王博宇,閆廣武

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012)

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用于求解Poisson方程的格子Boltzmann模型

王博宇,閆廣武

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012)

提出一個(gè)求解Poisson方程的格子Boltzmann模型.通過使用Chapman-Enskog展開和多尺度展開得到了在不同時(shí)間尺度下的系列偏微分方程及平衡態(tài)分布函數(shù)和具有三階截?cái)嗟恼`差修正Poisson方程.用該模型計(jì)算Kolmogorov流和Green-Taylor渦流,并與解析解進(jìn)行比較,計(jì)算結(jié)果表明,數(shù)值結(jié)果與經(jīng)典解析結(jié)果基本相符.

格子Boltzmann模型；Poisson方程；Kolmogorov流

0 引 言

格子Boltzmann方法(LBM)目前已經(jīng)發(fā)展成為用于計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)的可選擇性方法[1-2].LBM可用于模擬單組分水動(dòng)力學(xué)問題,包括懸浮微粒的多組分流體問題、磁流體力學(xué)、反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)、多孔介質(zhì)流動(dòng)問題及其他復(fù)雜系統(tǒng).此外,格子Boltzmann模型廣泛應(yīng)用于模擬線性和非線性偏微分方程,如波動(dòng)方程[3]、Burgers方程[4]、KDV方程[5]、非線性Sch?dinger方程[6]、Poisson方程[7]和復(fù)Ginzburg-Landau方程[8]等.

本文提出一種基于格子Boltzmann模型處理Poisson方程的新數(shù)值方法.其中Poisson方程為

(1)

在應(yīng)用LBM求解方程(1)時(shí),有兩種選擇:1)使用一種與時(shí)間無關(guān)的空間多尺度技術(shù)恢復(fù)該方程；2)使用時(shí)間多尺度技術(shù)恢復(fù)該P(yáng)oisson方程.本文選用第二種方法.引入方程：

(2)

其中u(x,t)滿足

(3)

則當(dāng)t→∞時(shí),方程(2)的解恰好是方程(1)的解.

目前,模擬Poisson方程的方法主要有有限差分法、有限單元法以及最小二乘法等[9-11].新的求解技術(shù)有分辨算法和預(yù)調(diào)節(jié)技術(shù)[12-13]、Trefftz方法[14]、平面波方法[15]、非協(xié)調(diào)Galerkin方法[16]、最小二乘法[17]和無網(wǎng)格薄板樣條方法[18]等.本文提出一種一維和二維格子Boltzmann模型,并給出了數(shù)值算例.

1 格子Boltzmann模型

1.1不同時(shí)間尺度下的系列偏微分方程

定義fα(x,t)為在t時(shí)刻位于x處的單粒子分布函數(shù).考慮一維或二維格子Boltzmann模型,在該模型中,一維或二維格子上具有b+1個(gè)離散速度,除靜止粒子外,其他粒子沿路徑移動(dòng)到其他相鄰格點(diǎn)上.如果考慮粒子到達(dá)某一個(gè)格點(diǎn)時(shí)發(fā)生了粒子間的碰撞,則格子Boltzmann方程為

其中:Ωα(fα(x,t))稱為碰撞算子；ωα(x,t)表示附加項(xiàng).在標(biāo)準(zhǔn)格子Boltzmann模型中,ωα=0.本文選取

其中:ε為Knudsen數(shù);φα為獨(dú)立于α的函數(shù).一種簡單碰撞算子是選取一個(gè)線性形式的具有弛豫時(shí)間τ的算符：

(7)

Knudsen數(shù)ε定義為ε=l/L,其中:l是粒子自由程;L是特征長度,可以被選為時(shí)間步長Δt.因此,格子Boltzmann方程(4)可寫為

方程(8)中,Knudsen數(shù)ε被假設(shè)為小量,故可在小Knudsen數(shù)假設(shè)下進(jìn)行Chapman-Enskog展開：

(9)

t0,t1,t2表示不同的時(shí)間尺度,定義為

(10)

及

(11)

因此,可得一系列偏微分方程：

(12)

(13)

(14)

(15)

方程(12)～(15)又稱為不同時(shí)間尺度下的系列偏微分方程,它適用于一維、二維及三維情形,其中3個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)與弛豫時(shí)間τ有關(guān):

(16)

(17)

(18)

式(16)～(18)為第二～第四個(gè)Chapman多項(xiàng)式,與文獻(xiàn)[19]結(jié)果完全一致.

