張教超，郝方楠

(陜西法士特齒輪有限責(zé)任公司，陜西西安 710119)

轉(zhuǎn)動慣量測試方法概述

張教超，郝方楠

(陜西法士特齒輪有限責(zé)任公司，陜西西安 710119)

概述了復(fù)擺法、單線扭擺法、落體法、三線擺法、扭擺法、質(zhì)量線法等轉(zhuǎn)動慣量測試方法，分析了各個方法的測量原理，誤差來源，對各個測量方法的優(yōu)缺點及適用對象進(jìn)行了簡單的描述。

轉(zhuǎn)動慣量；測試方法

0　引言

質(zhì)量特性主要包括物體的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、慣性積等，是航空航天、車輛、兵器、精密機(jī)械等領(lǐng)域進(jìn)行設(shè)計及自動控制的關(guān)鍵參數(shù)，對其進(jìn)行精確測量具有重要意義。針對轉(zhuǎn)動慣量的測量，目前常用的方法有復(fù)擺法、單線扭擺法、落體法、三線擺法、扭擺法、質(zhì)量線法等。文中對轉(zhuǎn)動慣量的各種測試方法進(jìn)行了概述，分析了各個測量方法的測量原理及誤差來源，對各個測量方法的優(yōu)缺點及適用對象進(jìn)行了簡單的描述。

1　轉(zhuǎn)動慣量測試方法

1.1復(fù)擺法

復(fù)擺又稱物理擺。如圖1所示，質(zhì)量為m的任意形狀的物體可繞垂直與圖面的光滑水平軸O自由轉(zhuǎn)動，將它由自然下垂的靜止?fàn)顟B(tài)拉離平衡位置一個微小角度時，忽略空氣阻尼，物體將繞軸作自由擺動，這樣的裝置稱做復(fù)擺。

設(shè)復(fù)擺的質(zhì)心在點C，點C到軸O的距離為l，復(fù)擺對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，復(fù)擺作小角度擺動時，其受到的重力矩為[1]：

M=-mglsinφ≈-mgφ

(1)

(2)

通過平行軸定理J=Jc+ml2，可計算得到構(gòu)件繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量Jc。

由式(2)可知，誤差來源主要為ΔT、Δl、Δm。如果擺幅太大，測量誤差也會隨之增大。同時該測試法不適用于較大物體。該方法需要事先精確測量物體的質(zhì)心，限制了其應(yīng)用[2]。

1.2單線扭擺法

對于陀螺轉(zhuǎn)子、螺旋槳、齒輪等小微型對稱剛體構(gòu)件，一般都要測其繞軸線的轉(zhuǎn)動慣量。采用單線扭擺法測量，經(jīng)濟(jì)實用，操作簡單。

把一條彈性良好、伸展性極小的金屬線或金屬桿的兩端分別固定在基架與軸對稱夾具上，并把被測構(gòu)件與固定夾具同軸固定，從而構(gòu)成了單線扭擺，如圖2所示。若對構(gòu)件或夾具施加水平偶矩，則整個系統(tǒng)繞軸線作扭擺運動，其運動微分方程為[3]：

(3)

(4)

由上式可知，單線擺的誤差來源主要為ΔT、Δd、Δl。在吊線的拉伸變形及扭轉(zhuǎn)變形完全符合胡克定律的條件下，可以適當(dāng)?shù)販p少吊線直徑及增加吊線的長度，在進(jìn)行構(gòu)件轉(zhuǎn)動慣量測量時采用大角度擺動方法。

1.3落體法

對于帶有轉(zhuǎn)軸的各種輪盤、轉(zhuǎn)子、齒輪、渦輪某些繞軸線對稱分布的構(gòu)件，可用落體法測量其轉(zhuǎn)動慣量[4]。

所謂落體法，即是將質(zhì)量為m、半徑為R的待測構(gòu)件轉(zhuǎn)軸兩端自由支撐起來；在構(gòu)件轉(zhuǎn)軸(或裝在轉(zhuǎn)軸某端的測量線輪)外沿上繞一條柔軟而不易伸展的細(xì)繩(吊繩)，吊繩的一端固定在構(gòu)件的外沿上，另一端固定在質(zhì)量為m1的落體上，如圖3所示；構(gòu)件受落體重力矩的作用，作勻角加速度運動，根據(jù)構(gòu)件的運動規(guī)律可計算構(gòu)件繞其軸線的轉(zhuǎn)動慣量為[4]：

為消除摩擦力矩的影響，可通過先后懸掛兩個不同質(zhì)量的落體分別進(jìn)行測量得到構(gòu)件轉(zhuǎn)動慣量：

(6)

或

(7)

