朱戰(zhàn)輝，汪立新，李　燦

（第二炮兵工程大學控制科學與工程系，西安710025）

動態(tài)總方差及其在陀螺振動信號分析中的應用*

朱戰(zhàn)輝，汪立新*，李燦

（第二炮兵工程大學控制科學與工程系，西安710025）

動態(tài)Allan方差是分析動態(tài)環(huán)境下陀螺儀隨機誤差變化規(guī)律的一種新方法。針對其運用窗函數截取信號導致方差估計值置信度降低，尤其是長相關時間上估計誤差大的問題，提出了動態(tài)總方差法。用矩形窗分段截取陀螺儀量測信號，再對截斷窗內數據進行倒像映射延拓以增加方差估計的實際自由度，最后計算延拓后樣本的Allan方差并提取其噪聲系數，將其按時間順序分別以三維和二維的形式表征出來，以細化和辨識陀螺輸出的動態(tài)特性。從對半球諧振陀螺線振動試驗實測數據處理結果來看，新算法不僅能及時跟蹤信號的非平穩(wěn)變化，而且有效提高了振動信號方差估計值的置信度。

陀螺儀；動態(tài)特性；動態(tài)Allan方差；總方差；振動信號

EEACC：7230；7310Gdoi：10.3969/j.issn.1004-1699.2015.12.010

陀螺儀是慣性導航系統(tǒng)的核心部件，其靜動態(tài)性能的優(yōu)劣直接影響到導彈、火箭及其它飛行器的工作精度。在慣導系統(tǒng)工作過程中，機械振動是不可避免且長期存在的，陀螺能否在振動環(huán)境下保持高穩(wěn)定性與高精度成為影響整個慣導系統(tǒng)精度的重要因素［1］。Allan方差是一種從時域數據中分析振蕩器頻率穩(wěn)定性的方法，能夠對陀螺輸出角速率中存在的各個噪聲項和整個噪聲系統(tǒng)進行細致的表征和辨識［2］。但該方法只能對陀螺靜態(tài)信號隨機誤差進行分析，不能表征其在動態(tài)激勵下的時域非平穩(wěn)特征。因此近年來有學者將用于分析原子時鐘頻率非平穩(wěn)性的動態(tài)Allan方差DAVAR（Dynamic Allan Variance）引入到陀螺隨機噪聲的分析中來［3-4］。文獻［5-6］將該方法應用到光纖陀螺振動和變溫條件下的性能評價上，有效地表征出了輸出信號在動態(tài)試驗中所表現出的時變特性。然而由于動態(tài)Allan方差法引入了窗函數截斷的理論，使截斷窗內參與Allan方差計算的數據相對整個序列來說大幅減少，這對短相關時間下噪聲系數的擬合來說影響較小，但中、長相關時間下噪聲系數（低頻噪聲系數）的擬合精度將大大降低。如果一味的通過增大窗寬的方法來增加方差估計的置信度，必然會降低動態(tài)跟蹤效果，與動態(tài)Allan方差方法的設計原則相背離。因此，要想提高低頻噪聲系數的擬合精度就必須立足于有限數據量去改進方差估計算法，以提高中、長相關時間下的估計置信度。

實際上，學者們已經對有限數據量下提高方差估計置信度的方法開展了大量的研究。比較成熟的方法主要有重疊Allan方差，是通過重疊采樣形成所有可能的相關時間為τ的子序列，來最大限度的利用現有數據估計Allan方差［7］。Allan總方差是采用倒鏡像映射的方法，對數據兩段進行延伸，然后再對延伸后的數據計算其Allan方差，可以有效提高長相關時間下方差的估計精度［8］。#1理論方差是模仿Allan方差的較新的統(tǒng)計方法，其相關時間可以從10到0.75 N，具有更好的置信度，但#1理論方差是對Allan方差的有偏估計，因此需要對其做偏差修正［9］。ThêoH方差是去除了#1理論方差與Allan方差之間偏差，再與Allan方差合成的較新的統(tǒng)計方法，尤其適合于相關時間較長和多種噪聲混合存在的情況，可以從相同的數據序列中最大程度的獲得更多的統(tǒng)計信息［10］。韓軍良、石國祥等將總方差法引入到光纖陀螺靜態(tài)信號的隨機誤差分析中，有效的提高了長相關時間下噪聲系數的估計值置信度［11-12］。本文將動態(tài)總方差法提出的倒鏡像延伸數據的思想運用到DAVAR算法截斷窗窗內數據估計置信度的提高上，有效改善了中、長相關時間下隨機噪聲系數的擬合精度。通過對線振動試驗中半球諧振陀螺量測信號的分析，驗證了本文算法的有效性。

