孫超，戴睿，郝曉辰，劉彬，周湛鵬

（燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

引 言

模型預(yù)測(cè)控制（MPC）[1-2]是一類產(chǎn)生于工業(yè)控制實(shí)踐的計(jì)算機(jī)控制算法。作為先進(jìn)控制技術(shù)的典型代表，由于具有建模容易、魯棒性好、約束處理靈活等優(yōu)點(diǎn)，而被廣泛地應(yīng)用于石油、化工等工業(yè)過程[3-5]。在實(shí)際工業(yè)過程應(yīng)用中，MPC 對(duì)被控變量（CV）的控制方式主要有設(shè)定值控制（set point control）和區(qū)間控制[6-7]（interval control）兩種。設(shè)定值控制可以將CV 控制在理想的目標(biāo)值，適用于具有嚴(yán)格控制指標(biāo)的CV，但其又有自由度低、魯棒性差的缺點(diǎn)，特別體現(xiàn)在遇到工業(yè)擾動(dòng)時(shí)的控制性能會(huì)嚴(yán)重下降，使得CV 產(chǎn)生劇烈波動(dòng)，影響產(chǎn)品質(zhì)量[8-10]。相比之下，區(qū)間控制系統(tǒng)具有自由度高、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)，近年來代替設(shè)定值控制成為各界研究的重點(diǎn)。文獻(xiàn)[11]提出一種“軟約束”處理方法改善控制品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)區(qū)間控制。文獻(xiàn)［12］提出了一種穩(wěn)定的區(qū)間MPC 控制器，該方法的代價(jià)函數(shù)中包含了輸入輸出的穩(wěn)態(tài)經(jīng)濟(jì)目標(biāo)，由于考慮了零值控制器，所以此控制器并不能達(dá)到局部最優(yōu)。文獻(xiàn)[13]用一種穩(wěn)態(tài)區(qū)間可操作性方法設(shè)計(jì)了基于模型的約束控制器，可用來處理輸入個(gè)數(shù)少于輸出的多變量的非方系統(tǒng)，不過，此方法中輸入集合與輸出集合的兼容性容易出現(xiàn)問題。上述文獻(xiàn)均是采用包含理想目標(biāo)值在內(nèi)的區(qū)間范圍來代替確定的理想目標(biāo)值，在CV 進(jìn)入?yún)^(qū)間后，將不再進(jìn)行控制作用，CV 可能運(yùn)行在區(qū)間內(nèi)的任意位置而非理想目標(biāo)值。這些方法雖然提高了系統(tǒng)的魯棒性和自由度，卻并沒有對(duì)設(shè)定值控制的性能做進(jìn)一步優(yōu)化，解決設(shè)定值控制魯棒性差、自由度低的缺點(diǎn)。

為解決上述問題，本文兼顧設(shè)定值控制和區(qū)間控制各自的優(yōu)勢(shì)，基于動(dòng)態(tài)矩陣控制（DMC）[14-15]，提出一種三角區(qū)間軟約束模型預(yù)測(cè)控制算法。算法根據(jù)工業(yè)過程實(shí)際要求，設(shè)置容忍區(qū)間及理想目標(biāo)值，并以此確定三角區(qū)間，目的是優(yōu)先將CV 控制在三角區(qū)間中，再對(duì)CV 進(jìn)行動(dòng)態(tài)優(yōu)化，逐步將CV控制到理想的目標(biāo)值，與此同時(shí)，又增加了系統(tǒng)的自由度，保證一定的魯棒性。最后，通過對(duì)Shell公司的典型重油分餾塔進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了算法的有效性及可行性。

1 三角區(qū)間軟約束模型預(yù)測(cè)控制算法研究

實(shí)際工業(yè)過程中，對(duì)具有嚴(yán)格控制指標(biāo)的CV往往采用設(shè)定值控制，以期望將CV 穩(wěn)定在某一理想值。但是，傳統(tǒng)設(shè)定值控制的自由度低、魯棒性差，特別是在系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能會(huì)嚴(yán)重下降[16-17]。因此，在設(shè)定值控制的基礎(chǔ)上，加入三角區(qū)間軟約束，使CV 到目標(biāo)值的控制分解為兩個(gè)階段。第一階段是令受干擾后的CV 進(jìn)入到所設(shè)置的區(qū)間內(nèi)，第二階段是在區(qū)間內(nèi)將CV 進(jìn)一步控制到目標(biāo)值。通過這種方法來減小目標(biāo)函數(shù)求解的誤差，提高系統(tǒng)的自由度和魯棒性。

