姚緒坤，秦建敏

（大連大學 土木工程技術研究與開發(fā)中心，遼寧 大連 116622）

顆粒材料微觀統(tǒng)計力學研究綜述

姚緒坤，秦建敏*

（大連大學 土木工程技術研究與開發(fā)中心，遼寧 大連 116622）

基于顆粒材料的多尺度結構，探討和搭建微觀結構與宏觀力學行為之間的聯(lián)系，研究新的關系式來解決跨尺度耦合的過程是顆粒材料研究的挑戰(zhàn)之一。由于微觀結構層次的非平衡性和強相互作用，對微觀物理量和幾何參數(shù)的統(tǒng)計描述可以提供連接微細觀運動與宏觀力學行為之間的聯(lián)系。本文介紹了顆粒材料不同結構層次的統(tǒng)計參數(shù)，總結了研究者關于統(tǒng)計參數(shù)與力學概念之間關系的成果，得出對于顆粒材料，正確選取微觀參數(shù)并予以采用科學的統(tǒng)計方法，是準確預測宏觀力學行為的關鍵。

顆粒材料；多尺度；統(tǒng)計參數(shù)

0 引言

自然界中巖土、積雪、浮冰，工業(yè)生產活動中的藥品、煤炭、礦石、化工產品，日常生活中的糖鹽、谷物等都是顆粒材料，顆粒材料在人們生活中普遍存在并與社會生產活動密不可分[1]1。顆粒材料是以接觸力為主要作用的多體系統(tǒng)。從材料結構角度看，顆粒材料比常見的水、空氣等普通液體，或晶體、金屬等普通固體多出一個以鄰近顆粒大小為特征長度的細觀層次，是典型的多尺度結構并且不同尺度上有不同的結構層次及不同的演化物理和速率，因此顆粒材料表現(xiàn)出比普通固體和普通液體等一般材料更為豐富的力學行為[2]5。

顆粒材料與連續(xù)介質材料相比，具有許多特殊的力學特性：（1）顆粒材料的變形是由顆粒移動所產生的結構變形和顆粒的自身變形所共同引起的，結構變形是不可恢復的，且在加載和卸載時都會產生；（2）顆粒材料在常規(guī)靜水壓力作用下會產生不可恢復的體積變形；（3）顆粒材料具有壓硬性和剪脹性，靜水壓力與剪應變以及剪應力與體應變之間具有耦合關系；（4）顆粒材料在不同初始密度情況下可表現(xiàn)出不同的硬化或軟化特性，并且其軟化特性是一種結構軟化；（5）顆粒材料沒有明顯的彈塑性階段[3]。

對于顆粒材料的本構關系的研究，在我國有近20年，國外已經有30多年歷史。傳統(tǒng)方法中，利用彈塑性基本理論，通過修正土力學中的一些本構模型，使之符合顆粒材料的應力應變特征。但顆粒材料的變形，除包括瞬時變形外，還存在著明顯的體積流變和剪切流變。顆粒材料本構關系的數(shù)學模型很多，但無法真正為工程界所接受，解決工程實際問題。

1 顆粒材料的多尺度結構

1.1 多尺度框架

基于顆粒材料的多尺度結構特征，研究者提出了不同的尺度分割方法。要根據(jù)問題的重點將顆粒材料分為不同的尺度。孫其誠和金峰[4]等將顆粒材料分為顆粒（微觀）－力鏈（細觀）－顆粒體系（宏觀）這三個尺度，對以力鏈為核心的多尺度結構特征和其演變規(guī)律進行研究，在顆粒固體應力傳播模式、顆粒流體流動本構關系等方面做出很大貢獻。秦建敏和張洪武[5-7]等對顆粒體系的微、細和宏觀的多尺度概念進行改進，提出以孔隙胞元作為中間尺度的“顆粒接觸對－孔隙胞元－顆粒體系的微－細－宏觀多尺度體系，用基于孔隙胞元的離散元方法對顆粒體進行雙軸加載數(shù)值試驗，模擬了以滑動變形表征的變形局部化現(xiàn)象，研究了顆粒材料剪脹性的微觀機制。另外一些學者[8-12]對顆粒材料的接觸角、接觸力、接觸時間數(shù)、組構張量、配位數(shù)等物理和幾何參數(shù)進行統(tǒng)計，并采用粗粒化方法和平均場理論得到顆粒材料的彈性模量、應力張量、應變張量、能量密度、熱流等，從而構建顆粒材料的本構關系，描述其宏觀力學性質。

