苗超 邊艷華
摘 要:在實際工程控制問題中,我們不僅僅要求軌跡控制,很多時候要求過程的動態(tài)控制,也就是輸出的機動控制,其比一般的跟蹤問題更具有普遍的意義,本文選取一個非線性系統(tǒng),依此系統(tǒng)嘗試其輸出機動控制的探究。
關鍵詞:非線性系統(tǒng);機動控制
在很多的實際工程控制問題中,例如輪船跟蹤航標問題,機器臂的動作控制問題,再比如,一輛自動駕駛的汽車,不僅要使汽車能順利的沿著軌跡行駛,而且使它在合適的時間能夠到達目的地。這種情況實際上是控制問題的兩個任務,第一個任務叫做幾何任務,第二個任務叫做動態(tài)任務,一般情況指速度控制。這就是輸出機動控制問題,不僅考慮一般路徑跟蹤,同時也涉及到控制目標的動態(tài)行為(即速度)。輸出機動控制要比一般的跟蹤問題更具有普遍的意義,對控制問題的研究也有重大的理論價值和意義。本文選取一個非線性系統(tǒng),對其輸出機動控制問題進行初探。
1 問題的描述
考慮如下非線性系統(tǒng):
其中12(,)nnxxxxRΤ=∈.是系統(tǒng)(1)的狀態(tài)向量,系統(tǒng)(1)的輸入和輸出則分別由uR∈和yR∈來表示,12(,)pθθθΤΘ=.為p維的未知常參數(shù)向量,在控制器的設計過程中,我們需要對它進行估計,(,)iiixxΦ.為已知光滑非線性函數(shù)向量。
2 輸出機動控制的探究過程
我們的控制目標是對系統(tǒng)(1)設計光滑自適應機動控制器,從而解決系統(tǒng)(1)的實用輸出機動控制問題。為此我們要完成兩個任務[1]:1、幾何任務;2、動態(tài)任務。首先要設定(
)rytθ是理想的參數(shù)化參考路徑,(
,)svttθ是理想的跟蹤速度。其中θ是路徑變量。
假設1[1]:參考路徑
iyθ及其n階偏導數(shù)在R上一致有界,其速度任務(,)svtθ及其1n.階偏導數(shù)關于θ與一致有界。
任務一:機動控制的幾何任務
第一步:引入誤差變量(,,)(,)sstvtωθθθθ=...
令11rzxy=., 221zxα=.
則11rzxy=....2111
rrssyyzxvαωθθΤ..++ΦΘ.+..
構造Lyapunov函數(shù)2111122VzrΤ=+ΘΘ..
其中r為常數(shù),并且0r>,.Θ=Θ.Θ.,.Θ是Θ對的估計
則V的時間導數(shù)為
1111.VzzrΤ=.ΘΘ....=12111111.(
)rrssyyzzzxvzrαωθθΤΤ..++ΦΘ.+.ΘΘ....
令虛擬光滑控制律為 21111111.rsyczkzvαμθΤ.=..ΘΦ.+.
取調(diào)節(jié)函數(shù) 111rzτ=Φ 11ryzηθ.=.
那么
211112111111.rsyVczzzzzzrωθΤ∧ΤΤ.=.++ΦΘ.ΘΦ+.ΘΘ....
21112111.
sczzzrτωηΤ≤.++Θ.Θ+..
以此思路,最后一步設計:
我們構造Lyapunov函數(shù) 2112nnnVVz.=+
因為 1nnnzxα.=.
所以1nnnzxα.=.... 1nnnnVVzz.=+...
取光滑控制律為:
11111111111.
.nnnnnnnnnnnjjsnjjjjuczzxvxxtααααατθ..Τ......+==.....=...ΘΦ.ΣΦ+Σ+++.....Θ
111112
.nnjnnjjjjjrzxαα....==..+Φ.ΣΦΣ..Θ
取調(diào)節(jié)函數(shù):
1111
nnnnnnjjjrzxαττ...=.=+Φ.Φ.Σ11nnnnzαηηθ...=+.
那么
2111111..
.nnnjjnnnnjVczzrrατττΤΤ...=.≤.+Θ.Θ+Θ..Θ.ΘΣ.....
11111111122.
..nnnjjnnnnnnjjjnnsjjjjzrzzzxααααττηω........∧===....++Φ.ΣΦΣ+Σ.Θ+..Θ.Θ.Θ.
如果選取調(diào)節(jié)函數(shù) .nτΘ=.,得
21nnjjnsjVczηω=≤.+Σ.
任務二:機動控制的動態(tài)任務
對于速度誤差變量sω,我們有如下設置[2]:
1)跟蹤控制律:假若有0sω=,那么(,)svtθθ=.,速度任務得到滿足,能夠完全達到速度跟蹤目的。
2)梯度調(diào)節(jié)律:令snωμη=.其中0μ≥,滿足速度任務。
因 11ninniiVzαηθθ.=..=Σ=...
從而此設置可稱為梯度調(diào)節(jié)律。相應的,機動控制的動態(tài)部分變?yōu)?/p>
(,)(,)nsnsVvtvtθθμηθμθ.=+=...
3)基于濾波形式的梯度調(diào)節(jié)律
將第任務一中最后一步中的Lyapunov函數(shù)進行推廣
2012nsVVωδ=+,并且對V關于時間進行求導,可得
01nssVVωωδ=+...2101
njjnssjczηωωδ=≤.++Σ.
保證上式的第三項成為非負項,選擇梯度調(diào)節(jié)律為
0ssnlωωδη=...
而這樣控制的動態(tài)部分就相應地變?yōu)?/p>
(
,)(,,)ssvtttθθωθθ=... 0ssnlωωδη=...
參考文獻
[1] Skjetne R, Fossen T I, Kokotovic P V. Robust output maneuvering for a class of nonlinear systems[J]. Automatica 2004, 40(3): 373-383.
[2] 邊艷華.一類非線性系統(tǒng)的實用輸出機動控制[D].山東:曲阜師范大學,2012.