1.1 三角區(qū)間軟約束的設(shè)計(jì)

根據(jù)工業(yè)流程控制的工藝，確定控制過程中第一階段的控制目標(biāo)，即將CV 控制在包含理想值的區(qū)間內(nèi)。當(dāng)CV 被控在此區(qū)間內(nèi)時(shí)，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行及產(chǎn)品的質(zhì)量，稱此區(qū)間為容忍區(qū)間（tolerance range）。

如圖1所示，yc為預(yù)測(cè)輸出，ymax、ymin為容忍區(qū)間的上下界，yH、yL為三角區(qū)間的上下界，ysp為目標(biāo)值。ε為表征預(yù)測(cè)值超出三角區(qū)間程度的變量。P為預(yù)測(cè)時(shí)域，yH、yL分別由k時(shí)刻容忍區(qū)間的上下界與k+P時(shí)刻的目標(biāo)值相連獲得。從圖中可以看出，三角區(qū)間的上下界可以用幾何關(guān)系求出

其中，1,,jP=… 。由式(1)、式(2)可知，當(dāng)ymax、ymin和ysp設(shè)置完成后，yH和yL與預(yù)測(cè)時(shí)域P的值有關(guān)，一旦P值確定，yH和yL在各個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)刻的值也被確定。除非為了改變控制策略而改動(dòng)了已設(shè)置參數(shù)的值，否則yH和yL的值在滾動(dòng)優(yōu)化的過程中將不再改變。

圖1 三角區(qū)間設(shè)置示意圖Fig.1 Triangular interval setting diagram

由此，可以得到k時(shí)刻優(yōu)化變量ε的表達(dá)式

其中，j=1,…，P。由式(3)可以看出，當(dāng)Yc在三角區(qū)間外時(shí)，ε表示Yc到最近的三角區(qū)間界限的距離。而當(dāng)Yc在三角區(qū)間內(nèi)部時(shí)，ε的值恒為零。以優(yōu)化變量 ε(k) 構(gòu)成三角區(qū)間軟約束（triangle interval soft constraint,TISC），并加入到目標(biāo)函 數(shù)中。

1.2 目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)

當(dāng)CV 受到擾動(dòng)時(shí)，導(dǎo)致輸出值嚴(yán)重偏離了目標(biāo)值，且超出了三角區(qū)間，這時(shí)希望控制器能夠?qū)︻A(yù)測(cè)值進(jìn)行一個(gè)強(qiáng)的懲罰，使預(yù)測(cè)值快速地回到三角區(qū)間，當(dāng)預(yù)測(cè)值進(jìn)入三角區(qū)間后，再通過設(shè)定值控制把預(yù)測(cè)值逐步控制到目標(biāo)值上。

根據(jù)這一控制思路，提出如下的優(yōu)化性能指標(biāo)

其中

Yc(k)為k時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，Q、R、S為各項(xiàng)的權(quán)值矩陣，M為控制時(shí)域，目標(biāo)函數(shù)的第1 項(xiàng)是三角區(qū)間軟約束項(xiàng)，第2 項(xiàng)為設(shè)定值控制項(xiàng)，第3 項(xiàng)則是為了防止控制增量變化太過劇烈MV 軟約束 項(xiàng)[18]。

由目標(biāo)函數(shù)可以看出，本文所提算法與設(shè)定值控制及區(qū)間控制是有密切聯(lián)系的，通過權(quán)值的調(diào)節(jié)也可以看出這一點(diǎn)。當(dāng)權(quán)值矩陣Q的值全為零時(shí)，即相當(dāng)于消去三角區(qū)間軟約束項(xiàng)，此時(shí)將只進(jìn)行設(shè)定值控制。同理，當(dāng)權(quán)值矩陣R的值全為零時(shí)，將只進(jìn)行三角區(qū)間控制。

1.3 三角區(qū)間軟約束MPC 算法

假設(shè)被控對(duì)象為開環(huán)漸進(jìn)穩(wěn)定系統(tǒng)，且有m個(gè)輸入，p個(gè)輸出。將本文設(shè)計(jì)的三角區(qū)間軟約束與DMC 相結(jié)合，并應(yīng)用于此被控對(duì)象，給出三角區(qū)間軟約束MPC 算法的流程。