1.2Poisson方程的恢復(fù)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

特別地,對(duì)于一維情形,這些矩函數(shù)可記為

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

圖1 計(jì)算格子示意圖Fig.1 Diagrammatic sketches of lattice

對(duì)于一維模型,考慮5-bit格子.離散化的速度向量為e=(0,c,-c,2c,-2c),其中:α=0,1,2,3,4;c表示速度.格子的示意圖如圖1所示.5-bit格子模型的平衡態(tài)分布函數(shù)由式(24)～(28)解出,分別為

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

1.3一維Poisson方程的格子Boltzmann模型

一維Poisson方程具有如下形式：

(34)

選取

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

將式(12)+ε×式(13)+ε2×式(14)+ε3×式(15),并對(duì)α求和,可得：

如果選取(b+1)εφ=μ(ku-g),則修正后的一維Poisson方程為

方程(41)中,E2和E3由下式確定：

(42)

(43)

1.4二維Poisson方程

二維Poisson方程具有如下形式：

使用如圖1(B)所示的二維格子,則粒子速度向量為

eα={(0,0),(c,0),(0,c),(-c,0),(0,-c),(2c,0),(0,2c),(-2c,0),(0,-2c)},α=0,1,…,8.

假設(shè)各階矩為式(35)及

(45)

(46)

(47)

(48)

則平衡態(tài)分布函數(shù)記為

(49)

(51)

將式(12)+ε×式(13)+ε2×式(14)+ε3×式(15)并對(duì)α求和,得

如果選取(b+1)εφα=μ(ku-g)作為式(51)的源項(xiàng),則修正后的二維Poisson方程為

其中:E2為式(42);

(54)

因此,可得具有三階截?cái)嗾`差精度的Poisson方程：

(55)

2 數(shù)值算例

下面應(yīng)用格子Boltzmann方法模擬一維和二維Poisson方程.

例1考慮Kolmogorov流:

(56)

邊界條件為

如果u獨(dú)立于y,則方程具有解析解：

(58)

其數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖2和圖3所示.其中:圖2(A)是LBM計(jì)算結(jié)果；圖2(B)是解析解；圖3(A)為LBM結(jié)果與解析解在y=0.2π處的比較；圖3(B)為y=0.2π處的絕對(duì)誤差曲線；圖3(C)為lg Errmax對(duì)lgε在y=0.2π處的無窮模曲線.

參數(shù)A0=1.0,c=168.0,μ=1.0,λ=c2;網(wǎng)格數(shù)M=101,Δ x=π/M=π/101,Δ t=ε=Δ x/c;迭代步數(shù)10 000.

參數(shù)c=168.0,μ=1.0,λ=0.43c2;網(wǎng)格數(shù)M=101×101,Δ x=Δ y=π/M=π/101,Δ t=ε=Δ x/c=Δ y/c.

例2考慮Green-Taylor渦流,其中流函數(shù)滿足Poisson方程：

2u(x,y)+8π2u(x,y)=0, 0≤x≤1, 0≤y≤1;

(59)

邊界條件為

(60)

方程(59)具有解析解：

(61)

其解析解和數(shù)值解如圖4所示.其中圖4(A)和圖4(B)分別為LBM數(shù)值解和解析解的表面圖.由圖4可見,LBM數(shù)值解與經(jīng)典解析結(jié)果基本吻合.圖5為絕對(duì)誤差最大值Err=|uN-uA|和Knudsen數(shù)ε的關(guān)系曲線.由圖5可見,LBM數(shù)值解的精度與網(wǎng)格密度成正比,這與模型的選取有關(guān).

參數(shù)A0=1.0,c=168.0,μ=1.0,λ=c2;格子規(guī)模M=101×101,Δ x=Δ y=π/M=π/101,Δ t=ε=Δ x/c=Δ y/c;迭代步數(shù)為10 000.

參數(shù)c=168.0,A0=1.0,μ=1.0,λ=0.43c2.

綜上,本文提出了求解Poisson方程具有高階精度的格子Boltzmann模型.通過使用Chapman-Enskog展開和多尺度展開技術(shù)得到了系列偏微分方程及平衡態(tài)分布函數(shù)的高階矩和修正后的具有三階截?cái)嗾`差的Poisson方程;給出了LBM數(shù)值解與Kolmogorov流和Green-Taylor渦流精確解的比較,結(jié)果表明,數(shù)值結(jié)果與經(jīng)典解析解基本吻合.

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(責(zé)任編輯：趙立芹)

LatticeBoltzmannModelforPoissonEquation

WANG Boyu,YAN Guangwu

(CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China)

A lattice Boltzmann model for the Poisson equation was proposed.By means of the Chapman-Enskog expansion and the multi-scale time expansion,a series of partial differential equations in different time scales was obtained.Moreover,the equilibrium distribution functions and the modified partial differential equation of the Poisson equation with the third-order truncation error were obtained.In numerical examples,the Kolmogorov flow and Green-Taylor vortex flow were simulated,and the comparison between numerical results of the lattice Boltzmann models and exact solutions were given.The numerical results are acceptable.

lattice Boltzmann model;Poisson equation;Kolmogorov flow

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.11

2014-09-29.

王博宇(1992—),男,漢族,碩士研究生,從事流體力學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)數(shù)值模擬的研究,E-mail:bywang14@mails.jlu.edu.cn.通信作者：閆廣武(1964—),男,漢族,博士,教授,博士生導(dǎo)師,從事復(fù)雜系統(tǒng)數(shù)值模擬的研究,E-mail:yangw_jlu@126.com.

國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11272133).

O351.2

：A

：1671-5489(2015)03-0407-07