1.2 各尺度變量之間的聯(lián)系

國外研究者 Love[13]，Goddard[14]，Rothenburg 和Selvadurai[15]，Rothenburg 和 Kruyt[16]，Bagi[17]和 Li等[18]用材料應力均勻的假設，基于顆粒的受力方程或者虛功原理對無體積力和有體積力的的靜力平衡狀態(tài)進行了推導。Li等[19]考慮了動力問題中顆粒旋轉問題，De Saxce[20]對動力問題中的時間效應進行了考慮。秦建敏等[2]8-15引用Li等中的相關內容，基于牛頓第二運動定律和均勻應力場的假設，考慮了顆粒旋轉的影響，推導了在靜力和動力情況下都適合的柯西應力細觀表達式：

圖1 顆粒-顆粒、顆粒-邊界的相互作用示意圖

對應變張量的細觀定義多種多樣。Bagi[21]認為應變張量的細觀定義可以分為兩類，第一類是將顆粒材料看作為等效連續(xù)體，假設顆粒中心的位移集中發(fā)生在接觸點處，基于均勻場的假設，建立相關幾何量和顆粒位移與位移梯度張量的關系，這是基于等效幾何圖形的應變定義。第二類是基于平均位移梯度(應變)擬合出顆粒材料體系的位移場，找出位移場與顆粒材料體系的特征位移偏差最小的平均位移梯度，這是基于最優(yōu)擬合的應變定義，特征位移可以選取接觸點處的相對平動位移或者顆粒中心的平動位移[22]。

基于等效幾何圖形和顆粒平動位移的應變張量的細觀定義，Rothenburg和Kruyt提出適用于二維顆粒材料基于 Satake的圖形系統(tǒng)的定義，Bagi[23]給出適用于由單純形為單元的幾何系統(tǒng)的定義，Li等提出適合于多面體/多變形單元系統(tǒng)的定義。Li等二維情況下的表達式與Kruyt和Rothenburg的表達式都不要求對應的幾何系統(tǒng)由單純形組成，這里給出Li等的應變張量細觀定義：

圖2 面積矢量χ的定義

如果相對位移有清晰定義，那么上述應變張量細觀表達式的推導適用于對任何由多面體/多邊形構成的幾何系統(tǒng)，包括孔隙胞元系統(tǒng)，但并不只限于孔隙胞元系統(tǒng)。

應力張量的細觀表達式基于牛頓第二定律，首先，對顆粒材料進行體積平均得到平均應力，用高斯公式轉換成邊界上的力，接著表示成離散元的邊界力，在每個接觸點上，作用力滿足平衡條件，大小相等方向相反，最后用牛頓第二定律將局部幾何變量（接觸矢量）耦合到表達式。同樣，應變張量也是對顆粒材料的體積平均，接著基于高斯公式轉換成邊界上的量，表示成離散元的相對位移，在每個接觸點上，相對位移滿足相容性條件，然后用位移相容性條件將局部幾何變量（互補面矢量）耦合到表達式。比較應力、應變張量的細觀結構表達式的推導過程，兩者最后都是用與微元聯(lián)系的細觀量來表示以邊界量表示的表達式來得到細觀定義，推導過程很相似。在這里推導宏細觀聯(lián)系的方法并不局限于相關量的物理背景。

應力和應變張量的表達式表明應力與單位體積的接觸力和接觸矢量有關，應變與單位體積接觸點的相對位移和局部幾何矢量有關，然而研究表明單位體積的接觸以力及相對位移不同，顆粒材料還是可以表現(xiàn)出完全相同的宏觀力學性質，這說明顆粒材料宏觀表現(xiàn)出來的應力與應變只是與微觀量（接觸力，相對位移等）的統(tǒng)計量有關。何旭珍[24]在接觸方向、接觸力、接觸向量、孔隙向量滿足統(tǒng)計規(guī)律的條件下，得到了積分形式的應力關系：

2 統(tǒng)計力學

由于顆粒材料的宏觀行為不是由某個特定接觸點的性質決定，而是由大量的微觀量的統(tǒng)計規(guī)律決定，統(tǒng)計方法可以摒棄大量無用信息，常常被用來連接不同的尺度，因此統(tǒng)計方法可以是一種研究大量顆粒組成的宏觀物體行為行之有效的方法。白以龍和夏蒙棼[25-27]詳細地介紹了固體統(tǒng)計細觀損傷力學和損傷演化誘致突變理論，嘗試將力學及統(tǒng)計物理學和非線性科學結合起來研究固體材料損傷和破壞問題。

