吳 中，楊 洋 ，馬 樂(lè)，陶 帥

(河海大學(xué) 土木與交通學(xué)院，江蘇 南京210098)

經(jīng)濟(jì)的發(fā)展使得交通需求與供給的矛盾日益突出，交通擁擠已成為困擾城市決策者的主要問(wèn)題。交通擁擠收費(fèi)的理論最初由Pigou 于上個(gè)世紀(jì)20 年代提出，近年來(lái)一些學(xué)者利用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法來(lái)研究這一問(wèn)題。文［1］和文［2］利用雙層規(guī)劃和基于靈敏度分析的算法對(duì)擁擠道路收費(fèi)問(wèn)題進(jìn)行了研究。文［3］利用雙層規(guī)劃模型與步長(zhǎng)加速法和罰函數(shù)法組合的啟發(fā)式算法對(duì)彈性需求下的道路收費(fèi)問(wèn)題進(jìn)行了研究，給出了不同路段的收費(fèi)費(fèi)率，以求達(dá)到網(wǎng)絡(luò)交通流的平衡，但其方法復(fù)雜，難以推廣應(yīng)用。文［4］運(yùn)用定量和定性的方法探討了交通擁擠中社會(huì)和個(gè)人成本的組成，以及兩者之間的關(guān)系，但未給出應(yīng)用于實(shí)際的計(jì)算模型。文［5］在綜合考慮流量和成本的關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出了以個(gè)體成本總量和社會(huì)總成本最小化為目標(biāo)的多目標(biāo)模型。但是采用用戶均衡交通分配模型，沒(méi)有考慮用戶選擇某條路線的效用是隨機(jī)的特性。本文構(gòu)建了一個(gè)基于多路徑選擇的交通分配雙層規(guī)劃模型結(jié)果，建立的交通擁擠定價(jià)模型。針對(duì)雙層規(guī)劃模型，采用了Kuhn-Tucker 原理將雙層規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為單層規(guī)劃問(wèn)題求解。分析不同擁擠費(fèi)對(duì)交通配流的影響，以達(dá)到多路徑選擇下個(gè)體與社會(huì)總成本最優(yōu)的目的。

1 交通擁擠的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

交通擁擠是一個(gè)模糊的、難于具體量化的概念。通常用飽和度指標(biāo)綜合反映道路擁擠的程度，故本文是以飽和度作為判斷擁擠程度的主要影響因素。具體參考標(biāo)準(zhǔn)如表1［6］。

表1 交通運(yùn)行狀態(tài)評(píng)價(jià)表

2 基于路徑選擇的交通流分配模型

(p，q)為交通網(wǎng)絡(luò)中任意OD 對(duì)，p ∈Z 為起點(diǎn)編號(hào)，q ∈Z 為終點(diǎn)編號(hào)，Z 為起訖點(diǎn)集合;Op為起點(diǎn)p 的交通需求發(fā)生量;va為路段a 上的交通流量;Ca為路段a 的設(shè)計(jì)通行能力;Rpq為p 和q之間的路徑集合是連接起點(diǎn)p 和終點(diǎn)q 之間第OD 對(duì)的r 條路徑上的交通流量;表示p 和q 之間路徑r 的費(fèi)用;表示p 和q 之間所有分配到流量的路徑中最小的費(fèi)用;是路段/路徑關(guān)聯(lián)系數(shù);dpq表示OD 對(duì)之間的交通需求量;ta表示路段a 的費(fèi)用函數(shù);u 表示擁擠費(fèi)用;Ta表示路段a 的廣義費(fèi)用，即Ta= ta+ u。

那么，基于路徑選擇的交通流分配雙層規(guī)劃模型的數(shù)學(xué)模型如下:

其中上層模型描述城市交通管理部門(mén)對(duì)擁擠收費(fèi)的決策，目標(biāo)是路網(wǎng)綜合效能最大，即系統(tǒng)最優(yōu)，通常用總出行時(shí)間最短、社會(huì)成本最小等指標(biāo)來(lái)衡量，即:

其中，式(2)要求路段a 的交通流量不大于路段a的設(shè)計(jì)通行能力。式(3)表示各交通區(qū)域發(fā)生量的約束。

下層模型［7］則描述道路使用者在出行OD 的不同路徑之間的選擇，采用個(gè)人出行時(shí)間最短或個(gè)人廣義出行成本最小等指標(biāo)來(lái)衡量。本文的目標(biāo)函數(shù)在以網(wǎng)絡(luò)流均衡分配為目標(biāo)的同時(shí)，約定網(wǎng)絡(luò)中各起點(diǎn)處的交通需求按照Logit 選擇模型分配出行終點(diǎn)，即:

其中，θ 是阻抗系數(shù)，反映了需求分布對(duì)于O-D 間出行費(fèi)用的敏感性，本文取值為0.75。公式(6)O-D 需求和路徑流量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，表明各起點(diǎn)區(qū)域的全體出行者自由選擇出行終點(diǎn)。公式(7)表示了路徑流量和路段流量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

3 基于路徑選擇的交通擁擠費(fèi)定價(jià)模型

由基于路徑選擇的交通流分配模型，可以得到在某一擁擠費(fèi)下的各個(gè)路段的交通量、路段飽和度以及社會(huì)成本等信息。根據(jù)交通擁擠的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，判斷在此擁擠費(fèi)下的道路的狀態(tài)。循環(huán)此過(guò)程，直到得到無(wú)論道路飽和度還是社會(huì)成本都最小的情況，輸出此時(shí)的擁擠費(fèi)用。根據(jù)全國(guó)高速公路收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，每車每公里平均收費(fèi)1.36 元，一條路段的長(zhǎng)度范圍大概在1 ～10 公里，因此擁擠費(fèi)用u 選擇范圍在1 ～10 元。具體基于路徑選擇的交通擁擠費(fèi)定價(jià)流程如圖1。

4 模型求解

圖1 基于路徑選擇的交通擁擠費(fèi)定價(jià)模型

針對(duì)基于路徑選擇的交通流分配雙層規(guī)劃模型，可以通過(guò)將雙層問(wèn)題中的下層問(wèn)題用它的Kuhn-Tucker［8］條件代替，轉(zhuǎn)化為一個(gè)單層的參數(shù)線性互補(bǔ)問(wèn)題。令為約束條件(6)對(duì)應(yīng)的拉格朗日算子，那么拉格朗日函數(shù)為:

根據(jù)Kuhn-Tucker［8］條件，上述拉格朗日函數(shù)在極值點(diǎn)必須滿足以下條件:

條件(12)可以簡(jiǎn)化為:

因此，在極值點(diǎn)處的雙層規(guī)劃模型可以轉(zhuǎn)化為如下的單層問(wèn)題，該單層問(wèn)題可直接利用LINGO軟件直接進(jìn)行編程求解

5 算例分析

考慮如圖2 所示的道路網(wǎng)絡(luò)，存在7 條路段和6 個(gè)結(jié)點(diǎn)。其中，結(jié)點(diǎn)1 和2 是起點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)3 和4 是終點(diǎn)。網(wǎng)絡(luò)中有4 對(duì)O -D 對(duì)分別為(1，3)，(1，4)，(2，3)和(2，4);有6 條路徑分別為r1= {1}，r2= {2，5，6}，r3= {2，5，7}，r4= {4，5，6}，r5= {4，5，7}，r6= {3}。結(jié)點(diǎn)1 的出行需求O1= 90 ，結(jié)點(diǎn)2 的出行需求O2= 60。

圖2 算例網(wǎng)絡(luò)