1.4三線擺法

三線擺系統(tǒng)如圖4所示，實驗臺架由3根等長擺繩、托盤和固定支架組成，上、下各3個懸掛點等距分布。被測剛體放置在托盤上，調(diào)整剛體位置和配重質(zhì)量塊的位置，使各擺繩受力相等(系統(tǒng)質(zhì)心過托盤幾何中心點O)。在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動托盤至初始角(約為5°)，然后釋放托盤，使三線擺系統(tǒng)在重力作用下繞OZ軸作單自由度扭擺振動。當(dāng)初始角小于6°時，扭轉(zhuǎn)振動才可以近似為線性振動[5]。通過測量系統(tǒng)擺動周期T，可以計算系統(tǒng)繞OZ軸的轉(zhuǎn)動慣量：

(8)

設(shè)被測物體在其質(zhì)心坐標(biāo)系下的慣性參數(shù)為J，則JT=(Jx,Jy,Jz,Jxy,Jyz,Jzx)。在某個姿態(tài)下，被測物體繞扭擺軸線的轉(zhuǎn)動慣量為JPi，根據(jù)慣性橢球原理[6]，有如下關(guān)系：

(9)

式中：li=cosαi，mi=cosβi，ni=cosγi，αi、βi、γi為扭擺軸線與質(zhì)心坐標(biāo)系的3個軸線的夾角。由上式可以看出，為了求出J，至少要進(jìn)行6次懸吊。由于測量存在誤差，實際測試時，懸吊的次數(shù)往往大于6次[7]。

利用該方法可以測量形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻的剛體轉(zhuǎn)動慣量。在忽略阻尼影響下，三線擺誤差來源主要是ΔT、ΔR、Δr、Δm′、ΔL。

三線擺成本低，易于實現(xiàn)，在生產(chǎn)中得到廣泛應(yīng)用。對于小質(zhì)量構(gòu)件，如頭盔、小型炮彈等，利用該方法可以比較方便精確測量得到轉(zhuǎn)動慣量。然而對于大質(zhì)量構(gòu)件還有很多問題，被測件由于在轉(zhuǎn)動中伴隨著扭動，因此很難準(zhǔn)確測量擺動周期。為了保證擺盤作定軸的擺動，因此對懸線剛度、長度及懸掛位置要求較高，若擺盤懸線剛度不夠而載荷很大時，會使得懸線伸長，從而導(dǎo)致這種方法的測量誤差較大，因此該方法不適于大質(zhì)量構(gòu)件轉(zhuǎn)動慣量的測量。

1.5扭擺法

基于扭擺法測轉(zhuǎn)動慣量的扭擺實驗臺如圖5所示。

設(shè)扭桿擺動角為θ，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動慣量為J0，扭桿剛度系數(shù)為K，測量時保證轉(zhuǎn)臺振幅小于5°，以滿足微幅振動條件，其無阻尼自由振動方程為：

(10)

最終可以得到被測物體的轉(zhuǎn)動慣量Jc為：

(11)

式中:T0為不加被測物時系統(tǒng)對應(yīng)的振動周期;Ts為加上被測物后系統(tǒng)對應(yīng)的振動周期。

與三線擺測量物體轉(zhuǎn)動慣量相同，至少需要測量物體6個姿態(tài)的轉(zhuǎn)動慣量，由式(9)可得待測物體在質(zhì)心坐標(biāo)系中繞3個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量。

與三線擺測量轉(zhuǎn)動慣量相比，用這種方法會得到更準(zhǔn)確的結(jié)果，因為扭擺法測量轉(zhuǎn)動慣量時，只與空載和加載后的周期有關(guān)。但三線擺測量轉(zhuǎn)動慣量時，測試數(shù)據(jù)的精度與扭振周期、擺繩的長度、托盤的直徑、待測物體的質(zhì)量有關(guān)，并且完全忽略了加載后擺繩的變形、托盤的平擺等因素的影響。

1.6質(zhì)量線法

文獻(xiàn)[8]提出一種基于質(zhì)量線來測量物體的慣性參數(shù)的方法，即利用模態(tài)試驗獲得振動系統(tǒng)的頻響函數(shù)，然后通過運動學(xué)和動力學(xué)方程求出物體的質(zhì)量矩陣及質(zhì)心位置，進(jìn)而求出轉(zhuǎn)動慣量等參數(shù)。

如果已知振動系統(tǒng)的激勵為F(jω)，并測得系統(tǒng)的響應(yīng)為X(jω)，那么振動系統(tǒng)的頻響函數(shù)為：

H(jω)=X(jω)/F(jω)

(12)

對于6自由度剛體模型，如果剛體不受任何約束，則剛體的運動微分方程為[8]：

(13)