1.3.1 預(yù)測(cè)模型 若已測(cè)得每個(gè)輸出yi對(duì)每一輸入uj的階躍響應(yīng)aij(t)，則可由它們?cè)诓蓸狱c(diǎn)上的值組成模型向量

式中，N為建模時(shí)域。

1.3.2 輸出預(yù)測(cè) 取預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)镻，控制時(shí)域?yàn)镸，則yi的模型預(yù)測(cè)輸出為

式中

將多變量系統(tǒng)預(yù)測(cè)輸出寫為矩陣形式

其中

為了減小實(shí)際控制過程中存在的干擾及模型失配對(duì)預(yù)測(cè)輸出造成的影響，采用當(dāng)前時(shí)刻模型輸出與系統(tǒng)的實(shí)際輸出的差值對(duì)預(yù)測(cè)輸出進(jìn)行修正

其中，ei(k)=y i(k) -yci(k|k)為當(dāng)前時(shí)刻模型輸出與系統(tǒng)的實(shí)際輸出的差值。為誤差校正矩陣。

1.3.3 目標(biāo)函數(shù)的求解

①Yc在三角區(qū)間內(nèi)時(shí)=0，則目標(biāo)函數(shù)化為

顯然，此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)僅是設(shè)定值控制的表達(dá)形式，屬于標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃問題。

②Yc在三角區(qū)間上方時(shí)=Yc-YH，則

即

其中，E=Q(Y0-YH) +R(Y0-Ysp)為對(duì)角陣，F(xiàn)=AT(Q+R)A+S，Const 為已知的系數(shù)矩陣運(yùn)算式，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的求解并沒有影響。因此，此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)是二次規(guī)劃問題。

③Yc在三角區(qū)間下方時(shí)ε(k)=YL-Yc，與情形②類似，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)也是二次規(guī)劃問題。

綜上所述，無論Yc取值如何，此目標(biāo)函數(shù)均屬于二次規(guī)劃問題，可采用序列二次規(guī)劃（SQP）[19]算法求取最優(yōu)控制增量序列ΔU(k)，僅選取第1 項(xiàng)作為當(dāng)前時(shí)刻的控制增量，與 (1)u k- 疊加得到當(dāng)前時(shí)刻的控制量。通過滾動(dòng)優(yōu)化，即可求得各個(gè)時(shí)刻的最優(yōu)控制量。

1.4 參數(shù)對(duì)算法性能的影響

1.4.1 容忍區(qū)間上下界ymax、ymin根據(jù)實(shí)際被控系統(tǒng)的特點(diǎn)選定預(yù)測(cè)時(shí)域P之后，若容忍區(qū)間上下界ymax、ymin確定，則三角區(qū)間yH、yL也被確定。三角區(qū)間yH、yL體現(xiàn)了區(qū)間控制與設(shè)定值控制之間的聯(lián)系，容忍區(qū)間越大，三角區(qū)間的開口越大，給予控制器的自由度也越高，控制的魯棒性也隨之上升。而容忍區(qū)間越小，整個(gè)算法也更接近于設(shè)定值控制的效果，極限情況下，令yH與yL均取目標(biāo)值，此時(shí)算法已相當(dāng)于設(shè)定值控制。

1.4.2 目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)值Q、R、S權(quán)值S的主要作用在于防止控制量過于劇烈的變化。權(quán)值Q主要體現(xiàn)了三角區(qū)間軟約束項(xiàng)的控制力度。R則體現(xiàn)了設(shè)定值控制的控制力度。Q和R的比例關(guān)系也決定了控制的效果。Q越大，三角區(qū)間控制力度越大，魯棒性越好，但達(dá)到目標(biāo)值的速度會(huì)減慢。R越大，設(shè)定值控制力度越大，但魯棒性會(huì)變差，輸出的波動(dòng)也會(huì)增多?？紤]極限情況，Q=0 時(shí)，相當(dāng)于只進(jìn)行設(shè)定值控制，控制器的自由度最小，魯棒性最差。當(dāng)R=0 時(shí)，相當(dāng)于只進(jìn)行三角區(qū)間控制，由于三角區(qū)間是一束口區(qū)間，最終預(yù)測(cè)值將會(huì)在預(yù)測(cè)步數(shù)P時(shí)達(dá)到目標(biāo)值，此時(shí)控制器的自由度最大，MV 會(huì)有最小的偏移量及對(duì)模型最小的敏感性。因此，為了保證算法的有效性，應(yīng)保證 ?Q R。

