張 忠 任

(清華大學(xué)《資本論》與當(dāng)代問題研究中心，北京100083)

轉(zhuǎn)形問題(The Transformation Problem)是馬克思主義經(jīng)濟學(xué)中的價值向生產(chǎn)價格轉(zhuǎn)化問題，源自1894 年出版的《資本論》第3 卷，至今已經(jīng)有120年的歷史，是經(jīng)濟學(xué)研究中的著名難題之一。

轉(zhuǎn)形問題能否成立關(guān)系到馬克思主義經(jīng)濟學(xué)的存在價值。因為假若轉(zhuǎn)形問題不能成立，則意味著導(dǎo)致李嘉圖體系解體的兩大矛盾之一(價值規(guī)律與“等量資本獲得等量利潤”的矛盾)沒有被解決，從而馬克思主義經(jīng)濟學(xué)將退回到李嘉圖以前。所以，這一問題一直受人矚目，圍繞著這一問題在20 世紀(jì)50 年代和70 年代曾發(fā)生過兩次世界性大論戰(zhàn)。

轉(zhuǎn)形問題研究的關(guān)鍵或難點在于怎樣確定成本生產(chǎn)價格化以后所謂“總計一致2 命題”(即轉(zhuǎn)形后平均利潤總額等于剩余價值總額，并且生產(chǎn)價格總額等于價值總額，也被簡稱為“兩個等于”)是否能夠同時成立。

第一次對轉(zhuǎn)形問題計算方法進行的有效探索是由德國經(jīng)濟學(xué)家兼統(tǒng)計學(xué)家鮑特凱維茲在1907 年做出的。盡管鮑特凱維茲的轉(zhuǎn)形模型還不夠完善，但是他基于馬克思的過渡性計算方法開創(chuàng)了“系數(shù)法”的先河，為在2000 年提出并首次實現(xiàn)對“總計一致2 命題”同時成立做出一般性論證的BSZ 轉(zhuǎn)形模型提供了重要啟示①最初的BSZ 轉(zhuǎn)形模型請參見張忠任《轉(zhuǎn)形問題的最終解決》，《數(shù)量經(jīng)濟·技術(shù)經(jīng)濟研究》2001 年第2 期;規(guī)范化的BSZ 轉(zhuǎn)形模型請參見張忠任《轉(zhuǎn)形問題:薩繆爾遜為馬克思提供的一個旁證》，《海派經(jīng)濟學(xué)》(季刊)，2007 年1 月。。不過，對轉(zhuǎn)形問題的認(rèn)識需要人們慢慢消化，對BSZ轉(zhuǎn)形模型的接受還需要時間，因而存在缺陷的鮑特凱維茲的轉(zhuǎn)形模型仍然存在廣泛影響，尤其是鮑特凱維茲基于其存在缺陷的轉(zhuǎn)形模型曾經(jīng)提出的一個假說(只有當(dāng)?shù)? 部類的資本有機構(gòu)成等于社會平均有機構(gòu)成時，轉(zhuǎn)形后“兩個等于”才能同時成立)，對于揭示鮑特凱維茲轉(zhuǎn)形模型的實質(zhì)具有很關(guān)鍵的作用，可是時至今日，對其認(rèn)識仍然不夠充分。本文旨在對鮑特凱維茲的這一假說從理論到數(shù)學(xué)推導(dǎo)進行全方位剖析，以期正本清源。

一、轉(zhuǎn)形問題的由來與難點

在勞動價值論上超越李嘉圖體系是馬克思主義經(jīng)濟學(xué)所邁出的極為重要的一步，也具有里程碑意義。馬克思為了解決導(dǎo)致李嘉圖體系破產(chǎn)的第2 個難題，即價值規(guī)律與“等量資本獲得等量利潤”的矛盾，在《資本論》第3 卷第一篇討論了剩余價值轉(zhuǎn)化為利潤之后，在第二篇尤其是第九章中集中闡明了商品價值轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)價格的問題②生產(chǎn)價格的概念源于重農(nóng)學(xué)派的“必要價格”、斯密的“自然價格”和李嘉圖的“生產(chǎn)費用”等。馬克思第一個闡明了生產(chǎn)價格與價值的區(qū)別與聯(lián)系。參見《馬克思恩格斯全集》第25卷，人民出版社1975 年版，第221 頁。。

下面我們運用公式來說明這一問題，令ci、vi、mi和wi分別表示第i 部門的不變資本、可變資本、剩余價值和總價值，于是全社會n 個部門的價值體系可以用數(shù)學(xué)公式表示為:

令e(e=mi/vi，i =1，2，…，n)表示剩余價值率，則(1)式可化為:

令πi(=mi/［ci+vi］)表示第i 部門的利潤率，剩余價值轉(zhuǎn)化為利潤以后，則(2)式可以化為:

這里，ci+vi是第i 部門的資本總額，一般也稱為成本或者成本價格，而利潤額是πi(ci+vi)。總之，剩余價值轉(zhuǎn)化為利潤以后，價值便等于成本價格ci+vi加上利潤πi(ci+vi)，此時，各部門的利潤率是各不相同的。

但是，在資本主義經(jīng)濟當(dāng)中，不論資本投入哪個部門，等量資本大體上都要求取得等量利潤，于是部門之間就會發(fā)生競爭，其結(jié)果是各部門的不同利潤率轉(zhuǎn)化為相同的平均利潤率。各部門按照平均利潤率取得的利潤就是平均利潤。平均利潤率形成以后，商品不再按照成本價格加上利潤出售，而是按照成本價格加上平均利潤出售。成本價格加上平均利潤就是生產(chǎn)價格。

價值轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)價格以后，只有量的變化，而沒有質(zhì)的變化，在質(zhì)上生產(chǎn)價格與價值是相同的，生產(chǎn)價格只是表現(xiàn)著轉(zhuǎn)化了的價值。而在量上，變化只發(fā)生在各個部門之間③馬克思認(rèn)為，轉(zhuǎn)形之后，a.資本有機構(gòu)成高的部門，價值將小于生產(chǎn)價格;b.資本有機構(gòu)成低的部門，價值大于生產(chǎn)價格;c.只有資本有機構(gòu)成與社會資本平均構(gòu)成一致的部門，價值等于生產(chǎn)價格。這是三個有待證明的三個著名的命題。，從全社會來看，全部商品生產(chǎn)價格的總額仍然等于全部商品價值的總額。價值轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)價格的實質(zhì)是剩余價值的再分配，各部門按照平均利潤率取得的利潤，即平均利潤雖然與剩余價值額會有不同，從全社會來看，平均利潤總額仍然等于剩余價值總額?？傊?，轉(zhuǎn)形后，生產(chǎn)價格總額等于價值總額，平均利潤總額等于剩余價值總額，這就是有名的“總計一致2 命題”。

關(guān)于生產(chǎn)價格的計算，馬克思給出了一種過渡性計算方法:

這里Pi表示第i 部門的生產(chǎn)價格總額，r 是平均利潤率，r 相當(dāng)于剩余價值總額在社會總資本中所占的份額，即:

公式(4)的使用方法如文后附表所示。因為價值向生產(chǎn)價格的轉(zhuǎn)化問題一般被稱為“轉(zhuǎn)形問題”，所以公式(4)一般被稱之為“半轉(zhuǎn)形公式”。

在文后附表最后一行中我們看到，轉(zhuǎn)形后生產(chǎn)價格總額仍然等于價值總額(360 =360)，平均利潤總額仍然等于剩余價值總額(60 =60)，即“總計一致2 命題”得到了同時滿足。不過，這種過渡性的轉(zhuǎn)形方法是不徹底的，因為對成本價格部分還沒有進行生產(chǎn)價格化。對此，如果我們把(4)式稍微變一下形可能看得更為清楚，令xi=pi/wi，則xi表示生產(chǎn)價格對價值的偏離率，也可以理解為wi的變化率，于是(4)式便化為:

注意(6)式的右端，作為生產(chǎn)價格，wi已經(jīng)發(fā)生了變化，其變化率是xi;但是左端只是出現(xiàn)了平均利潤率r，而作為成本價格的ci和vi卻沒有任何變化，仍然處于價值狀態(tài)。所以(6)式的經(jīng)濟學(xué)含義存在不妥之處。也就是說，只有生產(chǎn)價格化了才是完美的。

馬克思很清楚上面的“半轉(zhuǎn)形”還不夠完善，因此，馬克思曾明確指出:“…一個商品的生產(chǎn)價格，對他的買者來說，就是成本價格，并且可以作為成本價格加入另一個商品的價格形成。因為生產(chǎn)價格可以偏離商品的價值，所以，一個商品的包含另一個商品的這個生產(chǎn)價格在內(nèi)的成本價格，可以高于或低于它的總價值中由加到它里面的生產(chǎn)資料的價值構(gòu)成的部分。必須記住成本價格這個修改了的意義?！保?］184-185這里所闡述的就是對于轉(zhuǎn)形來說成本價格的生產(chǎn)價格化的必要性。不過，馬克思認(rèn)為，“對我們現(xiàn)在的研究來說，這一點沒有進一步考察的必要”［1］185。