1　動態(tài)Allan方差

DAVAR法是Allan方差法的擴展，其原理是用固定長度的矩形窗函數分別截取信號在不同時段內的數據，計算其Allan方差，并把方差的集合、時間和相關時間（平均因子）在同一幅三維圖上表示出來，以表征信號方差在時間域的變化特征。進一步還可以用最小二乘法提取出每個截斷窗內樣本的噪聲系數，再分別按時間順序上排列出來，繪制出各個噪聲系數的時間變化曲線。

2　總方差

2.1總方差法的原理

Allan方差的估計是基于有限長度的數據，估計的可信度依賴于數據的獨立組數。對于給定的隨機序列，如果數據樣本越少，可劃分的組數就越少，Allan方差的估計置信度較差，估計誤差就越大［11］。針對此種情況，總方差法通過對原始數據進行倒鏡像映射延拓的辦法來增加自由度，其原理如下：

設有一個時間序列信號xi（i=1,2,…,N），采樣時間為τ0，將這個序列通過映射延伸成一個新的、更長的虛擬序列x?i，映射的規(guī)則為

其經過橫軸平移后的映射示意圖如圖1。

圖1　R總方差定義下的數據映射示意圖

得到虛擬序列的長度接近于原始序列的三倍，式（1）為映射后序列的計算公式，其中m為平均因子，1≤m≤N-1

對比二者的定義可以看出，Allan方差估計的相關時間τ只能達到，而總方差估計的相關時間則達到。

圖2為對同一組陀螺輸出進行Allan方差分析和總方差法分析的雙對數曲線圖，可見在長相關時間，也就是大的平均因子下，總方差法是收斂的，且具有更大的τ值，而Allan方差是發(fā)散的。

圖2　RAllan方差和總方差雙對數曲線比較圖

2.2總方差法的估計誤差

用總方差法分析陀螺數據時，僅給出方差的估計值是不完整的，還應該給出這個估計值的置信度，置信度取決于自由度。在樣本數據量大小不能改變前提下，文獻［10］運用交疊Allan方差、總方差和ThêoH方差對頻率穩(wěn)定度進行了分析，結論是在τ=T/2情況下，ThêoH方差的自由度大于總方差的自由度，總方差的自由度又大于交疊Allan方差的自由度。但是ThêoH方差的計算量特別大，不適合實時在線分析。因此我們選用了總方差來替換Allan方差進行陀螺隨機誤差系數的動態(tài)提取。文獻［7］通過對陀螺和加速度計的分析，也證明了在長相關時間下總方差的估計準確度要大于交疊Allan方差和Allan方差。

3　動態(tài)總方差算法設計

動態(tài)總方差DTVAR（Dynamic Total Variance）借用DAVAR法用窗函數截斷數據的思想，分段截取數據后按照一定規(guī)則進行數據延拓，計算其Allan方差和標準差并將其按時間序列排列，DTVAR方法的具體實現步驟如下：

圖3　RDTVAR算法設計流程圖

①確定隨機信號x（t）分析時間起始點t1。

②用中心點為t1，寬度為L的窗函數截斷隨機信號x（t），獲得窗口截斷信號yT（t1,t′），支撐變量t′描述窗內漸逝的時間

PW（t′）為長度L的窗函數，截取得到的信號為

③將窗口截斷信號yT（t1,t′）按照式（1）進行倒像映射延伸，得到虛擬序列

④將y*T（t1,t′）同Allan窗口hτ（t′）做卷積建立增量過程Δ（t1,t′,τ）

這時變量t′的范圍變?yōu)?/p>

0≤τ≤τmax，通常取τmax=L/3，則動態(tài)總方差在t1時刻的估計值為

Allan方差可以被定義為上式的總體期望值

對比Allan方差和總方差的定義可以看出，Allan方差估計的相關時間τ只能達到Nτ0/2，而總方差估計得相關時間τ則達到Nτ0，估計范圍得到了擴展。

⑤陀螺的部分主要隨機噪聲系數可以通過最小二乘擬合分離出來，公式如下

其中Q、N、B、K、R分別代表了陀螺的噪聲系數：量化噪聲（quantization noise）、隨機游走系數（angle random walk）、零偏不穩(wěn)定性（bias instability）、速率隨機游走（rate random walk）和速率斜坡（the rate slope）。