2.1 統(tǒng)計參數(shù)

在研究顆粒材料動力特性時，需要研究基本物理量和幾何參數(shù)如局部體積分數(shù)、配位數(shù)、接觸力、接觸角、力鏈在空間的真實分布與變化，但它們都會在較小的范圍內發(fā)生很大的變化。為了較好的描述顆粒材料系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)變化特征，必須對這些基本物理量和幾何參數(shù)進行有效而準確的統(tǒng)計與平均。

2.1.1 局部體積分數(shù)

體積分數(shù)指的是顆粒實體面積（或體積）占整個統(tǒng)計域的面積（或體積）的百分比，體積分數(shù)的大小表示的是顆粒材料內部顆粒分布的疏密程度。在二維情況下基本的計算公式如下：

2.1.2 配位數(shù)

配位數(shù)指的是顆粒集合內單個顆粒體與周圍顆粒的平均接觸數(shù)，其計算公式如下：

公式中Nb是顆粒體中心處于統(tǒng)計域內的顆粒個數(shù)；是第b 個顆粒周圍接觸的顆粒數(shù)在對顆粒材料加載的過程中，局部配位數(shù)會發(fā)生明顯的變化，因此需要計算顆粒材料的不同區(qū)域內相應顆粒的配位數(shù)，才能描述其在空間的變化特征。局部配位數(shù)的統(tǒng)計方法與局部體積分數(shù)類似。

2.1.3 接觸力

當外部荷載或約束邊界作用在顆粒材料時，顆粒材料內部顆粒之間會形成分布不均勻的接觸力，一小部分顆粒參與了接觸力的傳遞并承擔了大部分的外部荷載，而其它顆粒只會承受微弱的接觸力或直接不受力。假設在計算區(qū)域內滿足條件的顆粒接觸點個數(shù)為由于每個接觸點上兩個顆粒的接觸力的方向剛好是相反的，故統(tǒng)計每個顆粒的接觸力每個接觸點上的接觸力實際計算了兩次。如果是顆粒和邊界之間發(fā)生接觸，接觸力只計算一次。在統(tǒng)計滿足條件的接觸力之前用下面的公式對均值進行歸一化：

Fij表示第個j顆粒對i個顆粒產生的接觸力大小。歸一化以后，就可以得到接觸力F的分布區(qū)間為如果將顆粒間的每次相互接觸都考慮成等概率事件，那么每一個接觸力的分布概率都為1 2Nc。將接觸力的取值區(qū)間等分成n個小區(qū)間，在任意一個小的接觸力區(qū)間內，接觸力F 分布的概率密度函數(shù)為：

2.1.4 接觸方位角

鄉(xiāng)村產業(yè)興旺，意味著鄉(xiāng)村經濟發(fā)展充滿活力。盡管反映某個鄉(xiāng)村的產業(yè)興旺可能是一個或兩三個產業(yè)，但總體上衡量鄉(xiāng)村產業(yè)興旺的角度和標準應是多維的，因而鄉(xiāng)村產業(yè)興旺的內涵特征展現(xiàn)得比較豐富，至少有以下方面。

2.1.5 力鏈

在重力或外荷載作用下，密集排布的顆粒材料中，顆粒自由活動空間小，顆粒間相互擠壓變形。變形較大且連接成準直線形的顆粒，承擔較大份額的重力或外荷載，形成強力鏈；其它顆粒間接觸變形較小，傳遞的外力較小，形成弱力鏈[1]73。孫其誠[28-29]等通過離散動力學模擬，對靜態(tài)堆積顆粒不同接觸力的力鏈長度和顆粒間接觸力與重力夾角進行統(tǒng)計分析得到計算不同接觸力下的力鏈長度和夾角的公式：

并對二維顆粒體系進行單軸壓縮，計算發(fā)現(xiàn)了強力鏈長度的冪率分布規(guī)律，設力鏈長度為其中是體系的平均粒徑，表示該力鏈上顆粒數(shù)目和顆粒粒徑。對于發(fā)現(xiàn)強力鏈長度的分布按照冪率分布

2.2 統(tǒng)計參數(shù)與力學概念之間的關系

王等明[11]57-60通過對剪切顆粒流中的局部體積分數(shù)和配位數(shù)的變化進行統(tǒng)計，研究分析了剪切顆粒流的剪脹性，得到剪切速率會影響系統(tǒng)的剪脹特征。隨著剪切速率的增大，局部體積分數(shù)變小，平均配位數(shù)降低，剪脹效果更加明顯。