式中：F=(Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz)T為激勵力矢量；X=(ax,ay,az,α,β,γ)為振動加速度響應(yīng)矢量；Fx、Fy、Fz為激勵力；Mx、My、Mz為激勵力矩；ax、ay、az為平動加速度；α、β、γ為轉(zhuǎn)動加速度；質(zhì)量矩陣M為：

(14)

由式(12)—(14)可知：可以通過測量系統(tǒng)的頻響函數(shù)曲線來反求質(zhì)量矩陣中的相關(guān)慣性參數(shù)。

圖6中所示的頻響函數(shù)曲線分為3部分：低頻段曲線顯示的是懸吊支撐系統(tǒng)的固有頻率特性；高頻段曲線顯示的是結(jié)構(gòu)的彈性模態(tài)；中間近似于平直線的頻段就是質(zhì)量曲線段，該頻段內(nèi)的FRF值只與質(zhì)量矩陣M中被測結(jié)構(gòu)質(zhì)量及各慣性參數(shù)有關(guān)，而被測結(jié)構(gòu)的質(zhì)量及各慣性參數(shù)是物體結(jié)構(gòu)的固有屬性，不會發(fā)生變化，故該頻段是一段定值直線，即質(zhì)量線。所以可以通過測量得到的頻響函數(shù)曲線的質(zhì)量線來反求質(zhì)量矩陣中的慣性參數(shù)。

用該方法測量時，測量點的位置、數(shù)目、激勵點的位置以及激勵方向都會影響測試精度[9]，對試驗人員要求較高，并且實驗的重復(fù)性較差。

2　結(jié)論

概述了轉(zhuǎn)動慣量的測試方法：復(fù)擺法、單線扭擺法、落體法、三線擺法、扭擺法、質(zhì)量線法，得出了以下結(jié)論：

(1)復(fù)擺法不適用于較大物體，且該方法需要事先精確測量物體的質(zhì)心，限制了其應(yīng)用。

(2)落體法和單線擺法適用于陀螺轉(zhuǎn)子、螺旋槳、齒輪、馬達(dá)轉(zhuǎn)子等繞軸線對稱分布的構(gòu)件，一般都要測其繞軸線的轉(zhuǎn)動慣量。

(3)三線擺法和扭擺法均可以對外形不規(guī)則物體進(jìn)行測量。相比之下，三線擺法設(shè)備簡單，而扭擺法測量精度更高。

(4)質(zhì)量線法的理論基礎(chǔ)復(fù)雜，測試精度較難保證，試驗重復(fù)性較差，對試驗人員要求較高。

【1】孟泉水,班麗瑛,朱金山.用復(fù)擺法測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量[J].西安科技學(xué)院學(xué)報,2003,23(4):478-480.

【2】王福生.質(zhì)量特性測試平臺及其關(guān)鍵技術(shù)研究[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2011:4.

【3】鄒凌云.基于三線擺慣性參數(shù)測量的研究[D].武漢:華中科技大學(xué),2011.

【4】于洽會.落體法測定構(gòu)件慣性矩的幾個問題[J].上海航天,2000(2):57-62.

【5】蘇成謙,呂振華.大型剛體慣性參數(shù)識別的三線擺系統(tǒng)實驗方法改進(jìn)研究[J].工程力學(xué),2007,24(7):59-65,71.

【6】羅遠(yuǎn)祥,官飛,關(guān)冀華,等.理論力學(xué)[M].北京：人民教育出版社,1981.

【7】上官文斌,賀良勇,田子龍,等.汽車動力總成質(zhì)心與慣性參數(shù)測試實驗臺的開發(fā)[J].振動工程學(xué)報,2010,23(2):119-125.

【8】任永連,周鋐,束元.基于質(zhì)量線法的汽車動力總成剛體慣性參數(shù)的研究與辨識[J].汽車技術(shù),2013(7):25-29.

【9】楊為,劉欣,籍慶輝,等.結(jié)構(gòu)剛體慣性參數(shù)識別精度研究[J].振動與沖擊,2008,27(5):105-108,143.

The Summarization of Test Methods for Rotational Inertia

ZHANG Jiaochao，HAO Fangnan

(Shannxi FAST Gear Co.,Ltd., Xi’an Shannxi 710119,China)

The test methods for rotational inertia were summarized, including compound-pendulum method, single pendulum method, falling method, trifilar pendulum method, torsion pendulum method, mass line method, and so on. Then the test theories and the errors sources of the methods were analyzed. These methods’ advantage and disadvantage and the objects which these methods could be applied to were described.

Rotational inertia; Test method

2015-05-26

張教超(1985—)，男，助理工程師，從事變速器振動噪聲、轉(zhuǎn)動慣量測試。E-mail：jczhangwn@163.com。