⑥將窗口滑動到t2，用窗函數PW（t′）截取x（t），獲得窗口截斷信號yT（t2），重復步驟（2）～步驟（6），得到σ（t2,τ），以此類推，可以得到時間域的總方差序列σ（tN,τ）。其中tn+1截斷的窗口最好與以tn為中心截斷的窗口相重疊。

⑦最終將動態(tài)Allan方差序列σ2（tN,τ）或動態(tài)Allan標準差DADEV（Dynamic Allan Deviation）σ（tN,τ）按時間順序繪制在σ（tN,τ）-τ-t的三維圖上，從宏觀上表征隨機誤差的動態(tài)特征。

4　動態(tài)試驗驗證

半球諧振陀螺（HRG）是一種基于哥氏效應的陀螺儀，具有啟動時間短，長期穩(wěn)定性好等特點［13］。本文以71號陀螺在線振動試驗中采集到的角速率量測信號為原始數據，振動試驗初始加速度為5 g，線振動固定頻率為1.5 Hz，采樣時間為0.1 s，采集數據6 173個。對該信號進行預處理，得到隨機誤差信號如圖5所示。

圖4　R陀螺線振動實驗臺

圖5　R振動條件下半球諧振陀螺量測信號

分別運用DTVAR和DAVAR方法對半球諧振陀螺量測信號進行三維分析的結果如圖6和圖7所示，可以看到，動態(tài)過程在三維圖中得到了表征，顏色亮度的變化同標準差數值大小成正比。此外，圖7比圖6在長相關時間下方差估計值的波動要大的多，這正是Allan方差在長相關時間下自由度低于總方差法造成的。比較看來，DTVAR方法能更好的對HRG進行動態(tài)特征分析。

圖6　R半球諧振陀螺振動試驗信號的DTVAR分析

圖7　R半球諧振陀螺振動試驗信號的DAVAR分析

將隨機噪聲系數中比較重要的角度隨機游走和零偏不穩(wěn)定性分別用DTVAR和DAVAR方法對其進行辨識，再用最小二乘法擬合出來，其中DTVAR用的是401窗寬，DAVAR分別用401窗寬、801窗寬和1 201窗寬，比較結果如圖8、圖9所示。

圖8　R零偏不穩(wěn)定性的DAVAR和DTVAR比較分析

圖9　R角度隨機游走的DAVAR和DTVAR比較分析

DAVAR方法提出者Galleani L指出，截斷窗越短，動態(tài)跟蹤能力越強，但方差估計值的置信度較低；截斷窗越長，方差估計值的置信度較高，動態(tài)跟蹤能力越差，兩者是一組矛盾，通常很難平衡。而DAVAR方法在一定程度上解決了這個矛盾，即用較短的窗寬截取信號依然可以保持較高的置信度。為驗證這一點，我們分別用DAVAR和DTVAR方法對振動段信號進行分析，截斷窗長同為401。從圖8和圖9中可以觀測到，無論是角度隨機游走還是零偏不穩(wěn)定性，DAVAR方法的方差估計值總是大于DTVAR。要想使DAVAR與DTVAR的估計值相同就需要增加DAVAR截斷窗長，零偏不穩(wěn)定性噪聲系數的分析窗長需要增加到1 201，而角度隨機游走系數的分析窗長需要增加到801。然而，隨之而來的是動態(tài)跟蹤能力的下降。

從圖8和圖9還可以看到：DAVAR方法1 201窗長和801窗長所定位的突變發(fā)生點都較大的偏離了真實的突變發(fā)生點。這是因為長窗寬截斷窗包含了更多的數據，過早的把振動信號包含了進來；振動結束后，窗口又遲遲不能離開振動發(fā)生點。此外，還可以看到1 201窗長使整個振動過程都發(fā)生了嚴重的畸變，振動過渡段被大幅拉長，而實際上，無論振動開始，還是振動結束，其過渡過程都是很短暫的。DTVAR的估計值比DAVAR的波動性小，更適合分析動態(tài)特性及動態(tài)變化時間點的準確定位。

