鄭 金

（凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500）

在電磁學(xué)中，暫態(tài)電路的充電和放電過程都屬于瞬態(tài)過程，物理量隨時間按指數(shù)規(guī)律變化.其微分方程及其通解都具有特定的形式.此外，對于物體的變速運動，由于受力特點不同，其瞬態(tài)過程將不同.

下面對有關(guān)物體從靜止開始加速運動到最大速度的3種瞬態(tài)過程問題舉例分析.

1 滑桿在恒定動力和安培力作用下的運動

對于物體在恒力F和線性阻力f＝kv共同作用下的加速直線運動過程，速度變化遵循一定的規(guī)律.

【例1】如圖1所示，足夠長的光滑水平導(dǎo)軌，相距l(xiāng)＝0.5m，左端接有電阻R＝1Ω.勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B＝2T，方向與軌道平面垂直，金屬棒置于導(dǎo)軌上，質(zhì)量為m＝200g，電阻為r＝0.5Ω.現(xiàn)讓金屬棒在水平恒力F＝2N 作用下由靜止開始沿軌道運動.設(shè)金屬棒始終在磁場中與軌道接觸良好，導(dǎo)軌和導(dǎo)線的電阻均不計.對于金屬棒從開始運動到速度最大的過程，求：

（1）金屬棒發(fā)生的位移；

（2）通過電阻R 的電荷量；

（3）在電阻R 上產(chǎn)生的熱量.

圖1

解析：（1）金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E＝Blv，則金屬棒受到安培力為

由牛頓第二定律列微分方程為

即

由此可知穩(wěn)定速度為

時間常數(shù)為

因初速度v0＝0，由瞬態(tài)過程的結(jié)論可得金屬棒沿軌道下滑的速度為

由動量定理有Ft－ks＝mv，可得位移關(guān)系式為

（2）由動量定理有

可得通過金屬棒的電荷量為

所以在電阻R 上產(chǎn)生的熱量為

如果在題中給出的位移、電荷量或熱量的某個數(shù)值小于上述計算結(jié)果，將導(dǎo)致題目中的數(shù)據(jù)不自洽.

2 潛艇在線性阻力作用下以恒定功率行駛

對于物體在線性阻力作用下以恒定功率加速直線運動的過程，速度變化遵循一定的規(guī)律.

【例2】有“潛艇之王”之稱的美國“俄亥俄”級潛艇，在水下行駛時的質(zhì)量為2萬噸，行駛中受阻力f＝kv，其中k＝1.8×105N·s／m，當其以P＝4.0×104kW 的恒定功率在水下行駛時，求：

（1）最大速度；

（2）啟動多長時間達到最大速度的一半？

分離變量得

即

由此得

3 汽車在恒定阻力作用下以恒定功率行駛

對于物體在恒定阻力作用下以恒定功率加速直線運動的過程，速度變化遵循一定的規(guī)律.

【例3】已知汽車的額定功率為P，質(zhì)量為m，運動過程中受到恒定阻力為f，汽車運動的初速度為v0，求汽車達到最大速度所需的時間是多少？

設(shè)

則

由式（3）得

則

代入式（4）并整理得

即為

由（3）式可知，當u＝5時，速度v＝0.993vm，此時可認為汽車達到最大速度，則由（4）式可知汽車從靜止到速度最大過程所經(jīng)歷的時間為

如果初速度為v0，則由靜止加速到v0經(jīng)歷的時間為

所以汽車從初速度為v0加速到最大速度所需的時間為t＝tm－t0，即為

式（6）是不同速度所對應(yīng)的時間，式（9）是物體達到最大速度所經(jīng)歷的時間.

【例4】（2009年高考上海物理試卷第20題）質(zhì)量為5×103kg的汽車在t＝0時刻速度v0＝10m／s，隨后以P＝6×104W 的額定功率沿平直公路繼續(xù)前進，經(jīng)72s達到最大速度，設(shè)汽車受恒定阻力，其大小為2.5×103N.求：

（1）汽車的最大速度vm；

（2）汽車在72s內(nèi)經(jīng)過的路程s.

分析：最大速度為

將數(shù)據(jù)代入式（9）得時間為

此時汽車的速度為v＝0.993vm≈23.83m／s，非常接近最大速度了.

可見原題中的數(shù)據(jù)t＝72s是不合理的，或者說是不自洽的.

對于例題1，可直接利用瞬態(tài)過程的結(jié)論進行解答，稱為指數(shù)瞬態(tài)過程；對于例題2和3，則需先對微分方程變換形式，再利用瞬態(tài)過程的結(jié)論進行解答，可稱為另類瞬態(tài)過程.需通過數(shù)學(xué)變換，使某一變量與指數(shù)瞬態(tài)過程發(fā)生聯(lián)系，從而利用瞬態(tài)過程的結(jié)論，化繁為簡.

有趣的是，對于物體由靜止開始加速運動的瞬態(tài)過程，達到最大速度所經(jīng)歷的時間都與“滿速比”β有關(guān).

當動力恒定，阻力為線性力時

當動力功率恒定，阻力為線性力時

當動力功率恒定，阻力為恒力時

對應(yīng)的時間常數(shù)分別為

綜上可見，瞬態(tài)過程形式多樣.解答瞬態(tài)過程問題的關(guān)鍵是列出變量的一階常系數(shù)線性微分方程，再利用瞬態(tài)過程的結(jié)論直接寫出通解，可避免數(shù)學(xué)積分過程.瞬態(tài)過程的結(jié)論不僅能巧妙解題，而且還可用來擬題，或者判斷題目中的數(shù)據(jù)是否自洽以及檢驗常規(guī)解法所得結(jié)果是否正確.

1 朱佩明.物理問題的規(guī)定性與習(xí)題命制的誤區(qū).物理教學(xué)，2009（1）：42

2 詹國榮.恒功率啟動運行物體的速度變化規(guī)律.物理教學(xué)，2012（5）：52

3 趙曰峰，趙林明，宋輝武.談汽車以額定功率啟動達到最大速度的時間.物理教師，2014（5）：58