2 三角區(qū)間軟約束MPC 算法的魯棒性性能分析

在無約束或非起作用約束時(shí)，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的推導(dǎo)式（9）使用二次規(guī)劃求解

令=-ATE，X=ΔU，則式(10)可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)方程組形式

由于實(shí)際問題中的初始數(shù)據(jù)會(huì)有誤差，即有擾動(dòng)，這將會(huì)影響到計(jì)算的結(jié)果，產(chǎn)生誤差。在式(11)中，系數(shù)矩陣F=AT(Q+R)A+S，主要反映了動(dòng)態(tài)矩陣A對(duì)方程組解的影響，即模型失配問題。而=-ATE=-AT[Q(Y0-YH) +R(Y0-Ysp)]主要反映了輸出值與控制目標(biāo)的偏差，即系統(tǒng)抗干擾的問題。

定義1當(dāng)一個(gè)方程組，由于系數(shù)矩陣或者右端的微小擾動(dòng)而引起解發(fā)生巨大變化時(shí)，稱該方程組是“病態(tài)”的。

定義2對(duì)非奇異矩陣F，稱數(shù)為矩陣F的條件數(shù)，記為

引理[20]由于條件數(shù)的直接求解困難，根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，可判斷方程組在下列情況下是病態(tài)的：

① 用主元素法時(shí)出現(xiàn)小主元；

② 系數(shù)矩陣中有行（或列）近似線性相關(guān)，或者系數(shù)行列式的值近似為零。

定理設(shè)X和X?是方程組(11)的準(zhǔn)確解和近似解，r為?X偏差，則

證明：由方程組(11)可得

由FX=f，得F(X-X?)=r，從而有

兩邊取范數(shù)，得

所以

證畢。

由式(13)可以看出，當(dāng)方程組“病態(tài)”嚴(yán)重時(shí)，條件數(shù)很大，即使偏差很小，解的相對(duì)誤差仍可能很大。反之，若可以減少偏差，則解的相對(duì)誤差將會(huì)縮小，系統(tǒng)的魯棒性將會(huì)顯著提升[21]。

圖2中，d表示預(yù)測(cè)值到目標(biāo)值的偏差，其他與圖1所示變量一致。在求解目標(biāo)函數(shù)(9)時(shí)，有系數(shù)矩陣F=AT(Q+R)A+S。若F中含有高度關(guān)聯(lián)的變量時(shí)，此時(shí)的條件數(shù)會(huì)很大，即是“病態(tài)”的，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的解對(duì)模型誤差是敏感的。

圖2 兩種算法的預(yù)測(cè)值偏差對(duì)比Fig.2 Contrast between deviation of two algorithms

如圖2所示，當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)時(shí)，Yc在三角區(qū)間外，此時(shí)Yc與目標(biāo)值的偏差d較大，則=-ATR(Y0-Ysp)=-ATR?。由于F是“病態(tài)”的，模型誤差將被放大。由式(13)可知，較大的偏差會(huì)使解的誤差增大，控制器必須利用相互抵消的MV 移動(dòng)的作用來使預(yù)測(cè)值達(dá)到特定的值，這時(shí)控制器需要頻繁的變動(dòng)且輸出值的波動(dòng)會(huì)十分劇烈，這樣顯然更容易引起控制的不穩(wěn)定。

設(shè)置三角區(qū)間后，Yc到三角區(qū)間上界的偏差為ε，令 ?Q R，則

由圖2可知ε＜d，故f2＜f1，減小了方程(11)右端的偏差。而減小偏差會(huì)使解的誤差顯著縮小，MV 會(huì)以更小的移動(dòng)來使Yc進(jìn)入三角區(qū)間內(nèi)，而不會(huì)引入過大的瞬態(tài)偏差，防止輸出的劇烈波動(dòng)。在Yc進(jìn)入三角區(qū)間后，由式(3)可知，此時(shí) 0ε=，三角區(qū)間軟約束項(xiàng)不再起懲罰的作用，設(shè)定值控制項(xiàng)的作用得以體現(xiàn)。由于預(yù)測(cè)值已經(jīng)很接近目標(biāo)值，此時(shí)控制器確定的軌跡會(huì)使MV 有更小的偏移量并且對(duì)模型誤差更小的敏感性。Yc進(jìn)入三角區(qū)間后的設(shè)定值控制過程中，即使預(yù)測(cè)值會(huì)產(chǎn)生一些波動(dòng)，也只是在容忍區(qū)間內(nèi)發(fā)生，這在工程實(shí)際中是被允許的。

