金玲玲，蘇岐芳

（臺州學院數(shù)學與信息工程學院，浙江臨海317000）

幾類特殊矩陣方程組的迭代解法收斂性分析

金玲玲，蘇岐芳*

（臺州學院數(shù)學與信息工程學院，浙江臨海317000）

討論了線性方程組Ax=b中的系數(shù)矩陣A為上三角矩陣、三對角矩陣、嚴格對角占優(yōu)矩陣時，Jacobi迭代陣與Gauss-Seidel迭代陣的譜半徑之間關系，進而對兩種迭代法的收斂速度進行比較.理論分析及數(shù)值結果表明，在一定條件下Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收斂較快，這對于求解特殊矩陣方程組時迭代法的選取具有一定的實際意義.

特殊矩陣；收斂；收斂速度

0　引言

在自然科學、工程技術等各領域中，許多問題的解決常常歸結于求解線性方程組Ax=b.一般地，求解線性方程組主要有直接解法和迭代解法［1］.經典迭代解法包括Jacobi迭代法、Gauss-Seidel（G-S）迭代法、SOR方法和AOR方法等［7］，其中最常用的方法為Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法.

考慮線性方程組

用迭代法解方程組（1），誤差估計式

可以看出，‖A‖越小收斂速度越快，且可用來估計迭代次數(shù).

對于線性方程組Ax=b，系數(shù)矩陣A=（aij）n×n，aii≠0（i=1，2…n），作分裂：

則Jacobi迭代陣為J=D-1（D-A），G-S迭代陣為G=（D-L）-1U［6］.

引理1［1］設有方程組x=Bx+f，及一階定常迭代法x（k+1）=Bx（k）+f，對任意選取初始向量x（0），迭代法收斂的充要條件是矩陣B的譜半徑ρ（B）＜1.

引理2［1］若A為嚴格對角占優(yōu)矩陣，則解方程組Ax=b的雅克比迭代法和高斯-賽德爾迭代法均收斂.

引理3［1］設A∈Rn×n，則ρ（A）≤‖A‖，即A的譜半徑不超過A的任何一種算子范數(shù).

1　迭代解法及收斂性分析

1.1系數(shù)矩陣A為上三角矩陣

其Jacobi迭代陣和G-S迭代陣分別為

顯然，ρ（J）=ρ（G）=0，由引理1可得，解Ax=b的Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂，且收斂速度相同.

1.2系數(shù)矩陣A為三對角矩陣

1.A為對稱三對角矩陣，且非零元素全都相等設

則Jacobi迭代陣

考慮J的特征值，令

則φn（λ）有n個不同的實零點，由于φ2（λ）的零點為-1和1，因此，當n≥3時φn（λ）的最大零點必大于1，

即J的譜半徑ρ（J）＞1［4］.因此Jacobi迭代法不收斂.

G-S迭代陣為

令rij表示矩陣G中的第i行第j列元素，則有

可以證明，ρ（G）≥1（當A為2階方陣時取等號），因此G-S迭代法不收斂.

2.A為對稱三對角矩陣，且三條對角線上的元素分別相等

設aii=a，aij=aji=b，j=i+1，

A為三階矩陣時

則有

A為四階矩陣時

則有

3.A為一般三對角矩陣

A為三階矩陣時

一般地

則有

其中

當ρ（J）＜1且ρ（G）＜1時Jacobi迭代法和G-S迭代法均收斂.

1.3系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)矩陣

1.A的對角線元素全為a，其他元素全為b

由引理2知，Jacobi迭代法和G-S迭代法都收斂.

Jacobi迭代陣為

令λI-J=0即

G-S迭代陣為

其中rij表示G的第i行第j列元素.

設矩陣G中第i行元素絕對值的和為Ri，當a，b同號時，，則有

2.A的非對角線元素全為b

Jacobi迭代陣和G-S迭代陣分別為

3.系數(shù)矩陣A為一般嚴格對角占優(yōu)矩陣

A為二階矩陣時

A為三階矩陣時

當對角線上的元素的絕對值都遠大于對應行的其他元素的絕對值之和，即時，ρ（J）≈0， ρ（G）≈0，兩種迭代法收斂速度基本相同.

2　數(shù)值結果

對于線性方程組Ax=b，令

b=（3，-1，0.5，7，2）T，x0=（0，0，0，0，0）T精度為10-5.

例2.1系數(shù)矩陣A為上三角矩陣

迭代結果x=（2.0000，-0.1375，1.5500，1.6500，0.4000）T.見表1.

表1　例2.1迭代比較Table.1　The comparison of example 2.1

例2.2系數(shù)矩陣A為三對角矩陣

迭代結果x=（-0.7077，0.1693，0.6542，1.0963，3.2692）T.見表2.

表2　例2.2迭代比較Table.2　The comparison of example 2.2

例2.3系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)矩陣

迭代結果x=（0.2280，-0.3108，-0.1126，1.1649，0.2061）T.見表3.

表3　例2.3迭代比較Table.3　The comparison of example 2.3

3　結論

對于系數(shù)矩陣為上三角矩陣，Jacobi與Gauss-Seidel迭代法都收斂且收斂速度相同.對于系數(shù)矩陣為三對角矩陣時，在兩種迭代法都收斂的情況下，在一定條件下Gauss-Seidel迭代法比Jacobi迭代法收斂較快.對于系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣時，Jacobi與Gauss-Seidel迭代法都收斂且在一定條件下Gauss-Seidel迭代法收斂較快，當對角線上的元素的絕對值都遠大于對應行的其他元素的絕對值之和時，兩種迭代法的收斂速度基本相同.

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（責任編輯：耿繼祥）

The Convergence Analysis of Iterative Methods for Systems with Some Special Matrices

JIN Lingling，SU Qifang*
（School of Mathematics and Information Engineering，Taizhou University，Linhai 317000，China）

In this paper，we discuss the relationship of spectral radius of Jacobi and Gauss-Seidel iterative matrices for solving systems of linear equations Ax=b which has special matrix，containing upper triangular matrix，tridiagonal matrixand strictly diagonally dominant matrix，etc.，compare the convergence rate for Jacobi and Gauss-Seidel iterative methods.Theoretical analysis and numerical results show that in general，the convergence speed of the Gauss-Seidel iterative method is equal to or greater than that of Jacobi iterative method.The solution has a certain practical significance for solving special system of linear equations.

special matrix；convergence；the rate of convergence

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2015.06.002

2015-05-04；

2015-06-13

簡介：蘇岐芳（1964-），女，黑龍江綏化人，副教授，主要研究計算數(shù)學。