李南京李元新*胡楚鋒（西北工業(yè)大學(xué)無(wú)人機(jī)特種技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710065）（西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院 西安 710072）

球模式展開(kāi)理論近遠(yuǎn)場(chǎng)變換及快速算法

李南京①李元新*①②胡楚鋒①
①（西北工業(yè)大學(xué)無(wú)人機(jī)特種技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710065）②（西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院 西安 710072）

基于球模式展開(kāi)理論的近遠(yuǎn)場(chǎng)變換是天線球面近場(chǎng)測(cè)量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵，它將待測(cè)天線在空間建立的場(chǎng)展開(kāi)成球面波函數(shù)之和，由于其計(jì)算公式復(fù)雜，因而計(jì)算耗費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)。該文在實(shí)際計(jì)算中利用快速傅里葉變換及矩陣的思想可以大幅度提高程序運(yùn)行速度，節(jié)省計(jì)算時(shí)間。采用該方法對(duì)角錐喇叭天線的近遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明外推遠(yuǎn)場(chǎng)的結(jié)果和理論值吻合良好，說(shuō)明了該方法在保證計(jì)算精度的同時(shí)，可縮短計(jì)算時(shí)間。

天線球面近場(chǎng)測(cè)量；球模式展開(kāi)理論；近遠(yuǎn)場(chǎng)變換；快速算法

1 引言

天線測(cè)量按照測(cè)試場(chǎng)地通?？蓜澐譃椋壕o縮場(chǎng)測(cè)量、遠(yuǎn)場(chǎng)測(cè)量和近場(chǎng)測(cè)量［1-3］。緊縮場(chǎng)借助反射鏡及陣列等所產(chǎn)生的平面波來(lái)仿真無(wú)限遠(yuǎn)的場(chǎng)地，由于其對(duì)各機(jī)械系統(tǒng)的加工精度要求很高導(dǎo)致造價(jià)昂貴。外場(chǎng)測(cè)量受地面反射波的影響較大，并且容易受周圍電磁環(huán)境、氣候條件的影響，保密性不好［4］。而近場(chǎng)測(cè)量不受距離效應(yīng)和外界環(huán)境的影響，具有測(cè)試精度高、保密性好、可全天候工作等優(yōu)點(diǎn)。近場(chǎng)測(cè)量根據(jù)掃描面形狀的不同又分為，平面測(cè)量［5］、柱面測(cè)量和球面測(cè)量。平面測(cè)量和柱面測(cè)量分別針對(duì)筆形波束和扇形波束天線，而球面測(cè)量可以適用于各種類型波束的天線，所以研究天線球面測(cè)量近遠(yuǎn)場(chǎng)變換技術(shù)具有重要的工程意義。

目前球面近遠(yuǎn)場(chǎng)變換常采用的算法包括散射矩陣法［6］和球模式展開(kāi)法［7，8］，散射矩陣法是基于微波網(wǎng)絡(luò)分析的思想，將待測(cè)天線及探頭系統(tǒng)看成一個(gè)開(kāi)放的二端口網(wǎng)絡(luò)，將激勵(lì)等效為網(wǎng)絡(luò)的輸入，將探頭接收信號(hào)等效為輸出，通過(guò)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，嚴(yán)格的推導(dǎo)出天線的傳輸方程。球模式展開(kāi)法是將待測(cè)天線在空間建立的場(chǎng)展開(kāi)成球面波函數(shù)之和，利用近場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算出加權(quán)系數(shù)，從而可以得到天線遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖。利用這兩種方法推導(dǎo)出的公式其結(jié)果相同，只是形式上有所差異。目前法國(guó)的SATIMO公司的球面測(cè)試系統(tǒng)無(wú)論算法處理及探頭設(shè)計(jì)［9-12］均處于領(lǐng)先水平。國(guó)內(nèi)方面，文獻(xiàn)［13］和文獻(xiàn)［14］利用卷積外推的方法實(shí)現(xiàn)近遠(yuǎn)場(chǎng)變換，避免了球模式展開(kāi)法的復(fù)雜運(yùn)算，但是其計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)且忽略了天線的極化信息。

本文基于球模式展開(kāi)法的近遠(yuǎn)場(chǎng)天線測(cè)量技術(shù)，從球面模式展開(kāi)理論入手，推導(dǎo)天線遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖表達(dá)式，利用傅里葉變換技術(shù)和矩陣處理技巧實(shí)現(xiàn)了快速計(jì)算。通過(guò)利用HFSS軟件對(duì)S波段的角錐喇叭天線進(jìn)行仿真，表明外推結(jié)果與理論遠(yuǎn)場(chǎng)吻合良好，計(jì)算時(shí)間從2～3 h縮短到40 s左右。

