王勁松

摘 要：等價(jià)思想是數(shù)學(xué)理論中的一種重要思想，是數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)之一。這種思想有助于幫組學(xué)生開(kāi)拓思維，并且能夠增強(qiáng)對(duì)新事物的理解和掌握。這有助于強(qiáng)化學(xué)生處理各種數(shù)學(xué)方面問(wèn)題的能力。等價(jià)無(wú)窮小代換是計(jì)算極限的一種常用，簡(jiǎn)單的方法，通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小的代換思想可以將極限中的很多問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易。本篇文章中，我們將對(duì)等價(jià)思想在極限中的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)，為讀者整理出一些規(guī)律。

關(guān)鍵詞：等價(jià)、極限、代換

1 引言

等價(jià)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，也是一個(gè)重要的技巧。在高等數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)的知識(shí)比較冗雜，學(xué)生在記憶大量的公式的過(guò)程中會(huì)遇到較大的困難。于是，我們可以在學(xué)習(xí)極限的過(guò)程中提出等價(jià)這一概念。利用等價(jià)代換的思想減少公式的記憶量，從而降低運(yùn)算的復(fù)雜度，提高運(yùn)算的精準(zhǔn)度。

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想有助于強(qiáng)化學(xué)生處理各種數(shù)學(xué)方面問(wèn)題的能力。等價(jià)無(wú)窮小代換是計(jì)算極限的一種常用，簡(jiǎn)單的方法，通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小的代換思想可以將極限中的很多問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易。

2 正論

在求解極限問(wèn)題上，我們實(shí)際上有很多種方式，比如利用極限定義、四則運(yùn)算、兩個(gè)基本原則、兩個(gè)重要公式、變量代換、等價(jià)代換、恒等變形、洛必達(dá)法則、泰勒公式等等。其中，等價(jià)代換是計(jì)算量最小，運(yùn)算最為簡(jiǎn)便的。

所謂等價(jià)轉(zhuǎn)化，就是一種體現(xiàn)“將解法未知的問(wèn)題劃歸到已有的知識(shí)范圍之內(nèi)，并將其求解”的策略之上。其中，劃歸轉(zhuǎn)化的方式又分為等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化兩種，我們?cè)谶@里所講的主要是等價(jià)轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化過(guò)程中的前因后果既充分又必要的轉(zhuǎn)化過(guò)程。

3 無(wú)窮小與等價(jià)無(wú)窮小

無(wú)窮小量即以數(shù)0為極限的變量，無(wú)限接近于0。確切地說(shuō)，當(dāng)自變量x無(wú)限接近x0（或x的絕對(duì)值無(wú)限增大）時(shí)，函數(shù)值f（x）與0無(wú)限接近，即f（x）→0 （或f（x）=0），則稱f（x）為當(dāng)x→x0 （或x→∞）時(shí)的無(wú)窮小量。

那么無(wú)窮小是如何比大小的呢？

假設(shè)a，b都是0limxx→時(shí)的無(wú)窮小，如果0lim=ab，就說(shuō)b是比a的高階

無(wú)窮小。如果∞=ablim，就是說(shuō)b是比a的低階無(wú)窮小。

比如21bx=，1ax=，x→∞的情況下，通俗的來(lái)講，b時(shí)刻都比a更

快地趨于0，所以稱做a是b高階；有101xc=，那么c比a，b的階數(shù)都要

高，因?yàn)閏更快地趨于0。如果lim（0）0bccka=≠>，，就說(shuō)b是關(guān)于a的

n階的無(wú)窮小， b和an是同階無(wú)窮小。

從以上無(wú)窮小的比較里可以知道，如果cabn=lim，就說(shuō)b是a的n

階的無(wú)窮小，b和an是同階無(wú)窮小。特殊地，如果這個(gè)常數(shù)是1，且n=1，即1lim=ab，則稱a和b是等價(jià)無(wú)窮小的關(guān)系，記作ab。

4 利用等價(jià)思想進(jìn)行代換

所謂等價(jià)代換，主要是要使用一些已知的等價(jià)量，對(duì)于復(fù)雜式子中的某一乘除項(xiàng)進(jìn)行代換，從而降低計(jì)算式的整體難度。例如以下例題：

【例題1】20cos1limxxx.→

這道例題大家看到會(huì)感覺(jué)到很熟悉，在極限中有很多是以這種題型為母題進(jìn)行研究，但是我這里為什么會(huì)列舉出來(lái)？很簡(jiǎn)單我們知道1-cosx～x2/2，所以這道題很容易就看出來(lái)答案是1/2。我舉的這個(gè)例子就是最簡(jiǎn)單的等價(jià)代換的例子，在這里大家需要記住幾個(gè)等價(jià)代換的式子：

