坐標，然后按照一定次序依次連接各點，最后根據(jù)坐標變換，延拓出完整的碳納米管模型。實驗結(jié)果表明，利用MATLAB對碳納米管進行建模仿真，不僅能夠仿真平面碳納米管，而且能夠?qū)⒖臻g碳納米管形象的表示出來。由于僅從碳納米管中碳原子的幾何結(jié)構(gòu)出發(fā)建立模型，故方法簡單，易于理解，且所建模型形象逼真，為進一步模擬研究做好準備。

[1] 郭連權(quán)，馬賀，等．碳納米管結(jié)構(gòu)的模擬計算[J]．沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2005，27(4)：466-469．

[2] 程錦榮，閆紅，陳宇，等．碳納米管儲氫性能的計算機模擬[J]．計算物理，2003，20(3)：255-258．

[3] 王積森，張洪云，等．分子模擬中碳納米管模型建立原理分析[J]．納米材料與結(jié)構(gòu)，2006，11：520-524．

[4] 蔣玲玲，陳小泉．納米纖維素晶體的研究現(xiàn)狀[J]．纖維素科學(xué)與技術(shù)，2008，16(2)：73-76．

[5] 王能，丁恩勇，程镕時．納米維晶纖維素表面改性研究[J]．高分子學(xué)報，2006，11(8)：982-987．

[6] 朱宏偉，吳德海，徐才錄．碳納米管[M]．北京：機械工業(yè)出版社，2003．41-61．

Analysis of Modeling the Carbon Nanotubes Based on MATLAB Simulation

MA Jun, ZHANG Yong, DENG Zhong-min
(School of Mathematics and Computer Science, Wuhan Textile University, Wuhan Hubei 430200, China)

Carbon nanotubes model is the foundation of nanofiber research. MATLAB simulation was discussed. The study is mainly from the geometric relationships between the carbon atoms of carbon nanotubes, determined the coordinate geometry of the minimum repeat unit under the rectangular coordinate system. Then using coordinate transformation, model of carbon nanotubes could get well. The results show that MATLAB simulation effect is good, which can satisfy requirements of carbon nanotubes model.

carbon nanotubes; MATLAB; geometrical relationship; repeat unit; coordinate transformation

O799

A

2095－414X(2015)06－0045－05

馬?。?963-），男，教授，博士，研究方向：小波理論及其應(yīng)用.