孫曉祥,杜宇靜

(吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院 文理學(xué)院,吉林 吉林 132101)

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研究簡報(bào)

分塊相鄰隨機(jī)矩陣最大特征值的極限性質(zhì)

孫曉祥,杜宇靜

(吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院 文理學(xué)院,吉林 吉林 132101)

利用隨機(jī)矩陣的矩方法和譜分析理論研究分塊相鄰隨機(jī)矩陣最大特征值的極限,在一定矩條件假設(shè)下,得到了該矩陣最大特征值上極限的界.

分塊矩陣；相鄰矩陣；隨機(jī)矩陣；最大特征值

0 引言與主要結(jié)果

分塊矩陣在物理、圖論和無線電通訊等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,目前已有許多研究成果[1-13].通常固定的分塊結(jié)構(gòu)是預(yù)先給定的,而子塊一般假設(shè)是Wigner矩陣、Toeplitz矩陣和Hankel矩陣.文獻(xiàn)[1-2]研究了當(dāng)子塊為Wigner矩陣時(shí)分塊矩陣的性質(zhì);文獻(xiàn)[3-6]研究了當(dāng)分塊結(jié)構(gòu)為Toepliz矩陣時(shí)分塊矩陣的相關(guān)性質(zhì).當(dāng)矩陣元素為高斯分布時(shí),Far等[12]利用運(yùn)算值的自由概率定理建立了這種分塊矩陣極限譜分布的性質(zhì).本文利用矩方法在矩陣元素滿足一定的矩條件假設(shè)下,考慮子塊為矩形矩陣情況下分塊相鄰隨機(jī)矩陣最大特征值的極限性質(zhì).

定義n×n矩陣如下:

定理1在假設(shè)(H1)～(H3)下,有

(1)

1 定理1的證明

用矩方法證明定理1.首先,將矩陣元素截?cái)?有如下命題.

命題1如果不等式(1)在下列條件下成立,則其在定理1的假設(shè)下也成立:

對任意的1≤r

λ1(A+B)≤λ1(A)+λ1(B).

因此,

注意到

根據(jù)Markov不等式,對任意的ε>0,有

(2)

因此可以假設(shè)Mn的對角線元素全為零.選擇θn=ηn/2,令

由Markov不等式,有

(3)

從而有

(4)

綜上有

(5)

易驗(yàn)證:

此外,

因此

選擇一列偶數(shù)k=2[(logn)2],這里[(logn)2]表示(logn)2的整數(shù)部分.

(6)

由命題1的假設(shè)條件2)和3),可斷定G(r,t)的每項(xiàng)不超過σ2rbt(ηnn1/2)k-2r-t.于是

(7)

經(jīng)過計(jì)算可知

(8)

對式(8)最右端應(yīng)用如下不等式(取a=t+1):

可知式(7)最右端有上界:

由于ηn→0,故有

從而

(9)

又因?yàn)閗/logn→∞,式(9)是絕對可和的,所以利用Borel-Cantelli引理可知定理1的結(jié)論成立.

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(責(zé)任編輯：趙立芹)

LimitPropertiesoftheBlockRandomAdjacencyMatrix

SUN Xiaoxiang,DU Yujing

(SchoolofArtandScience,JilinAgriculturalScienceandTechnologyCollege,Jilin132101,JilinProvince,China)

We studied the limit of the largest eigenvalue of the block adjacency matrix using the moment method and spectral theory in random matrix theory.Under some moments assumptions,we obtained a bound of the super limit of the largest eigenvalue.

block matrix;adjacency matrix;random matrix;largest eigenvalue

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.21

2014-10-13.

孫曉祥(1967—),男,滿族,碩士,副教授,從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究,E-mail:jlnkusxx@163.com.通信作者：杜宇靜(1969—),女,漢族,博士,教授,從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究,E-mail:duyj219@163.com.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:11471068).

O211.4

：A

：1671-5489(2015)03-0461-04