3 實(shí)驗(yàn)仿真分析

3.1 實(shí)驗(yàn)仿真

為驗(yàn)證本文所提算法的可行性及有效性，采用Shell 公司的典型重油分餾塔進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。該模型是一個(gè)三入三出的線性系統(tǒng)，傳遞函數(shù)矩陣為

u1、u2、u3為MV，約束區(qū)間為[-0.5，0.5]，y1、y2、y3為CV，控制目標(biāo)為：y1=0，y2=0.3，為保證控制問題有可行解，y3采用區(qū)間控制，目標(biāo)區(qū)間為[-0.3，0]。采用階躍函數(shù)模擬擾動(dòng)的影響，初始時(shí)刻y1、y2均偏離了目標(biāo)值，且=1.0，=0.4。取預(yù)測(cè)時(shí)域?yàn)?4，控制時(shí)域?yàn)?0，y1、y2的容忍區(qū)間分別為[-0.2，0.4]，[0.1，0.4]。為突出本文所提算法的優(yōu)勢(shì)，與設(shè)定值控制進(jìn)行了對(duì)比，為增加可比性，使兩者的權(quán)值矩陣保持相等。由于區(qū)間控制只是把CV 控制在區(qū)間內(nèi)任意位置，并不能實(shí)現(xiàn)定值控制，故不作對(duì)比。

圖3 控制增量u1 變化曲線Fig.3 Change curve of control increment u1

圖4 控制增量u2 變化曲線Fig.4 Change curve of control increment u2

圖5 實(shí)際輸出y1 變化曲線Fig.5 Change curve of actual output y1

圖6 實(shí)際輸出y2 變化曲線Fig.6 Change curve of actual output y2

圖7 實(shí)際輸出y3 變化曲線Fig.7 Change curve of actual output y3

3.2 仿真結(jié)果分析

由仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)在受到干擾后，設(shè)定值控制下的輸出曲線y1可以更快達(dá)到目標(biāo)值，且波動(dòng)較小，但是輸出曲線y2的性能質(zhì)量卻很差，輸出波動(dòng)頻繁且劇烈，三次超出系統(tǒng)的容忍區(qū)間，顯然這對(duì)系統(tǒng)整體的穩(wěn)定運(yùn)行是不利的。這是因?yàn)樵谕饨绺蓴_作用下，y1、y2產(chǎn)生了瞬時(shí)偏差，遠(yuǎn)離了目標(biāo)值，由魯棒性分析可知，較大的偏差會(huì)使解的誤差增大，控制器必須利用相互抵消的MV 移動(dòng)的作用來使預(yù)測(cè)值達(dá)到目標(biāo)值。又由于y1的偏差較y2更大，為保證y1迅速達(dá)到目標(biāo)值，使得控制器動(dòng)作頻繁且動(dòng)作幅度大，控制器的自由度低，已沒有更多的自由度保證輸出曲線y2的性能質(zhì)量，說明此時(shí)系統(tǒng)的魯棒性很差。

而在三角區(qū)間軟約束預(yù)測(cè)控制算法的控制下，輸出曲線y1雖然延長了到達(dá)目標(biāo)值的時(shí)間，但可以快速進(jìn)入容忍區(qū)間且變化更加平緩。同時(shí)，輸出曲線y2輸出波動(dòng)及超出容忍區(qū)間次數(shù)減少，曲線也更加平緩。這是因?yàn)樵O(shè)置三角區(qū)間后，瞬時(shí)偏差減小，控制器求解的誤差減小，因而降低了控制器動(dòng)作的頻率和幅度，增加了控制器的自由度與魯棒性。顯然，三角區(qū)間軟約束預(yù)測(cè)控制算法較設(shè)定值控制有更好的整體性能。

4 結(jié) 論

石油、化工等實(shí)際工業(yè)控制過程中，對(duì)具有嚴(yán)格控制指標(biāo)的CV 往往采用設(shè)定值控制，但其又有自由度低、魯棒性差的缺點(diǎn)。為解決這一問題，本文提出了三角區(qū)間軟約束模型預(yù)測(cè)控制算法。仿真結(jié)果表明，本文算法綜合了設(shè)定值控制與區(qū)間控制各自的優(yōu)勢(shì)，在三角區(qū)間軟約束的作用下，保證了CV 可以運(yùn)行在理想目標(biāo)值的同時(shí)，又最大限度地保證了系統(tǒng)的魯棒性和自由度，提高了系統(tǒng)對(duì)干擾的應(yīng)對(duì)能力，控制效果明顯優(yōu)于設(shè)定值控制。因此，三角區(qū)間軟約束模型預(yù)測(cè)控制算法更好地符合了實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中對(duì)某些CV 進(jìn)行定值控制的要求。

[1]Qin S J,Badgwell T A.A survey of industrial model predictive control technology [J].Control Engineering Practice,2003,11 (7):733-764.