朱紀躍[30]統(tǒng)計分析了微觀尺度下顆粒間的力學行為，得到不同應變階段接觸力大小的分布特征，發(fā)現(xiàn)在摩擦系數(shù)和圍壓一定的前提下，開始平均接觸力隨軸應變近似于線性增大，當軸向應變大于某個值，平均接觸力不再隨著軸向應變增大，而是隨著軸向應變先減小，接著在一定范圍內波動。并通過不同加載階段接觸力方向的分布特征，發(fā)現(xiàn)在顆粒樣本的加載過程中，偏應力峰值與接觸力方向的分布特征有著某種內在的關聯(lián)。

劉斯宏[12]通過雙軸壓縮試驗得到顆粒接點數(shù)按接觸角的統(tǒng)計分布數(shù)等向壓縮時，鋸齒狀分布可用虛線圓來擬合，顆粒結構為各向同性；剪切時鋸齒狀分布變成花生狀或橢圓形，顆粒結構的各向異性增大。王子健[31]為更好的考慮顆粒骨架的局部力學性能在 N（α）的基礎上引入 F（α），表示沿著顆粒接觸角 所統(tǒng)計出來的顆粒接觸擠壓力平均值，并分析了分布隨著加載時間變化的規(guī)律，從細觀機理上解釋了宏觀試驗中破壞滑動面一般呈現(xiàn)左右的事實。

陳立平[9]等在細觀顆粒層面研究砂土破壞和摩擦特性的研究中引入了數(shù)理統(tǒng)計方法，將組成砂土的單個顆粒簡化為具有一定長細比的空間橢球體，假設方向角滿足正態(tài)分布規(guī)律，應用細觀統(tǒng)計的方法，從顆粒層面對砂土的摩擦特性和破壞機制進行研究，建立了內摩擦角與外荷載之間的對應關系。

張惠新[33]通過對顆粒間強力鏈長度分布規(guī)律的統(tǒng)計分析，得到了顆粒間強力鏈長度分布的概率密度函數(shù)；從Matlab繪制顆粒間接觸力箭頭分布圖中得到了剛性壓條壓入顆粒體系時強弱力鏈的出現(xiàn)、發(fā)展、演變以及力鏈網絡的形成過程，對力鏈的形成和發(fā)展進行了定量分析，對獲得顆粒材料宏觀參數(shù)的微觀表達，搭接從微觀到宏觀的多尺度研究起到推動作用。

3 結語

顆粒的空間排列及相互作用力決定了顆粒材料的宏觀變形和強度特性，建立微細觀結構與宏觀特性的聯(lián)系，是顆粒材料力學的研究思路之一，也是不同于傳統(tǒng)連續(xù)介質力學的本質所在。統(tǒng)計方法常常用來連接兩個不同尺度，基于微觀結構、微觀運動量、微觀接觸力的統(tǒng)計來描述顆粒材料的宏觀行為，但是低尺度的物理本質如何傳遞到更高尺度，與更高尺度強耦合，以及如何用公式表示對更高尺度的影響，它應該建立在實驗和對力學規(guī)律的結果的深入的分析的基礎上。到目前為止，顆粒材料的微觀統(tǒng)計力學的研究還比較欠缺。

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The Research Review of Granular Material Microscopic Statistical Mechanics

YAO Xu-kun，QIN Jian-min*
(Research and Development Center of Civil Engineering Technology, Dalian University, Dalian 116622, China)

∶Based on Multi-scale structure of granular materials, it is one of the challenges of granular materials research to set up the connection between the microscopic structure and macroscopic mechanical behavior and explore new formula to solve the coupled across scales process. Due to nonequilibrium and strong interaction of the microstructure, a statistical description of microcosmic physical quantities and geometrical parameters can provide the connection between the micro motion and macroscopic mechanical behavior. This paper introduces the statistical parameters of different structure levels of the granular material and summarizes achievements of the researchers about the relationship between the statistical parameters and the mechanical concept. It is concluded that for granular materials, correct selection of microscopic parameters and using scientific statistical methods are key to predict the macroscopic behavior.

∶granular materials; multi-scale; statistical parameters

O347.7

A

1008-2395(2015)06-0011-06

2015-05-04

國家自然科學基金資助項目（11272069）。

姚緒坤（1989-），男，碩士研究生，研究方向：防震減災與土木環(huán)境工程。

秦建敏（1979-），女，博士，副教授，研究方向：巖土介質力學等。