擁擠定價(jià)政策對(duì)出行者的影響可以理解為通過(guò)改變出行者廣義費(fèi)用Ta，從而改變其出行路徑的過(guò)程。廣義費(fèi)用包括路段費(fèi)用函數(shù)和擁擠費(fèi)用，即

其中路段費(fèi)用函數(shù)采用標(biāo)準(zhǔn)的BRP 函數(shù)形式，即

其中，參數(shù)取默認(rèn)值為α = 0.15，β = 4 。道路屬性參數(shù)的取值如表2 所示。

分別對(duì)路段1 收取1 ～10 元的擁擠費(fèi)用，表3列出分別收取0 元、5 元和6 元交通擁擠費(fèi)用，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中路段流量情況。

表2 道路屬性參數(shù)值

表3 不同擁擠費(fèi)用時(shí)道路使用情況

觀察表3，方案一有5 條擁擠路段，方案二有3條擁擠路段，而方案三有4 條擁擠道路。且社會(huì)成本也隨著收取一定的擁擠費(fèi)用有所下降又彈回。比較方案一和方案二，說(shuō)明在相同的區(qū)域，當(dāng)?shù)缆分行纬蓳頂D時(shí)，當(dāng)對(duì)擁擠道路收取擁擠費(fèi)用，可有效緩解道路的擁擠情況，且降低社會(huì)成本。比較方案二和方案三，可知對(duì)擁擠道路收取擁擠費(fèi)用不是越多越好，有可能反而造成道路分配的極端化，社會(huì)成本也會(huì)隨之增加。

因此根據(jù)基于路徑選擇的交通擁擠費(fèi)定價(jià)模型，此時(shí)我們選擇的擁擠費(fèi)是5 元，即u=5。

6 結(jié)語(yǔ)

收取擁擠費(fèi)用是一項(xiàng)十分有效的交通需求管理措施，從廣義上講，交通擁擠是由于各種城市交通服務(wù)方式的價(jià)格低于成本引起的，尤其是城市機(jī)動(dòng)車使用者僅僅支付其直接費(fèi)用，而未支付其出行給社會(huì)和其他出行者帶來(lái)的全部成本，從而鼓動(dòng)了機(jī)動(dòng)車交通量的迅速增長(zhǎng)。本文考慮到用戶與系統(tǒng)的需求，擁擠費(fèi)的確定依賴于多路徑選擇下個(gè)人成本總量與社會(huì)總成本最優(yōu)的多目標(biāo)優(yōu)化模型。交通擁擠收費(fèi)除了可以抑制交通的不必要需求外，驗(yàn)證算例還表明，合理的交通擁擠收費(fèi)可以較好地分配交通資源，促使交通網(wǎng)絡(luò)達(dá)成更好的平衡。

［1］YANG H，LAM W H K. Optimal road tolls under conditions of queuing and congestion［J］. Transportation Researh A，1996，30:319 -332.

［2］YANG H，BELL M G H.Traffic restraint，road pricing and network equivibrium［J］.Transportation Research B，1997，31:303 -314.

［3］李志純，谷強(qiáng)，史峰. 彈性需求下?lián)頂D道路收費(fèi)的模型與算法研究［J］.交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào)，2001，1(3):81 -85.

［4］郭瑞軍，王晚香.城市交通擁擠的社會(huì)成本分析初探［J］，城市公共交通，2008(4):26 -29.

［5］吳中，何群.緩解交通擁擠的多目標(biāo)優(yōu)化模型和算法研究［J］.大連交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，33(2):15 -19.

［6］陳來(lái)榮. 城市道路擁擠收費(fèi)關(guān)鍵問(wèn)題研究［D］. 北京:北京工業(yè)大學(xué)，2005.

［7］杜牧青.道路網(wǎng)絡(luò)容量模型及算法［D］.南京:東南大學(xué)，2014.

［8］何瑞春.最優(yōu)化理論及應(yīng)用［M］.香港:香港GLOBAL-LINE 出版社，2007.