2 基于球模式展開(kāi)理論的近遠(yuǎn)場(chǎng)變換

假設(shè)包圍天線的最小半徑是a，那么在r ≥ a的無(wú)源區(qū)中，電場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為矢量波函數(shù)M 和N的線性組合。

在r ≥ a區(qū)域中，標(biāo)量亥姆霍茲方程在球坐標(biāo)系下的解為［15］

令：

那么可知球坐標(biāo)系下的矢量波函數(shù)為

式（4），式（5）中 eθ，eφ及 er為球坐標(biāo)系中單位矢量。那么在r ≥ a區(qū)域中電場(chǎng)可以表示為

當(dāng)r→∞時(shí)，利用球漢克爾函數(shù)的大宗量近似，并略去與 θ，φ無(wú)關(guān)的因子可得天線遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)：E（θ，φ）

利用一個(gè)已知特性的探頭分別當(dāng)其為θ極化和φ極化時(shí)在包圍待測(cè)天線3 ～ 10λ的球面上進(jìn)行掃描， 得到和其中 Δθ ，Δφ 滿足式（8）所示的采樣定理［17］：

利用掃描得到的近場(chǎng)值及式（6）可得加權(quán)系數(shù)：

通過(guò)式（6），式（7）可以發(fā)現(xiàn)近場(chǎng)及遠(yuǎn)場(chǎng)由加權(quán)系數(shù)相關(guān)聯(lián)，那么利用式（9），式（10）求得加權(quán)系數(shù)后將其代入式（7）中，即可獲得遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖。

3 快速算法

從上一節(jié)可以看出，利用模式展開(kāi)法進(jìn)行天線球面近遠(yuǎn)場(chǎng)變換時(shí)其計(jì)算式復(fù)雜，所需的數(shù)據(jù)量大，循環(huán)多，程序運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)。通過(guò)下面的處理可以減少運(yùn)行時(shí)間。

在計(jì)算加權(quán)系數(shù) amn，bmn以及遠(yuǎn)場(chǎng)電場(chǎng)的時(shí)候都會(huì)出現(xiàn)式（11），式（12）的項(xiàng)：

正如之前所述，已經(jīng)將這兩項(xiàng)分別令為 kmn和式中 Rmn如式（3）所述，從式（3）中可以看出當(dāng)n= 0時(shí)，該式分母為零，出現(xiàn)錯(cuò)誤。且隨著n和m的不斷增大，當(dāng)n和越接近時(shí)，計(jì)算結(jié)果可以達(dá)到 10-100數(shù)量級(jí)。而（cosθ）是關(guān)于cosθ的n次多項(xiàng)式，當(dāng)n較大時(shí)，隨著m的增加，勒讓德函數(shù)可達(dá)到 10170數(shù)量級(jí)。因此單獨(dú)計(jì)算這兩項(xiàng)時(shí)其結(jié)果都是不穩(wěn)定的，因此將兩項(xiàng)的乘積看作一項(xiàng)，對(duì)這一項(xiàng)用遞推公式進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果是穩(wěn)定的。遞推公式［15］如式（13）所示：

式（13）為勒讓德函數(shù)的遞推公式，將該遞推公式代入式（11）中并整理可得

又因?yàn)?/p>

即

將式（16）代入式（12）中并整理可得

m，n在規(guī)定值上進(jìn)行遍歷，由元素 kmn及組成的矩陣分別記為 Kmn及。將 Kmn和 Km'n采用2維矩陣運(yùn)算時(shí)，在計(jì)算加權(quán)系數(shù)及遠(yuǎn)區(qū)電場(chǎng)時(shí)，每個(gè)俯仰角下都需要重新計(jì)算2維矩陣的值，程序循環(huán)增多，大量時(shí)間花在解釋程序上，致使程序運(yùn)行耗費(fèi)大量時(shí)間。因此，若將矩陣3維化則可以使程序復(fù)雜度降低，提高程序運(yùn)行速度，即將 m，n，θ分別作為矩陣的3個(gè)維。

其形式符合離散時(shí)間周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的表示形式，編程中可以利用 FFT函數(shù)來(lái)提高程序運(yùn)行速度。

4 仿真結(jié)果

由于角錐喇叭天線比較常見(jiàn)，并且其遠(yuǎn)場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度可以通過(guò)理論計(jì)算式得到，因此本文選擇一個(gè)工作在S波段的角錐喇叭天線，利用電磁仿真軟件HFSS對(duì)天線進(jìn)行建模仿真，天線模型及建模參數(shù)如下所示。

角錐喇叭的饋電點(diǎn)位于波導(dǎo)寬邊中心，距離短路板的距離為1/4波長(zhǎng)，采用特性阻抗為50Ω的同軸線進(jìn)行饋電。將HFSS設(shè)置為掃頻運(yùn)行方式求解，中心頻率設(shè)為2.4 GHz，掃頻范圍設(shè)為1.5～3 GHz，掃頻間隔為0.1 GHz。天線參數(shù)如表1所示。角錐喇叭天線模型如圖1所示。