馬克思沒能徹底完成《資本論》就與世長辭了，我們已經(jīng)無法知道他究竟打算在什么地方對此做進一步的考察，這樣，馬克思就把轉(zhuǎn)形的計算問題留給了后人。

轉(zhuǎn)形問題的難點在于:如何證明成本價格的生產(chǎn)價格化以后，“總計一致2 命題”是否能夠同時成立?不過，如果不能成立，后果是極其嚴(yán)重的，因為至少新葡萄酒、陳葡萄酒問題就解釋不了了，讀者可以想一想，那將意味著什么?所以，轉(zhuǎn)形問題成立與否，一致被視為是馬克思經(jīng)濟學(xué)生死攸關(guān)的根本問題。

二、鮑特凱維茲的轉(zhuǎn)形模型與一個假說

最早試圖用數(shù)學(xué)方法解決轉(zhuǎn)形的計算問題并取得突破性成果的是德國柏林大學(xué)教授、經(jīng)濟學(xué)家、統(tǒng)計學(xué)家鮑特凱維茲(Ladislaus von Bortkiewicz)。

1906—1907 年，鮑特凱維茲用德文先后發(fā)表了兩篇研究馬克思轉(zhuǎn)形問題的長篇論文。第一篇是《馬克思體系中的價值計算和價格計算》，在這篇論文里，他主要總結(jié)了迄1906 年為止的轉(zhuǎn)形研究，并運用數(shù)學(xué)公式對價值和生產(chǎn)價格、剩余價值和利潤的數(shù)量關(guān)系進行了深入探討。第二篇是《論〈資本論〉第3 卷中馬克思基本理論結(jié)構(gòu)的修正問題》，在這篇論文中，鮑特凱維茲首次提出了解決轉(zhuǎn)形問題的數(shù)學(xué)模型問題。

鮑特凱維茲方法的靈感其實來自馬克思的“半轉(zhuǎn)形公式”(4)式的啟發(fā)。馬克思本人并沒有意識到在(4)式中所體現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為(6)式的那樣表達。也就是說，馬克思并沒有看到Pi=WiXi這種轉(zhuǎn)化技巧，這一點應(yīng)該是鮑特凱維茲第一個發(fā)現(xiàn)的。然后他將之運用到作為成本價格的Ci和Vi上，由此便解決了成本生產(chǎn)價格化的手段問題。這種方法后來被稱為“系數(shù)法”。

鮑特凱維茲如果不是在部門結(jié)構(gòu)問題上誤入歧途，很可能轉(zhuǎn)形問題在他那里就已經(jīng)畫上了句號。他沒有充分理解馬克思的兩大部類的思想，硬把兩大部類擴充成三大部類:第1 部類為生產(chǎn)資料，第2 部類為工人消費資料，第3 部類為資本家消費資料即奢侈品。按照斯威齊譯文中的符號，ci、vi、si(i =1，2，3)分別表示第i 部類的不變資本、可變資本和剩余價值。鮑特凱維茲認(rèn)為在簡單再生產(chǎn)條件下，下列平衡關(guān)系應(yīng)該成立①這種平衡關(guān)系是不能成立的。雖然奢侈品只進入資本家階級的消費，但是不存在不食人間煙火的資本家。在《資本論》第2 卷中，馬克思雖然把工人階級的消費資料和資本家的奢侈品分為兩個分部類，但是屬于第Ⅱ部類內(nèi)部的劃分。因此，鮑特凱維茲的這一假定，在經(jīng)濟學(xué)上是不能成立的。需要強調(diào)的是，鮑特凱維茲的錯誤的三大部類方法，特別是公式(7)所體現(xiàn)的平衡關(guān)系，長期以來一直在誤導(dǎo)著人們，簡直可以稱為一個怪圈。即便是塞頓和薩繆爾森，在試圖舉例說明其一般模型時，也都沒有能夠擺脫這個怪圈。。

用x、y、z 表示c、v、s 的生產(chǎn)價格對其價值的偏離率，令ρ 表示平均利潤率，則有:

現(xiàn)在共有4 個未知數(shù)x、y、z、ρ，而方程卻只有3 個①。為使方程組有解，有兩個解決辦法:或者增加一個方程，或者減少一個未知數(shù)。鮑特凱維茲曾經(jīng)考慮過，令總生產(chǎn)價格等于總價值，即把:

作為一個限制條件加進來，這樣便有了4 個未知數(shù)和4 個方程。在這里，

但是，他又覺得這樣做太麻煩，不如設(shè)法減少一個未知數(shù)。方程組(8)的計量單位是勞動時間，他認(rèn)為如果用貨幣來表示更為理想。他說，生產(chǎn)貨幣1 個單位所必要的勞動量(他實際上說的就是社會必要勞動時間，把貨幣作為一種商品來認(rèn)識)，是直接溝通兩個計算體系(指勞動時間和貨幣)的橋梁②。并假定貨幣商品是黃金，把黃金的1 單位(或者黃金1 盎司的1/35)作為價值的單位，接著他又進一步假定所有奢侈品的單位價值都是1。這實際上意味著假定z =1，這樣方程組(8)的未知數(shù)就由4 個減少為3 個，化為:

接著，他開始考慮方程組(10)的解法，并做得很細(xì)，不過隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，已經(jīng)陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了一些更為簡便的解法，我們在這里就不再討論該方程組的解法問題了。

之后，鮑特凱維茲便用數(shù)據(jù)來檢驗?zāi)Ｐ?。他的? 組數(shù)據(jù)成功地通過了檢驗。按照上面的解法，x=9/8，y =3/4，σ =4/3 (即ρ =1/3，注意這一平均利潤率與按馬克思定義所計算的是一致的，可惜只是一個巧合。后文中我們將會看到在何種條件下才會出現(xiàn)這種巧合)，轉(zhuǎn)形的結(jié)果顯示，確實做到了轉(zhuǎn)形(包括成本的生產(chǎn)價格化)后，平均利潤總額等于剩余價值總額，生產(chǎn)價格總額等于價值總額也同時成立。但是，鮑特凱維茲馬上發(fā)現(xiàn)了他的模型不具有一般性。他的第2組數(shù)據(jù)就沒能夠通過檢驗，雖然平均利潤總額等于剩余價值總額，但是生產(chǎn)價格總額卻不等于價值總額。

為什么第1 組數(shù)據(jù)能夠通過檢驗，而第2 組數(shù)據(jù)就不能通過檢驗?zāi)?鮑特凱維茲發(fā)現(xiàn)其原因在于第3 部類。當(dāng)?shù)? 部類的資本有機構(gòu)成等于社會平均有機構(gòu)成時(如第1 組數(shù)據(jù))，轉(zhuǎn)形后“兩個等于”都能成立;而當(dāng)?shù)? 部類的資本有機構(gòu)成不等于社會平均有機構(gòu)成時(如第2 組數(shù)據(jù))，則“兩個等于”不能同時成立，生產(chǎn)價格總額將不等于價值總額。在鮑特凱維茲的假定中，第3 部類是貨幣部門(開始時為奢侈品部門)，而一般說來貨幣部門的資本有機構(gòu)成應(yīng)該不會等于社會平均有機構(gòu)成，所以他的結(jié)論是:只有在特殊情形下轉(zhuǎn)形后“兩個等于”才能同時成立。也就是說，鮑特凱維茲認(rèn)為轉(zhuǎn)形問題不能夠普遍成立，也就是說他以此來否定了生產(chǎn)價格理論。

不過，關(guān)于上述的“特殊情形”，鮑特凱維茲提出了一個令人迷惑的假說:只有當(dāng)?shù)? 部類的資本有機構(gòu)成等于社會平均有機構(gòu)成時，轉(zhuǎn)形后“兩個等于”都能成立。雖然這只是限于鮑特凱維茲模型的一個假說，至今沒有人認(rèn)識到該假說的真正作用:對于認(rèn)識鮑特凱維茲模型的局限性竟然是很關(guān)鍵的一環(huán)。另外，這一假說是否成立或為什么能夠成立，迄今為止還沒有人從數(shù)學(xué)上做出回答。我們在下一節(jié)探討這一問題。

三、鮑特凱維茲假說的數(shù)學(xué)證明

為了證明上述鮑特凱維茲假說，我們先來看一下當(dāng)?shù)? 部類的資本有機構(gòu)成等于社會平均有機構(gòu)成時有什么性質(zhì)。在這里，我們將反復(fù)應(yīng)用所謂分比定理、合比定理等原理。

為了分析的方便，我們令C =c1+c2+c3，V=v1+v2+v3，S=s1+s2+s3。

首先，第3 部類的資本有機構(gòu)成等于社會平均有機構(gòu)成，可以用公式表述為:

由此可得:

因為C=c1+c2+c3，V=v1+v2+v3所以有:

方程組(8)的要害之一，就在于等同了可變資本的偏離率與第2 部門商品的偏離率。

② 指出這一點很重要，對于解決轉(zhuǎn)形的單位問題(即采用勞動時間還是貨幣來作為計量單位)有重要意義。

從而有:

注意，這里用上了條件(7)。公式(11)的右邊就是馬克思的平均利潤率公式。

這樣，把方程組(10)的3 個方程加到一起，便有:

從而:

把它代入到方程組(10)的第3 個方程，有:

這說明，當(dāng)?shù)? 部類的資本有機構(gòu)成等于社會平均有機構(gòu)成時，在前述(11)下，鮑特凱維茲模型的平均利潤率與馬克思所定義的平均利潤率是一致的。

由此，對于生產(chǎn)價格總額(1 +ρ)(Cx +Vy)有:

即等于價值總額C+V+S。

而對于平均利潤總額ρ(Cx+Vy)有:

即等于剩余價值總額S。

上面的論證說明，在鮑特凱維茲模型下，當(dāng)?shù)? 部類的資本有機構(gòu)成等于社會平均有機構(gòu)成的時候，轉(zhuǎn)形后“兩個等于”都能成立。也就是說，鮑特凱維茲假說在邏輯上是成立的。

順便說一句，通過上面的分析還可以看出，鮑特凱維茲模型即方程組(10)并非如斯威齊(1942)所認(rèn)為的那樣，僅僅是由前兩個方程決定的，其三個方程之間是存在內(nèi)在聯(lián)系的，這種內(nèi)在聯(lián)系在很大的程度上決定了轉(zhuǎn)形后“兩個等于”能否同時成立。

四、簡要的結(jié)論

一百多年來，無數(shù)人在探討鮑特凱維茲模型能夠滿足轉(zhuǎn)形后“總計一致2 命題”同時成立的條件，但是大多數(shù)人的眼睛都盯在如何對z 賦值問題上。也有人開始懷疑令z=1 的必要性，例如日本伊藤誠教授就曾質(zhì)疑過，難道就不可以令z等于嗎①伊藤認(rèn)為，如果生產(chǎn)黃金的勞動不是1 小時而是2 小時的話，那么就應(yīng)該是z=1/2，這樣，鮑特凱維茲的價格計算就會縮減。參見伊藤誠《馬克思的價值理論研究》，《科學(xué)與社會》1976 年秋季號;《價值和資本的理論》，巖波書店，1981 年。?但是并沒有人注意到鮑特凱維茲假說也是一個不可或缺的條件，當(dāng)然這與該假說沒有得到論證有關(guān)。

如上所述，鮑特凱維茲假說是成立的。不過只有在鮑特凱維茲模型(10)下，即在z=1 的時候才有意義，因而并不具有普遍性。也就是說，他的第3 部類資本有機構(gòu)成是否等于社會平均有機構(gòu)成，并不能構(gòu)成轉(zhuǎn)形后“總計一致2 命題”能否同時成立的一般條件。其實連他的第3 部類的概念都是不成立的，其上述假說中的條件怎么可能成為轉(zhuǎn)形問題的一個前提?

另外，把第3 部類資本有機構(gòu)成是否等于社會平均有機構(gòu)成作為轉(zhuǎn)形后“總計一致2 命題”能否同時成立的條件，其實還是從問題的表象出發(fā)來認(rèn)識問題的，并沒有認(rèn)識到該問題的本質(zhì)。當(dāng)然在線性代數(shù)的方法還沒有充分發(fā)展的時代，能看到這一點已經(jīng)是難能可貴的了。時至今日，如果用現(xiàn)代線性代數(shù)的方法改寫一下鮑特凱維茲模型(8)便得到:

由此我們可以認(rèn)識到，鮑特凱維茲其實已經(jīng)觸摸到了其模型能夠滿足“總計一致2 命題”同時成立的條件，這個條件就是z=1 并且模型系數(shù)陣特征值所決定的平均利潤率與馬克思所定義的平均利潤率一致(也可以通過第3 部類資本有機構(gòu)成等于社會平均有機構(gòu)成來判斷)。

總之，鮑特凱維茲轉(zhuǎn)形模型盡管是一個不完善的模型，但是在一定條件下能夠滿足“總計一致2 命題”同時成立，這說明，該模型中具有一定的成分接近了正確轉(zhuǎn)形模型，這也正是該模型能夠成為構(gòu)筑BSZ 轉(zhuǎn)形模型的源泉之一的主要原因［2］。

按照半轉(zhuǎn)形公式進行計算的生產(chǎn)價格化數(shù)例

［1］ 馬克思恩格斯全集:第25 卷［M］. 北京:人民出版社，1975.

［2］ 張忠任.轉(zhuǎn)形問題的關(guān)鍵和誤區(qū):一個必要的修正［J］.清華政治經(jīng)濟學(xué)報，2013，(1).