[2]Ferramosca A,Limon D.MPC for tracking zone regions [J].Journal of Process Control,2010,20 (4):506-516.

[3]Maldonado M,Desbiens A,del Villar R.Potential use of model predictive control for optimizing the column flotation process [J].Ⅰnternational Journal of Mineral Processing,2009,93 (1):26-33.

[4]Cristea M V,Agachi S P,Marinoiu V.Simulation and model predictive control of a UOP fluid catalytic cracking unit [J].Chemical Engineering and Processing,2003,42 (2):67-91.

[5]Zou Tao (鄒濤),Wang Dingding (王丁丁),Pan Hao (潘昊),Yuan Mingzhe (苑明哲),Ji Zhongwan (季忠宛).From zone model predictive control to double-layered model predictive control [J].CⅠESC Journal(化工學(xué)報(bào)),2013,64 (12):4474-4483.

[6]Rishi Amrit,James B Rawlings,David Angeli.Economic optimization using model predictive control with a terminal cost [J].Annual Reviews in Control,2011,35 (2):178-186.

[7]John M Carson Ⅲ,Beh?et A??kme?e,Richard M Murray,Douglas G MacMartin.A robust model predictive control algorithm augmented with a reactive safety mode [J].Automatica,2013,49 (5):1251-1260.

[8]Jin Xin (金鑫),Chi Qinghua (池清華),Liu Kangling (劉康玲),Liang Jun (梁軍).Disturbance rejection constraints generalized predictive control of diagonal CARIMA model [J].CⅠESC Journal(化工學(xué)報(bào)),2014,65 (4):1310-1316.

[9]Zhang Bin,Yang Weimin,Zong Hongyuan,Wu Zhiyong,Zhang Weidong.A novel predictive control algorithm and robust stability criteria for integrating processes [J].ⅠSA Transactions,2011,50 (3):454-460.

[10]Huang He,Li Dewei,Lin Zongli,Xi Yugeng.An improved robust model predictive control design in the presence of actuator saturation [J].Automatica,2011,47 (4):861-864.

[11]Xu Zuhua,Zhao Jun,Qian Jixin.Zone Model predictive control algorithm using soft constraint method [J].Machine Tool & Hydraulics,2004,12 (3):106-108.

[12]González A H,Odloak D.A stable MPC with zone control [J].Journal of Process Control,2009,19 (1):110-122.

[13]Lima F V,Georgakis C.Design of output constraints for model-based non-square controllers using interval operability [J].Journal of Process Control,2008,18 (6):610-620.

[14]González A H,Marchetti J L,Odloak D.Robust model predictive control with zone control [J].ⅠET Control Theory and Applications,2009,3 (1):121-135.

[15]Limon D,Alvarado I,Alamo T,Camacho E F.MPC for tracking of piece-wise constant references for constrained linear systems [J].Automatica,2008,44 (9):2382-2387.

[16]Xi Yugeng,Li Dewei,Lin Shu.Model predictive control status and challenges [J].Acta Automatica Sinica,2013,39 (3):222-236.

[17]Furqan Tahir,Imad M Jaimoukha.Robust feedback model predictive control of constrained uncertain systems [J].Journal of Process Control,2013,23 (2):189-200.

[18]Ferramosca A,Limon D,Alvarado I,Alamo T,Camacho E F.MPC for tracking with optimal closed-loop performance [J].Automatica,2009,45 (8):1975-1978.

[19]Zhu Xiaojing,Pu Dingguo.A restoration-free filter SQP algorithm for equality constrained optimization [J].Applied Mathematics and Computation,2013,219 (11):6016-6029.

[20]Ding Lijuan (丁麗娟).Numerical Calculation Method (數(shù)值計(jì)算方法) [M].Beijing:Beijing Institute of Technology Press,1997.

[21]Qian Jixin (錢積新),Zhao Jun (趙均),Xu Zuhua (徐祖華).Predictive Control (預(yù)測(cè)控制) [M].Beijing:Chemical Industry Press,2007.