近場(chǎng)數(shù)據(jù)在距離坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為10λ的球面上采樣獲得，通過(guò)上述方法利用MATLAB編程仿真得到角錐喇叭的 E， H面仿真遠(yuǎn)場(chǎng)與外推遠(yuǎn)場(chǎng)的對(duì)比圖如圖2所示，計(jì)算時(shí)間對(duì)比表如表2所示。

表1 天線建模參數(shù)

圖1 喇叭天線仿真模型

圖2 喇叭天線E面、H面外推算法與HFSS仿真結(jié)果對(duì)比

表2 計(jì)算時(shí)間對(duì)比

通常按離開(kāi)待測(cè)天線的距離將輻射區(qū)分為近場(chǎng)區(qū)和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)，在近場(chǎng)區(qū)內(nèi)，電場(chǎng)的分布與距離有關(guān)，電場(chǎng)幅度是離開(kāi)天線距離的函數(shù)。圖2中在半徑為10λ的球面上采樣得到的電場(chǎng)具有明顯的近場(chǎng)特性，通過(guò)與外推后的遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)比，可以看出外推算法的有效性。經(jīng)過(guò)球模式展開(kāi)的近遠(yuǎn)場(chǎng)外推及快速算法變換后獲得的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖和HFSS仿真得到的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖在主瓣和第一副瓣吻合良好可以體現(xiàn)算法的準(zhǔn)確性。表2中未使用快速算法包括式（9），式（10）內(nèi)積分未使用FFT。比較指僅采用循環(huán)累加的方式和采用FFT結(jié)合運(yùn)算矩陣3維化的方式。從對(duì)比可看出使用快速算法后在保證外推遠(yuǎn)場(chǎng)和理論遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖吻合的基礎(chǔ)上，可以較大幅度的減少計(jì)算時(shí)間，提高算法運(yùn)行效率。

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)球模式展開(kāi)理論的近遠(yuǎn)場(chǎng)外推技術(shù)及其快速算法的研究在天線近場(chǎng)測(cè)量技術(shù)領(lǐng)域中具有重要應(yīng)用價(jià)值。本文基于球模式展開(kāi)法的近遠(yuǎn)場(chǎng)外推方法，結(jié)合傅里葉變換技術(shù)和算法處理技巧實(shí)現(xiàn)了快速計(jì)算，縮短了計(jì)算時(shí)間。通過(guò)對(duì)角錐喇叭天線驗(yàn)證，結(jié)果表明基于球模式展開(kāi)法的快速近遠(yuǎn)場(chǎng)外推技術(shù)結(jié)果正確有效，具有很強(qiáng)的工程實(shí)用價(jià)值。

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李南京： 男，1976年生，副教授，研究領(lǐng)域?yàn)閼?yīng)用微波技術(shù)、輻射及散射測(cè)量等.

李元新： 女，1991年生，碩士生，研究領(lǐng)域?yàn)閼?yīng)用微波技術(shù)及天線測(cè)量.

胡楚鋒： 男，1982年生，副教授，研究方向?yàn)槲⒉ㄟb感、散射測(cè)試與成像技術(shù).

Near-field to Far-field Transformations Based on Spherical Wave Expansions and Fast Algorithm

Li Nan-jing①Li Yuan-xin①②Hu Chu-feng①①
①（National Key Laboratory of Science and Technology on Unmanned Aerial Vehicle，Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710065， China）
②（Institute of Electronics and Information， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China）

The theory of near-field to far-field transformation using spherical-wave expansions is the key to implement the spherical near-field antenna measurement system. It can develop the field in the space which is built by antenna expanding into the sum of spherical wave functions. Because of its complex formula， it will consume a long time to compute. The FFT transformation and the ideas of matrix are put into used in this paper， so the compute speed can be improved and the compute time can be saved. Using this method to testify the near-field data and the far-field data of a horn antenna， the results show that the far-field pattern computed from near-field date and the far-field pattern from theoretical integral equations are compared very well. It is approved that this method can guarantee the calculation precision and shortens the compute time at the same time.

Spherical near-field antenna measurements； Spherical-wave expansion； Near-field to far-field transformation； Fast algorithm

s: The National Natural Science Foundation of China （61201320， 61371023）

TN82

A

1009-5896（2015）12-3025-05

10.11999/JEIT150203

2015-02-03；改回日期：2015-07-13；網(wǎng)絡(luò)出版：2015-10-16

*通信作者：李元新 1263387806@qq.com

國(guó)家自然科學(xué)基金（61201320， 61371023）