HRG動態(tài)試驗是固定頻率的正弦線振動試驗，所以當振動進入平穩(wěn)振動段，也就是2 000采樣點到3 500采樣點時，我們可以認為此時間段里陀螺的輸出也是平穩(wěn)的，DTVAR三維分析圖也驗證了這個推斷。為更準確的比較這兩種算法的準確度，我們參照文獻［14］的方法，分別對平穩(wěn)振動段（2 000～3 500采樣點）和靜態(tài)段（4 300～5 800采樣點）的信號展開分析，分別繪制出陀螺5個主要隨機噪聲系數在這兩個階段的動態(tài)變化曲線。同時用這兩個數據段的Allan方差值作為標準值，截斷窗內樣本數據為401個屬于小樣本，而該數據段包含了1 500個數據，樣本數據量大，顯然置信度要高于截斷窗內數據的置信度，因此將其作為大樣本下的標準值。對兩種算法展開比較，結果如表1和表2所示?？梢钥闯觯簞討B(tài)總方差法的噪聲系數擬合準確度要高于DAVAR方法。尤其在中、長相關時間下的噪聲系數，如速率隨機游走和速率斜坡的擬合精度上，有了較大改善。

圖10是分別用DTVAR401窗長，DAVAR401窗長和DTVAR1201窗長對信號進行辨識獲得的零偏穩(wěn)定性時間變化曲線。48.67是振動段大數據樣本（2 000～3 500點）下用Allan方差辨識出來的高置信度基準值。可以看到，用DTVAR401窗長提取的振動條件下零偏穩(wěn)定性與基準值最為接近。

圖10　R振動條件下零偏不穩(wěn)定性比較分析圖

表1　R振動條件下噪聲系數的方差估計值

表2　R靜態(tài)條件下噪聲系數的方差估計值

5　結論

針對動態(tài)Allan方差法用窗函數截斷數據造成方差估計值置信度低，導致噪聲系數擬合精度不高的問題，提出了基于倒鏡像映射延伸數據的動態(tài)總方差法，用總方差替代Allan方差進行截斷窗內數據的方差估計。將提出的動態(tài)總方差法應用于半球諧振陀螺線振動試驗實測數據的動態(tài)特征分析，結果表明：新算法在不降低動態(tài)跟蹤效果的前提下，有效提高了截斷窗內方差估計值的置信度，尤其是中、長相關時間，也就是大平均因子下的方差估計置信度。此外，該算法具有較快的運算速度，可以用于陀螺噪聲系數的實時在線提取及分析。

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Dynamic Total Variance and Its Application in Analysis of Dynamic Characteristics of Gyroscope*

ZHU Zhanhui，WANG Lixin*，LI Can
（The Second Artillery Engineering University，Xi'an 710025，China）

The dynamic Allan variance（DAVAR）is a new method for analyzing random error of gyroscope.However，it has defects such as poor confidence on the estimate and great estimation error at long-term τ-values，due to the reduced amount of data captured by the truncation windows.An improvement dynamic Allan variance is proposed to increase the confidence in the case of long-term τ-values.Firstly，the random error of FOG is truncated with the window function.Then the data in the windows are extended by the total variance method to improve the confidence on the estimate，At last the Allan variance of extended data is calculated，and the noise coefficients of gyro can also be identified and extracted at the same time.At last，they are expressed by three or two-dimensional to describe the dynamic characteristics of gyro.The measured data of linear acceleration test for Hemispherical Resonator Gyro is analyzed with proposed algorithm and dynamic Allan variance.The results shows that proposed algorithm can track the non-stationary of gyroscope more effectively and obtain a lower estimation error at long-term τ-values.

gyroscope；dynamic characteristics；dynamic Allan variance；total variance；vibration signal

朱戰(zhàn)輝（1978-），男，河南人，博士研究生，控制科學與工程專業(yè)，主要研究方向為慣性系統(tǒng)及測試，數字信號處理，zzhhit@sina.com；

汪立新（1966-），男，湖北人，博士學位，教授，博士生導師，主要研究方向為：慣性技術、組合導航及信號測試與處理，wlxxian@163.com。

V241.5

A

1004-1699（2015）12-1789-06

項目來源：國家自然科學基金項目（61503390）

2015-07-17修改日期：2015-09-15