鄭 金
(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)
在電磁學(xué)中,暫態(tài)電路的充電和放電過程都屬于瞬態(tài)過程,物理量隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律變化.其微分方程及其通解都具有特定的形式.此外,對(duì)于物體的變速運(yùn)動(dòng),由于受力特點(diǎn)不同,其瞬態(tài)過程將不同.
下面對(duì)有關(guān)物體從靜止開始加速運(yùn)動(dòng)到最大速度的3種瞬態(tài)過程問題舉例分析.
對(duì)于物體在恒力F和線性阻力f=kv共同作用下的加速直線運(yùn)動(dòng)過程,速度變化遵循一定的規(guī)律.
【例1】如圖1所示,足夠長的光滑水平導(dǎo)軌,相距l(xiāng)=0.5m,左端接有電阻R=1Ω.勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=2T,方向與軌道平面垂直,金屬棒置于導(dǎo)軌上,質(zhì)量為m=200g,電阻為r=0.5Ω.現(xiàn)讓金屬棒在水平恒力F=2N 作用下由靜止開始沿軌道運(yùn)動(dòng).設(shè)金屬棒始終在磁場(chǎng)中與軌道接觸良好,導(dǎo)軌和導(dǎo)線的電阻均不計(jì).對(duì)于金屬棒從開始運(yùn)動(dòng)到速度最大的過程,求:
(1)金屬棒發(fā)生的位移;
(2)通過電阻R 的電荷量;
(3)在電阻R 上產(chǎn)生的熱量.
圖1
解析:(1)金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=Blv,則金屬棒受到安培力為
由牛頓第二定律列微分方程為
即
由此可知穩(wěn)定速度為
時(shí)間常數(shù)為
因初速度v0=0,由瞬態(tài)過程的結(jié)論可得金屬棒沿軌道下滑的速度為
由動(dòng)量定理有Ft-ks=mv,可得位移關(guān)系式為
(2)由動(dòng)量定理有
可得通過金屬棒的電荷量為
所以在電阻R 上產(chǎn)生的熱量為
如果在題中給出的位移、電荷量或熱量的某個(gè)數(shù)值小于上述計(jì)算結(jié)果,將導(dǎo)致題目中的數(shù)據(jù)不自洽.
對(duì)于物體在線性阻力作用下以恒定功率加速直線運(yùn)動(dòng)的過程,速度變化遵循一定的規(guī)律.
【例2】有“潛艇之王”之稱的美國“俄亥俄”級(jí)潛艇,在水下行駛時(shí)的質(zhì)量為2萬噸,行駛中受阻力f=kv,其中k=1.8×105N·s/m,當(dāng)其以P=4.0×104kW 的恒定功率在水下行駛時(shí),求:
(1)最大速度;
(2)啟動(dòng)多長時(shí)間達(dá)到最大速度的一半?
分離變量得
即
由此得
對(duì)于物體在恒定阻力作用下以恒定功率加速直線運(yùn)動(dòng)的過程,速度變化遵循一定的規(guī)律.
【例3】已知汽車的額定功率為P,質(zhì)量為m,運(yùn)動(dòng)過程中受到恒定阻力為f,汽車運(yùn)動(dòng)的初速度為v0,求汽車達(dá)到最大速度所需的時(shí)間是多少?
設(shè)
則
由式(3)得
則
代入式(4)并整理得
即為
由(3)式可知,當(dāng)u=5時(shí),速度v=0.993vm,此時(shí)可認(rèn)為汽車達(dá)到最大速度,則由(4)式可知汽車從靜止到速度最大過程所經(jīng)歷的時(shí)間為
如果初速度為v0,則由靜止加速到v0經(jīng)歷的時(shí)間為
所以汽車從初速度為v0加速到最大速度所需的時(shí)間為t=tm-t0,即為
式(6)是不同速度所對(duì)應(yīng)的時(shí)間,式(9)是物體達(dá)到最大速度所經(jīng)歷的時(shí)間.
【例4】(2009年高考上海物理試卷第20題)質(zhì)量為5×103kg的汽車在t=0時(shí)刻速度v0=10m/s,隨后以P=6×104W 的額定功率沿平直公路繼續(xù)前進(jìn),經(jīng)72s達(dá)到最大速度,設(shè)汽車受恒定阻力,其大小為2.5×103N.求:
(1)汽車的最大速度vm;
(2)汽車在72s內(nèi)經(jīng)過的路程s.
分析:最大速度為
將數(shù)據(jù)代入式(9)得時(shí)間為
此時(shí)汽車的速度為v=0.993vm≈23.83m/s,非常接近最大速度了.
可見原題中的數(shù)據(jù)t=72s是不合理的,或者說是不自洽的.
對(duì)于例題1,可直接利用瞬態(tài)過程的結(jié)論進(jìn)行解答,稱為指數(shù)瞬態(tài)過程;對(duì)于例題2和3,則需先對(duì)微分方程變換形式,再利用瞬態(tài)過程的結(jié)論進(jìn)行解答,可稱為另類瞬態(tài)過程.需通過數(shù)學(xué)變換,使某一變量與指數(shù)瞬態(tài)過程發(fā)生聯(lián)系,從而利用瞬態(tài)過程的結(jié)論,化繁為簡.
有趣的是,對(duì)于物體由靜止開始加速運(yùn)動(dòng)的瞬態(tài)過程,達(dá)到最大速度所經(jīng)歷的時(shí)間都與“滿速比”β有關(guān).
當(dāng)動(dòng)力恒定,阻力為線性力時(shí)
當(dāng)動(dòng)力功率恒定,阻力為線性力時(shí)
當(dāng)動(dòng)力功率恒定,阻力為恒力時(shí)
對(duì)應(yīng)的時(shí)間常數(shù)分別為
綜上可見,瞬態(tài)過程形式多樣.解答瞬態(tài)過程問題的關(guān)鍵是列出變量的一階常系數(shù)線性微分方程,再利用瞬態(tài)過程的結(jié)論直接寫出通解,可避免數(shù)學(xué)積分過程.瞬態(tài)過程的結(jié)論不僅能巧妙解題,而且還可用來擬題,或者判斷題目中的數(shù)據(jù)是否自洽以及檢驗(yàn)常規(guī)解法所得結(jié)果是否正確.
1 朱佩明.物理問題的規(guī)定性與習(xí)題命制的誤區(qū).物理教學(xué),2009(1):42
2 詹國榮.恒功率啟動(dòng)運(yùn)行物體的速度變化規(guī)律.物理教學(xué),2012(5):52
3 趙曰峰,趙林明,宋輝武.談汽車以額定功率啟動(dòng)達(dá)到最大速度的時(shí)間.物理教師,2014(5):58