（1）sinx～x

（2）tanx～x

（3）1-cosx～x2/2

（4）arcsinx～x

（5）（1+x） α-1～αx

（6）ln（1+x） ～x

（7）ex-1～x

等等一系列的關(guān)系式，這個(gè)是需要大家熟記的。

5 等價(jià)思想的適用情況

值得注意的是，我們?cè)谏衔闹兴v的代換，在式子中僅能針對(duì)乘除項(xiàng)。對(duì)于加減項(xiàng)來(lái)講，是不能夠隨意使用的。例如下面的這道例題：

【例題2】xxxx5sin2sin3sinlim0+→

我們來(lái)看第一種解法：

7373lim523lim5sin2sin3sinlim000==+=+→→→xxxxxxxxxxx

第二種解法：

735cos52cos23cos3lim5sin2sin3sinlim00=+=+→→xxxxxxxx

兩道題的答案相同，到底是哪個(gè)對(duì)呢？這需要我們認(rèn)真的分析一下。

第一種解法使用的是等價(jià)的思想。雖然從結(jié)果角度，兩種方法的計(jì)算結(jié)果是相同的。但是，在第一種方法里，分母項(xiàng)的等效替換沒(méi)有遵守替換只能代替多項(xiàng)式中的乘除項(xiàng)而不能使用加減項(xiàng)的原則。在加減項(xiàng)中使用無(wú)窮小等價(jià)替換時(shí)，最大的問(wèn)題在于需要考慮在同一因子下的其余加減項(xiàng)是否有相同的變化性質(zhì)，如果沒(méi)有，則計(jì)算結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)偏差。本題中的結(jié)果相同是因?yàn)樵谕灰蜃觾?nèi)都是可以使用相同類(lèi)型的等價(jià)替換的，所以顯示出的結(jié)果是沒(méi)有變化的，但實(shí)際上，使用這種方法是錯(cuò)誤的。

第二種解法運(yùn)用了羅必塔法則，對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，這樣我們可以得到上述式子的第二步，并且將0帶入時(shí)，我們都知道cos0=1因此，只需要一步就可以解出上述式子。

通過(guò)對(duì)上面兩道題的分析，我們可以得出結(jié)論，等價(jià)思想不適合于加減法，而僅僅適用于乘除法之中。具體的運(yùn)用方式，還需要大家深刻的理解還有多方面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

6 復(fù)雜的等價(jià)代換舉例

面對(duì)一些在極限復(fù)雜的題型時(shí)（例如根號(hào)，開(kāi)方等等），很多同學(xué)都不知道應(yīng)該如何下手，經(jīng)常出現(xiàn)盲目下手的現(xiàn)象，要不就是用羅比達(dá)求導(dǎo)法則計(jì)算。使用洛必達(dá)法則雖然過(guò)程比較簡(jiǎn)單，但是計(jì)算量過(guò)于龐大，在計(jì)算結(jié)果的過(guò)程中很容易出錯(cuò)，多次求導(dǎo)后，可能中間會(huì)有失誤的地方導(dǎo)致計(jì)算失敗。例如下面例題：

例3：3321ln（11）limarcsin21xxx→+..

第一種解法：

32333211223322111311（1）ln（11）limlim111arcsin21223（1）1（21）xxxxxxxxx→→..+..+.=........

331233221411lim1142（1）1（21）xxxxx→+.==..+..

第二種解法：

因?yàn)椋簒→1時(shí)，310x.→，3210x.→

所以：x→1時(shí)，33ln（11）～1xx+..，3322arcsin21～21xx..

所以：

333333322111ln（11）1114limlimlim=4122arcsin2121xxxxxxxx→→→+..===+..

對(duì)比以上兩種方法，顯然使用等效代換思想進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程要更加簡(jiǎn)單，在應(yīng)試過(guò)程中，可以很好地節(jié)省時(shí)間和提高計(jì)算準(zhǔn)確率。通過(guò)這道例題，大家可以發(fā)現(xiàn)，我們可以利用簡(jiǎn)單的等價(jià)思想，將一道需要要好多遍羅必塔法則的題簡(jiǎn)化，利用化繁為簡(jiǎn)的思想，逐步把自己的解題能力提升一個(gè)高度，也鍛煉自身的發(fā)散能力。因此，掌握這種方法，會(huì)更好的使自己掌握解決這類(lèi)問(wèn)題的方法。

7 結(jié)論

以上是等價(jià)思想在極限解題中的應(yīng)用?？偠灾?，在極限問(wèn)題中，適當(dāng)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換的方式，可以使內(nèi)容更加簡(jiǎn)潔，分析問(wèn)題也更加簡(jiǎn)單。無(wú)論是從培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用思維還是基本能力，都是非常適合的。在數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中一定要注意的是思想的滲透，讓學(xué)生有深刻的記憶了解，大學(xué)課堂不僅僅教會(huì)學(xué)生的是一種解決問(wèn)題的思路，更是教給每位學(xué)生以后學(xué)習(xí)的一種方法。讓學(xué)生熟悉更種思維，更能大程度的提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)方面的素養(yǎng)。